浙江省嘉兴市2016届高三上学期期末考试数学(理)试题(图片版)


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嘉兴市 2015~2016 学年第一学期期末检测 高三理科数学
1~4 DACB; 5~8 CACC;

参考答案

(2016.1)

一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

8.解析:数阵中第一列的数全是 0,当且仅当 1 ? A1 , 2 ? A1 , ? , n ? A1 ,∴A 正确;数 阵 中 第 n 列 的 数 全 是 1 当 且 仅 当 1 ? An , 2 ? An , ?, n ? An , ∴B 正 确 ; 当
A1 , A2 , ? , An 中一个为 S 本身, 其余 n ? 1 个子集为 S 互不相同的 n ? 1 元子集时,

数阵中所有的 n 2 个数字之和最大,且为 n ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1 ,∴D 正确;数阵中 第 j 行的数字和表明元素 j 属于几个子集,∴C 错误. 二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,请将答案写在答题卷上) 9.
5 , 2

2 5;

10. ?

3 , 2

3 ; 2
1 ;
[来源:学科网 ZXXK]

11.2, 13.
51 ; 34

1 [ , 1] ; 3
14.

12.1,
3?2 2 ; 2

15. ( ?5, 0) .

? ? x ? 2 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 ? (1) 15.解析:设物流中心为 D( x, y ) 由条件: ? , ? ? x ? 6 ? y ? 9 ? x ? 3 ? y ? 8 ? ( 2)
易知: x ? 2, ? 8 ? y ? 9 , ∴由(2)得: x ? 6 ? 9 ? y ? x ? 3 ? y ? 8 , ∴ 2 y ? x ? 6 ? x ? 3 ? 1 ? ( x ? 6) ? ( x ? 3) ? 1 ? 4 ,∴ y ? 2 , ∴由(1)得: 2 ? x ? 3 ? y ? x ? 6 ? 9 ? y , ∴ x ? 6 ? ? x ? 4 ? x ? ?5 ,∴ y ? ∴ D( ?5, 0) . 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解: (Ⅰ)由正弦定理得: 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3ab , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

1 ( x ? 6 ? x ? 3 ? 1) ? 0 2

7

C? ∴由余弦定理得: c o s
2 ∴s i n

a2 ? b2 ? c2 3 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分) 2ab 4

A? B C 1? c o C s 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) ?co2 s ? ? . 2 2 2 8

(Ⅱ)若 c ? 2 ,则由(Ⅰ)知: 8 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 3ab ? 4ab ? 3ab ? ab , . . (9 分)
C? 又s i n 7 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (11 分) 4 1 1 7 ab sin C ? ? 8 ? ? 7, 2 2 4

∴ S ?ABC ?

即 ?ABC 面积的最大值为 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)
[来源 :Zxxk.Com]

17.解: (Ⅰ)∵ AE ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分) 又∵ AD ? CD , AE ? AD ? A , ∴ CD ? 面 A D E , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分) 又 CD ? 面 A B C D ,
? 平面 A D E ∴平面 A B C D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)

(Ⅱ)∵ CD ? DE , ∴如图,建立空间直角坐标系 D ? x y z , 则: D(0, 0, 0), C (0, 2, 0), E( 3 , 0, 0) , ∴ AB ? DC ? (0, 2, 0) , ∴ B( 3 , 2, 1) , . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 设 CF ? ? CB ? ? ( 3 , 0, 1) , ? ? [0, 1] 则: F ( 3? , 2, ? ) . . . . . . . . . . . (10 分) 设平面 FDE的 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? n ? DF ? 3? x ? 2 y ? ? z ? 0 则? ,∴取 n ? (0, ? , ? 2) , . . . . . . . (12 分) ? ? n ? DE ? 3 x ? 0

B
F

z

A

y
C

x
E D

又平面 ADE 的法向量为 m ? (0, 1, 0) , ∴ cos ? m , n ??
m?n mn ?

? ?2 ? 4

?

10 2 ,∴ ? ? , . . . . . . . . . (14 分) 10 3

故当点 F 满足 CF ?

10 2 . . . (15 分) CB 时,二面角 A? DE ? F 的余弦值为 10 3

8

18.解: (Ⅰ)∵ S n ? p ? a n?1 ? 又∵ S n ? p ? a n?1 ? 相减得: ∴
a n?1 an

9 3 3 ,? S1 ? a1 ? pa2 ? ? 3 ,∴ a 2 ? , 2p 2 2

3 3 ,∴ S n?1 ? p ? a n ? , (n ? 2) , 2 2 p?1 ? ( n ? 2) ,∵ ?a n ? 是等比数列, . . . . . . . . . (3 分) p

a p?1 3 1 ? ,∴ p ? ,? q ? 2 ? 3 p 2p a1 2

又 a1 ? 3 ,∴ a n ? 3 n , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分) 所以 p ?

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) , an ? 3n . 2

(Ⅱ) bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 抽去的项为 a1 , a 4 , a 7 , ?, a 3k ? 2 , ? 数 列 ?c n ?为 a 2 , a 3 , a 5 , a 6 , a 8 , a 9 ?, a 3k ?1 , a 3k , ? , . . . . . . . . . . . . . (10 分) 当 n 为偶数时, Tn ? (a 2 ? a 3 ) ? (a 5 ? a 6 ) ? ? ? (a 3n?1 ? a 3n )

? a 3k ?1 ? a 3k ? 3 3k ?1 ? 3 3k ? 4 ? 3 3k ?1 , a 3k ? 2 ? a 3k ? 3 ? 4 ? 3 3k ? 2 ( k ? 1,2,3, ?)
? ?a 3k ?1 ? a 3k ?是以 36 为首项,27 为公比的等比数列,
n

36(1 ? 27 2 ) 18 ? ( 27 2 ? 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分) ? Tn ? 1 ? 27 13

n

当 n 为奇数时, Tn ? a 2 ? (a 3 ? a 5 ) ? (a 6 ? a 8 ) ? ? ? (a 3n? 3 ? a 3n?1 ) ,

? a 3k ? 3 ? a 3k ?1 ? 3 3k ? 3 ? 3 3k ?1 ? 10 ? 3 3k ? 3 , a 3k ? a 3k ? 2 ? 3 3k ? 3 3k ? 2 ? 10 ? 3 3k ,
? ?a 3k ? a 3k ? 2 ?是以 270 为首项,27 为公比的等比数列,
270(1 ? 27 ? Tn ? 9 ? 1 ? 27
n ?1 2

)

?

135 ? 27 13

n ?1 2

?

18 . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分) 13

19.解: (Ⅰ)由条件: b ? 1, a ? 2 ,∴椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1. . . (4 分) 4

(Ⅱ)①当直线 PQ 斜率 k ? 0 时,线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距为 0; ②设 PQ: y ? kx ? m , ( k ? 0) ,则:

9

? y ? kx ? m . . . . . . . . . . . (6 分 ) ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k mx? 4m 2 ? 4 ? 0 , ? 2 2 x ? 4 y ? 4 ?

设 P ( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ) ,

? 8km ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? 4k 2 ? 则? ,∵ BP ? BQ , 2 ? x x ? 4m ? 4 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
∴ BP ? BQ ? x1 x 2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) ∴ (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? k(m ? 1)( x1 ? x 2 ) ? (m ? 1) 2 ? 0
? ( m ? 1) 2 ? 0 1 ? 4k 2 3 ∴ 5m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? m ? ? 或 m ? 1 (舍去) , . . . . . . . . . . . . (10 分) 5 1 ? 4k
2

(1 ? k 2 ) ?

4m 2 ? 4

? k ( m ? 1) ?

8km

∴PQ 为: y ? kx ? ∴ xM ?

3 , 5

x1 ? x 2 ?3 12k ? , yM ? , 2 2 5(1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k )
3 5(1 ? 4k )
2

∴线段 PQ 的中垂线 l 为: y ? ∴在 x 轴上截距 x 0 ? ∴ x0 ? ∴?
9k 5(1 ? 4k )
2

??

1 12k (x ? ), k 5(1 ? 4k 2 )

9k 5(1 ? 4k 2 )

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分)

?

9k 5? 4 k

?

9 , 20

9 9 且 x0 ? 0 , ? x0 ? 20 20 9 9 , ]. 20 20

综合①②得:线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值 范围是 [?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)

20.解: (Ⅰ)当 b ? 2 时, f ( x ) ? ? x 2 ? 2bx ? c 在区间 [?1, 1] 上是增函数, 则 M ? max?g(?1), g(1)? , . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . (2 分) 又 g(?1) ? ? 5 ? c , g(1) ? 3 ? c ,

10

? ??5?c, c ? 1 ∴M ?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) ? ?3?c, c ? 1

(Ⅱ) g ( x ) ? f ( x ) ? ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? c , (1)当 b ? 1 时, g( x ) 在区间 [?1, 1] 上是单调函数,则 M ? max?g(?1), g(1)? ,
源:学科网 ZXXK]

[来

而 g(?1) ? ? 1 ? 2b ? c , g(1) ? ? 1 ? 2b ? c , ∴ 2M ? g(?1) ? g(1) ? ? 1 ? 2b ? c ? ? 1 ? 2b ? c ? 4 b ? 4 ,

[来源:学科网 ZXXK]

∴ M ? 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . (8 分) (2)当 b ? 1 时, g( x ) 的对称轴 x ? b 在区间 [?1, 1] 内, 则 M ? max?g(?1), g(1), g(b)? ,又 g(b) ? b 2 ? c , ①当 ? 1 ? b ? 0 时,有 f (1) ? f ( ?1) ? f (b) ,则

M ? max?g(1), g(b)? ?

1 1 1 1 ( g(b) ? g(1)) ? f (b) ? f (1) ? (b ? 1) 2 ? , 2 2 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (11 分)

[来源:学科网]

②当 0 ? b ? 1 时,有 f ( ?1) ? f (1) ? f (b) ,则

M ? max?g(?1), g(b)? ?

1 1 1 1 ( g(b) ? g(?1)) ? f (b) ? f (?1) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分) 2 1 1 1 而当 b ? 0, c ? 时, g ( x ) ? ? x 2 ? 在区间 [?1, 1] 上的最大值 M ? , 2 2 2
综上可知,对任意的 b , c 都有 M ? 故 M ? k 对任意的 b , c 恒成立的 k 的最大值为

1 . . . . . . . . . . (15 分) 2

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