版高中数学第二章平面向量252向量在物理中的应用举例导学案新人教A版必修4(数学教案)

2.5.2 学习目标 向量在物理中的应用举例 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会 向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力. 知识点一 向量的线性运算在物理中的应用 思考 1 向量与力有什么相同点和不同点? 答案 向量是既有大小又有方向的量, 它们可以有共同的作用点, 也可以没有共同的作用点, 但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的. 思考 2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系? 答案 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用 到向量的合成. 梳理 (1)用向量解决力的问题,通常把向量的起点平移到同一个作用点上. (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算. 知识点二 向量的数量积在物理中的应用 思考 向量的数量积与功有什么联系? 答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向 量的数量积. 梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积, 即 W=|F||s|cos 〈F,s〉 ,功是一个实数,它可正可负,也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的 夹角,它的实质是向量 F 与 s 的数量积. 知识点三 向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤: 1 (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题;(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模 型;(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;(4)回答问题,即把所得的数学结论回 归到物理问题. 类型一 向量的线性运算在物理中的应用 例 1 (1)在重 300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分 别为 30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小. → → → 解 如图,两根绳子的拉力之和OA+OB=OC, → → 且|OC|=|OG|=300 N,∠AOC=30°,∠BOC=60°. 在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°, 则∠OAC=90°, → → 从而|OA|=|OC|·cos 30°=150 3(N), → → |AC|=|OC|·sin 30°=150(N), → → 所以|OB|=|AC|=150(N). 答 与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N, 与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N. (2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动, 如果一帆船所受的风力 方向为北偏东 30°,速度为 20 km/h,此时水的流向是正东,流速为 20 km/h.若不考虑其他 因素,求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东 30°,速度为|v1|=20(km/h),水 流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h), 设帆船行驶的速度为 v, 则 v=v1+v2. 2 由题意,可得向量 v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10 3),向量 v2=(20,0), 则帆船的行驶速度为 v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3), 所以|v|= 30 +?10 3? =20 3(km/h). 2 2 10 3 3 因为 tan α = = (α 为 v 和 v2 的夹角,且为锐角), 30 3 所以 α =30°, 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶,速度为 20 3 km/h. 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将 题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则,运算律或性质计算.第二种是坐标法,通过 建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算. 跟踪训练 1 河水自西向东流动的速度为 10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水 中的速度为 10 3 km/h,求小船的实际航行速度. → → 解 设 a,b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点 O 作OA=a,OB=b, → → → → → 以OA,OB为邻边作矩形 OACB,连接OC,如图,则OC=a+b,并且OC即为小船的实际航行速度. → 2 2 2 ∴|OC|= ?a+b? = a +b =20(km/h), 10 3 tan ∠AOC= = 3, 10 ∴∠AOC=60°, ∴小船的实际航行速度为 20 km/h,按北偏东 30°的方向航行. 类型二 向量的数量积在物理中的应用 例 2 已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0). (1)求力 F1,F2 分别对质点所做的功; (2)求力 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功. → 解 (1)AB=(7,0)-(20,15) =(-13,-15), W1=F1·AB=(3,4)·(-13,-15) → 3 =3×(-13)+4×(-15)=-99, W2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3. ∴力 F1,F2 对质点所做的功分别为-99 和-3. → → (2)W=F·AB=(F1+F2)·AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =(9,-1)·(-13,-15) =9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15=-102. ∴合力 F 对质点所做的功为-102. 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积. 跟踪训练 2 一个物体受到同一平面内的三个力 F1,F2,F3 的作用,沿北偏东 45°的方向移 动了 8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东 30°,|F2|=4 N,方向为北偏东 60°,|F3|=6 N, 方向为北偏西 30

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