湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

宜昌市葛洲坝中学 2015~2016 学年第二学期高二年级期中考试 (理)
考试时间:2016.4.28 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

数学试题

1.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则

m 的值为(
A.4

) B. ? 1
2

C.6

D.0
2

2.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b -4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )
主视图



3.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为( A. (3,?3) B. ( ?4,11) C. (3,?3) 或 ( ?4,11) D.不存在 )

左视图

4. 曲线 y ? e x , y ? e? x 和直线 x ? 1 围成的图形面积是( A. e ? e
?1

B. e ? e

?1

C. e ? e ? 2

?1

D. e ? e ? 2

?1

5.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( ... A. )
俯视图

? 4

B.

5 ? 4

C. ?

D.

3 ? 2

6.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( A.65 B.64 C.63 D.62 i=11 s=1 DO s= s * i i = i-1 LOOP UNTIL “条件” PRINT s END (第 7 题) )

7、如果右边程序执行后输出的结果是 990,那么在程序 until 后面的“条 件”应为( ) A.i > 10 B.i <8 C.i <=9 D.i<9 8.某公司生产三种型号的轿车,产量分别是 1600 辆、6000 辆和 2000 辆, 为检验公司的产品质量,现从这三种型 号的轿车种抽取 48 辆进行检验,这 三种型号的轿车依 次应抽取( A.16,16,16 B.8,30,10 ) C.4,33,11 D.12,27,9
2

9.工人制造机器零件尺寸在正常情况下,服从正态分布 N (? ,? ) .在一

1

次正常实验中,取 1000 个零件时,不属于 (? ? 3? , ? ? 3? ) 这个尺寸范围的零件个数可能为( A.3 个
5



B.6 个

C.7 个

D.10 个 )

2 5 10.设 ? 2 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a5 x ,那么

a0 ? a2 ? a4 的值为( a1 ? a 3 ? a5
D. ?1

A.-

122 121

B.-

61 60

C.-

244 241

11.位于平面直角坐标系原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,方向向左或

2 1 ,向右的概率为 ,则质点移动 5 次后位于点 ?1,0? 的概率为( ) 3 3 4 8 40 80 A. B. C. D. 243 243 243 243 ?0 ? a ? 4 2 12.已知实数 a , b 满足 ? , x1 , x 2 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? b ? a ? 3 ? 0 的两个实根,则 0 ? b ? 4 ?
向右,并且向左的概率为 不等式 0 ? x1 ? 1 ? x2 成立的概率是( 3 A. 32 B. 3 16 C. 5 32 ) 9 D. 16

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k (k ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该椭圆的离心率 是 . 14.将二进制数 1010101(2) 化为十进制结果为

;再将该数化为八进制数,结果为
n(2n2 ? 1) 时,由 n ? k 的假设到证明 3

15.用数学归纳法 证明 12 ? 22 ? ? ? (n ? 1)2 ? n2 ? (n ? 1)2 ? ? ? 22 ? 12 ?
n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是

? π? ? π? 16.给出下列四个命题:①? x∈R,cos x=sin?x+ ?+sin?x+ ?一定不成立;②某医疗研究所 3? 6? ? ?
为了检验“达菲(药物)”对甲型 H1N1 流感病毒是否有抑制作用,把墨西哥的患者数据库中的 500 名 使用达菲的人与另外 500 名未用达菲的人一段时间 内患甲型 H1N1 流感的疗效记录作比较, 提出假设
2 H0: “达菲不能起到抑制甲型 H1N1 流感病毒的作用” ,利用 2×2 列联表计算得 K ≈3.918,经查对临

界值表知 P(K ≥3.841)≈0.05, 说明达菲抑制甲型 H1N1 流感病毒的有 效率为 95%;③|a·b|=|a| |b|是|λ a+μ b|=|λ ||a|+|μ ||b|成 立的充要条件;④如右图的茎叶图是某班在一次测验时的成绩:可断 定:女生成绩比较集中,整体水平稍高于男生.其中真命题的序号是 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知
2n

2

?

3

x ? x2

?

2n

的展开式的系数和比 ?3x ? 1? 的展开式的系数和大 992,求
n

1? ? (Ⅰ)二项式系数最大的项; (Ⅱ)系数的绝对值最大的项。 ? 2 x ? ? 的展开式中: x? ?
2

18. (本小题 12 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结 果按如下方式分成五组:每一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ,??,第五组 ?17,18? .右图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班 在这次百米测试中成绩良好的人数; (Ⅱ)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知
m , n ? ?13,14) ? ?17,18? ,求事件“ m ? n ? 1 ”的概率.
0.16 0.38 0.32 频率 组距

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



19 题 图

? 19. (本小题 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 是 ?A ? 60

且边长为 a 的菱形,又 PD ? 底面 ABCD ,且 PD=CD,点 M、 N 分别是棱 AD、PC 的中点. (Ⅰ)证明:DN//平面 PMB; (Ⅱ)证明:平面 PMB ? 平面 PAD; (Ⅲ)求点 A 到平面 PMB 的距离.

x2 y2 20. (本小题 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆 a b
两个焦点的距离之和为 6. (Ⅰ)求椭 圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两 点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线 l 的方程.

21.某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A、

B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了了解教学效果,期末考试后,陈
老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于 90

3

分者为“成绩优秀”.

(Ⅰ)在乙班样本中的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两个均“成 绩优秀”的概率; (Ⅱ) 由以上统计数据填写下面列联表, 并判断是否有 90%的把握认为: “成绩优秀与教学方式有关” 。 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 参考公式: 乙班(B 方式) 总计

P (K2 ? k) 0.50
k
0.45 5
2

0.40 0.70 8

0.25 1.32 3

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

n(ad ? bc) 2 K ? ,n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

1 3 2 2 22.设函数 f ( x) ? ? x ? x ? (m ? 1) x ,其中 m ? 0 , 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线斜率; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0 , x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

4

宜昌市葛洲坝中学 2015~2016 学年第二学期 高二年级期中考试 数学试题(理)参考答案 一、选择题 BACDC CDBAA CC 二、填空题 13.

3 2

14.85

125

15. ?k ? 1? ? k 2
2

16.④

三、解答题 17.解:由题意知 2
2n

? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 。

1 ( 2 x ? )10 x 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 (1) 1 5 T6 ? C10 ? (2 x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 x
1 r Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10 ? r ? (? ) r x (2)设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,因为
r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210? r ?1 ?C10 ? 2 ?C10 ? 2C10 ?11? r ? 2r ? r 10? r ? r ? r ?1 10 ? r ?1 r ?1 ?C ? 2 ?2C ? C10 ? C10 ? 2 则 ? 10 ,得 ? 10 即 ?2(r ? 1) ? 10 ? r 8 11 ?r? 3 解得 3

所以 r=3,故系数的绝对 值最大的项是第 4 项

1 3 T4 ? C10 (2 x) 7 (? ) 3 ? ?15360 x 4 x 即
18.解: (Ⅰ)由直方图知,成绩在 14, 16? 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?13,14? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人, 设为 x 、

?

y 、 z ;成绩在 ?17,18? 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D .

若 m , n ? ?13,14) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m , n 分别在 13,14? 和 17,18? 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC

若 m , n ? ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况;

?

?

D xD yD zD

共有 12 种情况.

5

所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P( m ? n ? 1 )=
12 4 ? ????12 分 21 7

19.解: (1)证明:取 PB 中点 Q,连结 MQ、NQ,因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点,所以 QN//BC//MD,且 QN=MD,于是 DN//MQ.

? ? MQ ? 平面PMB? ? DN // 平面PMB . DN ? 平面PMB ? ? DN // MQ
???????4 分 (2)

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD?

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60? ,边长为 a 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB ? AD .又 所以 MB ? 平面PAD .

MB ? 平面PAD ? ? ? 平面PMB ? 平面PAD. ??????8 分 MB ? 平面PMB?
(3)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离. 过点 D 作 DH ? PM 于 H,由(2)平面 PMB ? 平面 PAD,所以 DH ? 平面PMB . 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.

a ?a 5 5 2 a .???12 分 DH ? ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 5 5 5 a 2
20.解析: (Ⅰ)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 ,解得 a ? 3 , c ? 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

6,
??4 分

x2 y2 ? ? 1。 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 ,

直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 解得 k 2 ? 设 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 )则 x1 ? x 2 ?

1 。 9

3 12k , x1 x 2 ? ,??7 分 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k

6

12k 4 , ?? 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 ? ?1 2 因为 PA = PB ,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1 ,所以 1 ? 3k ? k ? ?1 , 解得 k ? ?1 , 6k 1 ? 3k 2 经检验,符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。
计算 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? 分 21.

??12

22. 【解析】解: (1)当 m ? 1时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 3

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

1? m ? 1? m 因为 m ? 0, 所以
当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

x

(??,1 ? m)

1? m

(1 ? m,1 ? m)

1? m

(1 ? m,??)

7

f ' ( x)
f ( x)

+

0 极小值

-

0 极大值

+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 3 1 2 0 , 于 是 对 任 意 的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 f (1) ? m ? ? 0 , 解 得 3
则 f ( x) ?? ?

?

3 3 ?m? 3 3
综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

8


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