江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


江西省南昌二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若直线经过 A.30° B.45°
2 2 2 2

两点,则直线 AB 的倾斜角为() C.60° D.120°

2. (5 分)二圆 C1:x +y =1 和 C2:x +y ﹣4x﹣5=0 的位置关系是() A.相交 B.外切 C.内切 D.外离

3. ( 5 分)如果椭圆 离是() A.2

上一点 P 到它的右焦点距离是 6,那么点 P 到它的左焦点的距

B. 3

C. 4

D.8

4. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线关于 x 轴对称, 顶点在原点 O, 且过点 P (2, 4) ,则该抛物线的方程是() A.y =8x
2

B.y =﹣8x

2

C.y =4x
2 2

2

D.y =﹣4x

2

5. (5 分)已知直线 l1 与直线 l2:3x+4y﹣6=0 平行且与圆:x +y +2y=0 相切,则直线 l1 的方 程是() A.3x+4y﹣1=0 B. 3x+4y+1=0 或 3x+4y﹣9=0 C. 3x+4y+9=0 D.3x+4y﹣1=0 或 3x+4y+9=0

6. (5 分)设椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆上的一点, ,则椭圆的离心率为() C. D.

AF2⊥AF1,原点 O 到直线 AF1 的距离为 A. B.

7. (5 分) 已知 F1、 F2 是椭圆 则|AF1|+|BF1|等于() A.16 B.11

=1 的两焦点, 经点 F2 的直线交椭圆于点 A、 B, 若|AB|=5,

C. 8

D.3

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.
2

C.

D.

9. (5 分)已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x﹣2)与此抛物线相交于 P,Q 两点, 则 A. + =() B. 1 C. 2 D.4

10. (5 分)如果椭圆 A.x﹣2y=0

的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是() B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0

11. (5 分)过椭圆

上一点 M(0,2)作圆 x +y =2 的两条切线,点 A,B 为切点,

2

2

O 为坐标原点,则△ AOB 的面积为() A. B. C. 1 D.

12. (5 分)设 F1,F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,若在其右准线上存在

P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)空间直角坐标系 O﹣xyz 中,在 z 轴上与点 A(﹣4,1,7)和点 B(3,5,﹣2) 等距离的点 C 的坐标为. 14. (5 分)直线 3x﹣4y﹣4=0 被圆(x﹣3) +y =9 截得的弦长为.
2 2

15. (5 分)在椭圆

内有一点 P(1,﹣1) ,F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,

使|MP|+2|MF|的值最小,则 M 的坐标. 16. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 17. (10 分)已知直线 l 过点(2,1)且与圆 O:x +y =4 相交于 A,B 两点,∠AOB=120°.求 直线 AB 的方程. 18. (12 分)已知动圆 M 经过点 A(﹣2,0) ,且与圆 C: (x﹣2) +y =20 内切. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)求轨迹 E 上任意一点 M(x,y)到定点 B(﹣1,0)的距离 d 的最小值,并求 d 取得 最小值时的点 M 的坐标. 19. (12 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物 线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. 求抛物线 C 的方程.
2 2 2 2 2

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 l:y=﹣

x+b 交于不同的两点 P,Q,原

点到该直线的距离为

,且椭圆的离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在实数 k, 使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、 Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D (1, 0) ? 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 21. (12 分)已知双曲线 C 的焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且离心率为 2; (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)若经过点 M(1,3)的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程.

22. (12 分)如图,已知椭圆 C:

+y =1(a>1)的上顶点为 A,离心率为

2

,若不过点 A

的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.

江西省南昌二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若直线经过 A.30° B.45° 两点,则直线 AB 的倾斜角为() C.60° D.120°

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 根据斜率公式即可得即可得到直线的斜率,然后根据斜率和倾斜角的关系即可得到 结论. 解答: 解:∵直线经过 ∴直线的斜率 k= , 两点

即 k=tan , ∴θ=60°, 即直线 AB 的倾斜角为 60°. 故选:C. 点评: 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系,要求熟练掌握直线斜率的公式的计算, 比较基础. 2. (5 分)二圆 C1:x +y =1 和 C2:x +y ﹣4x﹣5=0 的位置关系是() A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出两圆的圆心 和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外 切.
2 2 2 2

解答: 解:圆 x +y ﹣4x﹣5=0 即 (x﹣2) +y =9,表示以(2,0)为圆心,以 3 为半径 的圆, 两圆的圆心距为 2,正好等于两圆的半径之差,故两圆相内切, 故选 C. 点评: 本题考查两圆的位置关系,由两圆的圆心距等于两圆的半径之和与差,得出两圆的 位置关系.

2

2

2

2

3. (5 分)如果椭圆 离是() A.2

上一点 P 到它的右焦点距离是 6,那么点 P 到它的左焦点的距

B. 3

C. 4

D.8

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,求出结果即可. 解答: 解:∵椭圆 ,

∴当椭圆上的点 P 到它的右焦点距离是 6 时, 点 P 到它的左焦点的距离是 2a﹣6=2×4﹣6=2. 故选:A. 点评: 本题考查了椭圆的定义域标准方程的应用问题,是基础题目. 4. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线关于 x 轴对称, 顶点在原点 O, 且过点 P (2, 4) ,则该抛物线的方程是() 2 2 2 2 A.y =8x B.y =﹣8x C.y =4x D.y =﹣4x 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意先确定抛物线的标准方程是:y =2px,把点 P(2,4)代入即可求出. 2 解答: 解:由题意设抛物线的标准方程是:y =2px, 因为过点 P(2,4) ,所以 16=4p,解得 p=4, 2 所以抛物线的标准方程是:y =8x, 故选:A. 点评: 本题考查抛物线的标准方程的求法:待定系数法,确定抛物线的标准方程的形式是 解题的关键. 5. (5 分)已知直线 l1 与直线 l2:3x+4y﹣6=0 平行且与圆:x +y +2y=0 相切,则直线 l1 的方 程是() A.3x+4y﹣1=0 B. 3x+4y+1=0 或 3x+4y﹣9=0 C. 3x+4y+9=0 D.3x+4y﹣1=0 或 3x+4y+9=0 考点: 直线与圆的位置关系.
2 2 2

专题: 计算题. 分析: 将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径 r,根据直线 l1∥l2,得到两直线斜率 相同,求出直线 l1 的斜率,表示出直线 l1 的方程为 3x+4y+c=0,根据直线与圆相切时,圆心 到切线的距离等于圆的半径, 利用点到直线的距离公式列出关于 c 的方程, 求出方程的解得到 c 的值,即可确定出切线方程. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +2y=0 化为标准方程得:x +(y+1) =1, ∴圆心为(0,﹣1) ,半径 r=1, ∵直线 l1∥l2, ∴设直线 l1 的方程为 3x+4y+c=0, 由题意得 =1,解得:c=﹣1 或 c=9,

则直线 l1 的方程为 3x+4y﹣1=0 或 3x+4y+9=0. 故选 D 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,当直线与圆相切时,圆心到切线的距离等于圆的 半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.

6. (5 分)设椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆上的一点, ,则椭圆的离心率为() C. D.

AF2⊥AF1,原点 O 到直线 AF1 的距离为 A. B.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形中位线定理,计算 F2A=2OB=c,再利用勾股定理计算 F1A= 利用椭圆定义,计算长轴长 2a,进而求得椭圆离心率 解答: 解:如图,设|F1F2|=2c,依题意,OB⊥F1A,OB= ∵O 为 F1F2 的中点,AF2⊥AF1, ∴OB∥F2A,且 F2A=2OB=c ∴F1A= ∴2a=c+ c = = = = c c,最后

∴椭圆的离心率为 e= = 故选 B

点评: 本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质,椭圆离心率的求 法,属基础题

7. (5 分) 已知 F1、 F2 是椭圆 则|AF1|+|BF1|等于() A.16 B.11

=1 的两焦点, 经点 F2 的直线交椭圆于点 A、 B, 若|AB|=5,

C. 8

D.3

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据 A,B 两点是椭圆上的两点,写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于 4 倍的 a,根据 AB 的长度写出要求的结果. 解答: 解:∵直线交椭圆于点 A、B, ∴由椭圆的定义可知:|AF1|+|BF1|+|AB|=4a, ∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11, 故选 B 点评: 本题考查椭圆的定义,是一个基础题,这里出现的三角形是一种特殊的三角形,叫 焦三角形,它的周长是一个定值二倍的长轴长.

8. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定义 求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题. 9. (5 分)已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x﹣2)与此抛物线相交于 P,Q 两点, 则 A. + =() B. 1 C. 2 D.4
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 y =8x 可得焦点 F(2,0) ,因此直线 y=k(x﹣2)过焦点.把直线方程与 抛物线方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式即可得出. 解答: 解:由抛物线 y =8x 可得焦点 F(2,0) ,因此直线 y=k(x﹣2)过焦点. 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . ,则
2 2 2 2 2 2

,|FQ|=x2+2.

联立

.化为 k x ﹣(8+4k )x+4k =0(k≠0) .

∵△>0,∴

,x1x2=4.



+

=

=

=

= .

故选 A. 点评: 本题考查了抛物线的焦点弦问题,属于中档题.

10. (5 分)如果椭圆

的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()

A.x﹣2y=0

B.x+2y﹣4=0

C.2x+3y﹣12=0

D.x+2y﹣8=0

考点: 椭圆的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题.

分析: 设这条弦的两端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

,两式相减再变形



,又由弦中点为(4,2) ,可得 k=

,由此可求出这条弦所在的直

线方程. 解答: 解:设这条弦的两端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,斜率为 k,





两式相减再变形得 又弦中点为(4,2) ,故 k= 故这条弦所在的直线方程 y﹣2= , (x﹣4) ,整理得 x+2y﹣8=0;

故选 D. 点评: 用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法.

11. (5 分)过椭圆

上一点 M(0,2)作圆 x +y =2 的两条切线,点 A,B 为切点,

2

2

O 为坐标原点,则△ AOB 的面积为() A. B. C. 1 D.

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得△ OMA 为等腰直角三角形,可得∠MOA= 直角三角形,故△ AOB 的面积为 ?OA?OB,计算可得结果. 解答: 解:由题意可得 MO=2,OA=OB= ,OM =OA +MA ,∴MA=OA=
2 2 2

,从而得到△ AOB 为等腰



故△ OMA 为等腰直角三角形,∴∠MOA= 同理可得,∠MOB=

. ,

,∴△AOB 为等腰直角三角形,∠AOB= =1,

故△ AOB 的面积为 ?OA?OB= 故选:C.

点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质,属于基础题.

12. (5 分)设 F1,F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,若在其右准线上存在

P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意,设 P 的坐标为 ,进而可得 F1P 的中点 Q 的坐标,结合题意,
2

线段 PF1 的中垂线过点 F2,可得 y 与 b、c 的关系,又由 y 的范围,计算可得答案. 解答: 解:由已知 P 由 ,所以 F1P 的中点 Q 的坐标为 . ,







时,

不存在, .

此时 F2 为中点,

综上得



故选 D. 点评: 本题考查椭圆的性质的应用,要牢记椭圆的有关参数,如 a、b、c 之间的关系. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)空间直角坐标系 O﹣xyz 中,在 z 轴上与点 A(﹣4,1,7)和点 B(3,5,﹣2) 等距离的点 C 的坐标为(0,0, ) .

考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出 C 的不,根据所给的两个点的坐标,代入求两点之间的距离公式,得到最简结 果,使用两点之间的距离公式时,两个点的坐标没有先后顺序之分. 解答: 解:设所求 C(0,0,z) , ∵C 与点 A(﹣4,1,7)和点 B(3,5,﹣2)等距离 ∴ 解得 z= 故答案为: (0,0, ) . = ,

点评: 本题考查空间中两点之间的距离公式,本题解题的关键是正确代入距离公式进行运 算,本题是一个基础题. 14. (5 分)直线 3x﹣4y﹣4=0 被圆(x﹣3) +y =9 截得的弦长为 4
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径,进而利用点到直线的距离求得圆心到直 线的距离,进而利用勾股定理求得被截的弦的一半,则弦长可求. 解答: 解:根据圆的方程可得圆心为(3,0) ,半径为 3 则圆心到直线的距离为 ∴弦长为 2× =4 , =1,

故答案为:4 . 点评: 本题主要考查了直线与圆相交的性质.解题的关键是利用数形结合的思想,通过半 径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段,利用勾股定理求得答案.

15. (5 分)在椭圆

内有一点 P(1,﹣1) ,F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M, ,﹣1) .

使|MP|+2|MF|的值最小,则 M 的坐标(

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;证明题;综合题. 分析: 根据椭圆的方程求得椭圆离心率为 e= ,右准线方程:x=4.作出椭圆的右准线 l, 过 M 点作 MN⊥l 于 N,根据圆锥曲线的统一定义,得 ,所以 2|MF|=|MN|,欲求

|MP|+2|MF|的最小值,即求|MP|+|MN|的最小值.作 PN0⊥l 于 N0,交椭圆于 M0,由平几知识 可得,当动点 M 在椭圆上运动,与点 M0 重合时,|MP|+|MN|取到最小值.最后设出点 M0 的 坐标,代入椭圆方程,解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点 M 的坐标. 解答: 解:∵椭圆方程为 ∴a =4,b =3,可得 所以椭圆的离心率 e= ,右准线方程:x=
2 2



作出椭圆的右准线 l 如图,过 M 点作 MN⊥l 于 N, 根据圆锥曲线的统一定义,得 ,

∴2|MF|=|MN|,所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|. 欲求|MP|+2|MF|的最小值,即求|MP|+|MN|的最小值, 过 P(1,﹣1)作 PN0⊥l 于 N0,交椭圆于 M0,由平面几何知识可得,当动点 M 在椭圆上运 动,与点 M0 重合时,|MP|+2|MF|取到最小值. 设 M0(x0,﹣1) ,代入椭圆方程得 ∴使|MP|+2|MF|的值最小的点 M 的坐标为( 故答案为: ( ,﹣1) . ,解之得 x0= ,﹣1) . (舍负)

点评: 本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体,着重考查了椭圆的基本概念和圆锥 曲线的统一定义等知识点,属于中档题. 16. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为 .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得 d=|PF|+|PA|≥|AF|,再求出|AF|的值 即可. 解答: 解:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P',抛物线的焦点为 F,则 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|, 则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 . ,

故答案为:



点评: 本小题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归, 数形结合等数学思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 17. (10 分)已知直线 l 过点(2,1)且与圆 O:x +y =4 相交于 A,B 两点,∠AOB=120°.求 直线 AB 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知求出圆心到直线的距离,设出直线斜率,利用圆心到直线的距离列出关于 k 的方程解之. 解答: 解:由题意,因为圆的半径为 2,∠AOB=120°, 所以圆心到直线的距离为 1, 设直线斜率为 k,则 y﹣1=k(x﹣2)即 kx﹣y﹣2k+1=0, 所以 ,解得 k=0 或 k= ,
2 2

所以直线 AB 的方程为 y=1 或 4x﹣3y﹣5=0. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系;关键是将问题转化为圆心到直线的距离求直线斜 率. 18. (12 分)已知动圆 M 经过点 A(﹣2,0) ,且与圆 C: (x﹣2) +y =20 内切. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程;
2 2

(Ⅱ)求轨迹 E 上任意一点 M(x,y)到定点 B(﹣1,0)的距离 d 的最小值,并求 d 取得 最小值时的点 M 的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由动圆与定圆相内切且过点 A(﹣2,0)可得| |AC|=4,可知点 M 的轨迹为以 A、C 焦点的椭圆,从而写出轨迹方程; (Ⅱ)化简 = =

,又由



,从而

求最小值及点 M 的坐标. 解答: 解: (Ⅰ)∵动圆与定圆相内切且过点 A(﹣2,0) , ∴| , 可知 M 到两个定点 A、C 的距离的和为常数 , 并且常数 >|AC|=4, ∴点 M 的轨迹为以 A、C 焦点的椭圆, 且 ,c=2,b=1, ∴曲线 E 的方程为 (Ⅱ)由题意, .

=

= ∵ ∴当 ∴ 此时, 时, ;

, , 最小.



点评: 本题考查了圆锥曲线的求法及距离公式的应用,属于中档题. 19. (12 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物 线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. 求抛物线 C 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出焦点坐标,求出直线方程,联立直线与抛物线方程,利用弦长公式求解即可.
2

解答: 解:由题可知 代入 y =2px(p>0)得:
2

,则该直线方程为: ,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则有 x1+x2=3p, ∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即 3p+p=8,解得 p=2 2 ∴抛物线的方程为:y =4x. 点评: 本题考查直线与抛物线方程的应用,弦长公式的应用,考查计算能力.

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 l:y=﹣

x+b 交于不同的两点 P,Q,原

点到该直线的距离为

,且椭圆的离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在实数 k, 使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、 Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D (1, 0) ? 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由点到直线的距离公式,即可求得 b=1,再由离心率公式和 a,b,c 的关系, 即可求得 a,进而得到椭圆方程; (Ⅱ) 假设存在实数 k, 使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、 Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D (1, 0) , 联立直线方程和椭圆方程, 消去 y, 运用韦达定理, 以及 PQ⊥QD, 即 (x1﹣1) (x2﹣1) +y1y2=0, 又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,化简整理,解出 k,注意检验判别式是否等于 0,即可判断. 解答: 解: (Ⅰ)由点到直线的距离公式,得 d=
2 2



解得:b=1,即 a ﹣c =1, 又椭圆的离心率为 ∴椭圆方程是 ,即 = =1; ,解得,a= ,

(Ⅱ)假设存在实数 k,使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D(1,0) . 将 y=kx+2 代入椭圆方程,得, (1+3k )x +12kx+9=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,以 PQ 为直径的圆过点 D(1,0) . 则 PQ⊥QD,即(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2=0, 2 又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,得, (1+k ) (x1x2+(2k﹣1) (x1+x2)+5=0, 又 x1+x2=﹣ 代入上式可得,
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,x1x2=



=0,解得,k=﹣ .
2

此时代入△ =(12k) ﹣4×9(1+3k )>0,

则存在 k=﹣ .使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D(1,0) . 点评: 本题考查椭圆方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦达 定理解题,考查直线和圆的位置关系,考查运算能力,属于中档题. 21. (12 分)已知双曲线 C 的焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且离心率为 2; (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)若经过点 M(1,3)的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设出双曲线方程,且 c=2,再由离心率公式可得 a=1,再由 a,b,c 的关系, 可得 b,进而得到双曲线的方程; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,运用点差法,求出直线 AB 的斜率,进而得到 AB 的方程, 再联立双曲线方程,运用判别式检验即可. 解答: 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 =1(a>0,b>0) ,且 c=2,

由于离心率为 2,即 =2,即 a=1, b= = ,

则双曲线方程为 x ﹣

2

=1;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 =1, =1.两式相减得, (x1﹣x2) (x1+x2)= (y1﹣y2) (y1+y2) ,

由于 M 为 AB 的中点,则 x1+x2=2,y1+y2=6, 得直线 AB 的斜率 kAB= =1,

∴直线 l 的方程为 y﹣3=x﹣1 即 y=x+2,代入方程 x ﹣
2 2

2

=1,

得 2x ﹣4x﹣7=0,△ =4 ﹣4×2×(﹣7)=72>0, 故所求的直线方程为 y=x+2. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查点差法求弦中点的问题,考查运算能力,属于 中档题和易错题.

22. (12 分)如图,已知椭圆 C:

+y =1(a>1)的上顶点为 A,离心率为

2

,若不过点 A

的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.

考点: 恒过定点的直线;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 由椭圆的解析式得到 b=1, 再利用椭圆的性质 a +b =c 列出关系式, 与 e= = 联立组成方程组,求出方程组的解得到 a 与 c 的值,即可确定出椭圆的解析式; (Ⅱ)由 ? =0,利用平面斜率数量积为 0 时两向量垂直得到 AP 与 AQ 垂直,可得出 AP
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与坐标轴不垂直,由 A 的坐标设出直线 AP 的方程为 y=kx+1,根据两直线垂直时斜率的乘积 为﹣1 表示出直线 AQ 的方程,将 y=kx+1 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 求出方程的解得到 x 的值,表示出 P 的坐标,将直线 AQ 方程代入椭圆方程,同理表示出 Q 的坐标,由 P 与 Q 的坐标,表示出直线 l 的两点式方程,整理后可得出直线 l 恒过定点 N(0, ﹣ ) . 解答: 解(Ⅰ)依题意有:e= = 联立①②解得:a= 则椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)证明:由 ? ,c= +y =1; =0,得到 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,
2

①,a ﹣c =b =1②,

2

2

2



由 A(0,1)可设直线 AP 的方程为 y=kx+1,得到直线 AQ 的方程为 y=﹣ x+1(k≠0) , 将 y=kx+1 代入椭圆 C 的方程 解得:x=0 或 x=﹣ , +y =1 中,并整理得: (1+3k )x +6kx=0,
2 2 2

∴P 的坐标为(﹣

,﹣

+1) ,即(﹣



) ,

将上式中的 k 换成﹣ ,同理可得 Q(



) ,

∴直线 l 的方程为 y=

(x﹣

)+



整理得:直线 l 的方程为 y= 则直线 l 过定点 N(0,﹣ ) .

x﹣ ,

点评: 此题考查了恒过定点的方程,以及椭圆的标准方程,涉及的知识有:椭圆的基本性 质,平面向量的数量积运算,以及直线的两点式方程,其计算性较大,是一道综合性较强的试 题.


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