高三数学-1995年全国高中数学联赛试题 精品

1995 年全国高中数学联赛 第 一 试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列 {an} 满足 3a8 ? 5a13 且 a1 ? 0 ,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是 ( ) (A) S10 (B) S11 (C) S 20 (D) S 21 2. 设 复 平 面 上单位圆内接正 20 边 形的 20 个顶点所对应的复数依次为 1995 所对应的不同的点的个数是( ) Z1, Z2 ,?, Z20 ,则复数 Z11995,Z21995, ?, Z20 (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙 子中,如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的 棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4. 已知方程 | x ? 2n | ? k x (n ? N ) 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根 ,则 k 的取值范围是( ) 1 (A) k ? 0 (B) 0 ? k ? 2n ? 1 1 1 ?k? (C) (D)以上都不是 2n ? 1 2n ? 1 5. logsin 1 cos1, logsin 1 tg ) 1, logcos1 sin 1, logcos1 tg 1 的大小关系是( (A) logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 tg1 ? logcos1 tg 1 (B) logcos1 sin 1 ? logcos1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logsin 1 tg 1 (C) logsin 1 tg 1 ? logcos1 tg 1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 cos1 (D) logcos1 tg 1 ? logsin 1 tg 1 ? logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1 6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 1 1 1 ? ? S,与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 PQ PR PS (A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. 设 ? , ? 为一对共轭复数,若 |? ? ? | ? 2 3 ,且 ? 为实数,则 |? | ? _____. ?2 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg 2 x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根个数是 ______. ? y ? 3x ? x 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 ? y ? 的整点个数是______. 3 ?x ? y ? 100 ? 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只 有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是______. 6. 设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时, 15x ? A ,则 A 中 元素的个数最多是______. 第 二 试 一、 (25 分) 给定曲线族 2(2 sin? ? cos? ? 3) x2 ? (8 sin? ? cos? ? 1) y ? 0 , ? 为参数, 求该曲线在直线 y ? 2 x 上所截得的弦长的最大值. 二、(25 分) 求一切实数 p ,使得三次方程 5x3 ? 5( p ? 1) x2 ? (71p ? 1) x ? 1 ? 66 p 的 三个根均为自然数. 三、(35 分) 如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F,G,H,在弧 EF 与 GH 上分别作圆 O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q, 求证: MQ ?/ NP . A E H M Q B N F C G P D 四、(35 分) 将平面上的每个点都以红,蓝两色之一 着色。证明:存在这样两个相似的三角形,它们的相似比为 1995,并且每一 个三角形的三个顶点同色.

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