《复变函数与积分变换》课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲
一、课程与任课教师基本信息
课程名称: 复变函数与积分变换 总学时/周学时/学分:56/4/3 先修课程:高等数学 授课时间:1-18 周周一 1-2,1-8 周周三 3-4 节 授课对象:2016 通信工程 1-6 班 开课院(系) : 计算机学院高等数学课程群 任课(/助课)教师姓名/职称:刘学杰/讲师 编写人姓名/职称: 刘学杰/讲师 使用教材: 《复变函数与积分变换》 ,苏变萍、陈东立,北京:高等教育出版社,2010。 教学参考资料: 1、 《复变函数与积分变换》 ,马柏林、李丹衡、宴华辉,上海:复旦大学出版社,2007。 2、 《复变函数与积分变换》 ,刘西民,上海:上海交通大学出版社,2010。 课程期末考核方式:开卷( ) 联系电话:1592022386/64613 闭卷( √) 课程论文( ) 实操( ) 授课地点:6F302 课程类别:必修课 其中实验(实训、讨论等)学时:4 课程英文名称:Function of Complex Variable and Integral Transform

Email: bgliouxj@163.com

答疑时间、地点与方式:1.每次上课的课前、课间和课后,采用一对一的问答方式;2.每次发放作业 时,课前采用集中讲解方式;3.课程结束后和教学前安排集中答疑。 编写时间: 2017 年 9 月 28-9 月 5 日

二、课程简介
本课程属于电子、电气、自动化及光信息的基础必修课,其目的是为培养相关专业学 生的计算能力和理性思考能力。由于针对的是非数学专业的学生,因此在兼顾理论的同时, 以实际应用为主。 通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数与积分变换的一些基本概念、 基本理论与基本方法;能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题;使学生掌 握Fourier 变换、 Laplace 变换的性质及相关计算, 并以此为工具学会分析和处理工程实际 中的一些问题, 为学习后续课程打好基础。 培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基 本技能,为学习相关后续专业课程奠定必要的数学基础,并为将来从事教学、科研以及其它 实际工作打好基础。

三、课程教学目标(精炼概括 3-5 条目标,本课程教学目标须与授课对象的专 业培养目标有一定的对应关系)
结合专业培养目标,提出本课程要达到的目标。这些目标包括: 1.知识与技能目标:通过本课程的学习,使学生掌握常用的计算法则,了解该课程的 后续应用。学生在学习完本课程后,至少应掌握下述技能:(1) 解析函数的构造及其幂级数 表示; (2)Fourier变换的性质及其应用; (3)Laplace变换及其应用; (4)离散Fourier变 换、快速Fourier变换及其应用; (5)z变换及其应用。应理解复变函数的解析性、多元函数 的调和性与基本的复变函数,了解函数的奇点与留数定理。 2.过程与方法目标:通过本课程的学习,使学生的基本运算能力、分析问题的能力与
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解决问题的能力有所提高, 使得学生通过学习本课程得到知识的积累和一定的启发, 学习数 学的严密性,从更高的起点和不同的角度看待工程问题。从观察出发,借助于数学思维,并 能运用《复变函数与积分变换》的知识去分析、研究、评估甚至解决一些简单的或常见的工 程问题。 3.情感、态度与价值观发展目标:通过本课程的学习,培养一个具备良好数学基础的 电子信息工程技术人员必须具备的认真、严谨、求实、敬业的工作精神和学习态度,具有自 信、团结协作的工作作风,具有“基础宽厚、设计一流、富于创新、勇于实践、擅长管理, 人格、知识、能力与素质俱佳,富有创新精神和创新能力的卓越人才。

四、课程组织及教学内容
该课程主要讲授复数与复变函数, 解析函数, 复变函数的积分, 解析函数的级数表示法, 留数理论及其应用,共形映射,解析函数在平面场的应用,(其中第六章与第七章选讲), 傅里叶变换与拉普拉斯变换。通过课程教学要使学生初步掌握解析函数、复积分、级数、留 数、保形映射、傅里叶变换与拉普拉斯变换等基本概念和基本计算方法,培养学生初步运用 复变函数与积分变换理论分析问题、解决问题的能力。 第一篇 第一章. 复数与复变函数 明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等 概念。 知道复数的性质,平面点集的定理,极限运算及连续函数的基本性质。 掌握复数的计算,会应用模和辐角的性质,会作点集的图形,掌握一些简单函数的变换 性质。 进一步认识复数域的结构。了解复数在几何中的应用。 重点:用复数的各种表示法进行运算。辨析实函与复函概念的异同。 难点:复数的辐角,多值函数,复函的几何意义的应用,各类基本初等函数的概念。 1.1 复数:复数的概念及表示;复数的运算;复数在几何上的应用。 1.2 复数的三角表示法:复数的模与辐角;复数的三角表示;复数的乘方与开方。 1.3 平面点集的一般概念:开集与闭集;平面曲线。 1.4 无穷大与复球面:无穷远点;复球面。 1.5 复变函数:概念;极限;连续。 第二章. 导数 理解导数、解析函数、柯西—黎曼方程。 掌握解析函数的定义和等价刻画。 知道基本初等函数的解析性, 理解根式函数和对数函 数的单值解析分支。 掌握函数的可导性和解析性的充要和充分条件,熟练求各阶导数。

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重点:复变函数可导与解析的判别法,柯西—黎曼方程,求导公式。 难点:复变函数可导与解析的判别法。 2.1 解析函数的概念:复变函数的导数;解析函数的概念与求导法则;解析函数的充分 必要条件。 2.2 解析函数和调和函数的关系:调和函数的概念;共轭调和函数。 2.3 初等函数:指数函数;对数函数;幂函数;三角函数;双曲函数。 第三章. 复变函数的积分 理解复积分的概念,掌握复积分的计算。 掌握柯西积分定理,柯西积分定理的推广,复围线柯西积分定理。了解柯西积分定理的 古莎证明。 掌握柯西积分公式,解析函数平均值定理,解析函数无穷可微性及其理论。会利用柯西 积分公式及复围线柯西积分定理计算围线积分。 理解调和函数、共轭调和函数的概念。掌握解析函数与调和函数的关系,会求已知实部 或虚部的解析函数。 重点:柯西积分定理及其推广,柯西积分公式,高阶导数公式。 难点:已知解析函数的实部或虚部求解析函数。 3.1 复积分的概念:复积分的定义与计算、复积分的基本性质。 3.2 柯西积分定理:定理的证明、推广、应用。 3.3 柯西积分公式:公式及其应用。 3.4 解析函数的高阶导数:刘维尔定理。 第四章. 解析函数的级数表示 知道复变函数项级数、幂级数、泰勒展式、洛朗级数、收敛半径、收敛圆的概念。 了解复函数项级数和函数的连续性,逐项积分性质和解析性。掌握幂级数和的解析性, 会求幂级数的收敛半径和收敛圆。 理解泰勒定理及其证明, 知道幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。 会求一些初等函数 的泰勒展式。 知道解析函数零点的概念。 理解解析函数零点的孤立性定理, 唯一性定理和最大模原理, 并会利用它们证明一些命题。 重点:幂级数;泰勒定理;洛朗定理。 难点:求具体函数的泰勒展式;洛朗级数。
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4.1 复数项级数:复数序列的极限;复数项级数;条件与绝对收敛。 4.2 复变函数项级数:幂级数:幂级数的敛散性;收敛半径的求法;幂级数和的解析性。 4.3 泰勒级数:泰勒定理;一些初等函数的泰勒展式。 4.4 洛朗级数:洛朗定理;函数的洛朗级数展开式。 第五章. 留数及其应用 理解留数概念,理解留数定理及证明,会求孤立奇点的留数,会利用留数定理计算围线 积分。 掌握利用留数定理计算实积分的四种类型。 了解辐角原理和儒歇定理及其应用。 重点:留数定理,留数计算及应用。 难点:留数定理及证明。 5.1 孤立奇点:孤立奇算点的分类;函数零点与极点的关系。 5.2 留数:留数的概念;留数定理。 5.3 留数在定积分计算上的应用:围道积分方法;。 5.4 对数留数与辐角原理:对数留数;辐角原理;儒歇定理。 第六章. 保形(共形)映射(选讲) 理解导数的几何意义及保形变换、分式线性变换、保交比性、保圆性、保对称点性等概 念。掌握它们的性质及应用。 理解黎曼存在定理和边界对用定理。 熟练掌握分式线性映射及其性质。 重点:共形映射;分式线性映射。 难点:确定一些区域之间的初等变换所构成的映射。 6.1 共形映射的概念:导数的几何意义;共形映射。 6.2 共形映射的基本问题: 解析函数的保域性与边界对应原理; 共形映射的存在唯一性。 6.3 分式线性映射:分式线性函数的分解;分式线性映射的保圆性。 6.4 几初等函数构成的共形映射:幂函数;指数函数。 第七章.解析函数在平面场的应用:略

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第二篇 第一章.傅里叶变换 理解傅里叶级数、展开定理、傅氏积分与傅氏变换、单位脉冲函数及其性质。 熟练掌握傅氏变换的性质。 重点:傅氏变换与逆变换;傅氏变换的性质。 难点:单位脉冲函数;频谱理论。 1.1 傅里叶变换的概念:傅里级数;傅氏变换与逆变换;频谱。 1.2 单位脉冲函数:单位脉冲函数的概念与性质;单位脉冲函数的傅氏变换。 1.3 傅里叶变换的性质:基本性质;卷积定理。 第二章 拉普拉斯变换 理解拉氏变换的存在定理、拉氏变换的性质、卷积与卷积定理、拉氏逆变换及拉氏变换 的应用。 重点:拉氏变换与逆变换及其性质。 难点:卷积定理与拉氏逆变换。 2.1 拉氏变换的概念:拉氏变换的定义;拉氏变换存在定理。 2.2 拉氏变换的性质:拉氏变换的性质;卷积与卷积定理。 2.3 拉氏逆变换:反演积分公式;利用留数计算反演积分。 2.4 拉氏变换的应用及综合应用:求解常微分方程(组);综合应用。 建议学时分配表 学 时 分 配 序号 课程内容 讲 授 1 2 3 4 4 5 6 复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 共形映射 4 6 6 5 5 2 习题课 1 2 2 1 实 验 小 5 8 8 6 5 2 计

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8 9

傅里叶变换 拉普拉氏变换 合 实验项 目 名称 计 表2

8 8 44 实验教学进程表 掌握程度

2 2 10

10 10 54

周 次

要点与重点

实验类型*

实验要求**

学 时

课 余 数值计算 时 间

复变函数基本计 算与积分变换的 数学软件实现。

了解应用常用 数学命令。

验证性

选做

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* 实验类型:分演示性、验证性、综合性、设计性等四种。设计性实验指给定实验目的要求 和实验条件, 由学生自行设计实验方案并加以实现的实验; 综合性实验指实验内容涉及本课 程的综合知识或与本课程相关课程知识的实验。 **实验要求:分必做、选做两种。 讲授方式:本课程的教学模式为以课堂教学为主,以实验教学和教学讨论为辅,在教学过程 中注意使用现代教育技术,不断提高教学效率和教学质量并布置相应的练习,题量适中,题 型要具有代表性,能让学生即景生情,举一反三,熟练运用课堂上学到的技巧和方法,不应 过分追求难题效应,因材施教。每一章课程结束后,都要进行一次小结练习。通过小结练习 可以促使学生巩固自己学到的知识、方法和技巧。允许学生提问但不积极提倡,鼓励学生开 拓自己的思维,学会独立思考。 执行本大纲时,应注意以下几个问题: (1) 在不影响基本要求的情况下, 本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排, 可作适当调整。 (2)为避免教学上的难点过于集中,有些内容可先提出并应用,把证明推迟进行,如留数 定理在实积分中的应用。 (3)为了有利于高等数学教学的衔接,建议把高等数学微积分的内容和复变函数的极限、 连续、 积分、 幂级数展开式等相联系, 以便于学生更好的学好复变函数与积分变换这门课程。 (4)作业安排:原则要求学生把每章的习题至少做够 80%以上,学生在作业本上可灵活处 理题量,带星号的扩展思考型习题是针对学有余力(如:高数期考卷面成绩为 90 分以上) 的学生。

五、成绩评定方法及标准
考核内容 平时作业 考勤 期末考试 考试方式 评价标准及要求 百分制,登记不低于5次,缺交一次,扣20分 百分制,考勤不低于5次,迟到或旷课一次,扣20分 百分制,卷面成绩 开卷□ 闭卷■ 课程论文□ 实操□ 权重 10% 20% 70%

六、院(系)教学委员会审查意见 我院(系)教学委员会已对本课程教学大纲进行了审查,同意执行。 院(系)教学委员会主任签名:

日期:
6

2017年 09 月6日


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