1.1.3四种命题的关系(2课时)


1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1

第一章

常用逻辑用语
郑平正制作

2015-3-5

回顾
? ? ?

交换原命题的条件和结论,所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论,所得的命 否命题。 题是________ 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 逆否命题。 所得的命题是__________

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原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若p,则q ? 逆命题: 若q,则p ? 否命题: 若┐p,则┐q ? 逆否命题: 若┐q,则┐p

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看下面的例子:

2.四种命题的真假
(真 ) (真 ) (真 ) (真 )

1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3)原命题:若x∈A∪B,则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题: x∈ UA∪ UB ,x∈A∪B 。 假 假 否命题: x?A∪B,x ? UA∪ UB。

Help
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逆否命题: x ? UA∪ UB ,x?A∪B 。



四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
结论一:

逆命题
真 假 真 假

否命题
真 假 真 假
结论二:

逆否命题
真 真 假 假

1、原命题为真,它的逆命题不一定为真 (1)互为逆否的一对命题,同真假 2、原命题为真,它的否命题不一定为真 (2)互逆的一对命题,不一定同真假 3、原命题为真,它的逆否命题一定为真 (3)互否的一对命题,不一定同真假 郑平正制作

几条结论:
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为真。但

其逆命题、否命题不一定为真。
(2) 若其逆命题为真,则其否命题一定为真。但

其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想? 由以上三例及总结我们能发现什么? 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).
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练一练
1.判断下列说法是否正确。 (对) 1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真;
2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真。 3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假。 4)一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为( )个。 答:0个、2个、4个。 如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A。 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ。 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A。 (对) (错) (错)

(假) (假) (假) (假)
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例1 、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并 判断这些命题的真假。
1)当 c>0时,若a>b,则ac>bc
逆命题:当 c>0时,若ac>bc ,则 a>b 否命题:当 c>0时,若a≤b,则ac≤bc

真命题
真命题 真命题 真命题

逆否命题:当 c>0时,若ac≤bc ,则 a≤b
2)若x=y,则 逆命题:若

x ? y
,则x=y x? y

真命题

假命题
假命题

否命题:若x≠y,则 逆否命题:若

x? y

,则x≠y x? y

真命题
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例2、分别写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程
(3)若 m ? 0 或n

x ? 2x ? q ? 0 有实根。
2

(2)若ab=0,则a=0或b=0.

? 0,则 m ? n ? 0 。 2 2 (4)若 x ? y ? 0,则x,y全为零。

注意:原命题真假不好判断时可判断其
逆否命题的真假。
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巩固练习:
判断命题的真假
1)若x+y≠3,则x≠1或y≠2 真命题

逆否命题:若x=1且y=2 ,则x+y=3 真命题

2)若 a ? b ? 2 ,则实数a和b不都小于1

真命题

逆否命题:若实数a和b都小于1 ,则 a ? b ? 2真命题

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总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
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反证法:
要证明某一结论A是正确的,但不直接证 明,而是先去证明 A 的反面(非 A )是错 误的,从而断定A是正确的。 ? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法。
?

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反证法的步骤:
1. 假设命题的结论不成立,即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发,通过推理论证,得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确。

王新敞
奎屯

新疆

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例3、证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2+q2=2,则p+q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性,要证原命题为真命题,可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p ? q ? 2, 则p ? q ? 2.”

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例3、证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
证明: 假设 p ? q ? 2 ,
则 ( p ? q) 2 ? 4 , ∴ p2 ? q 2 ? 2 pq ? 4 ,
2 2

假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立

∵ p ? q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p ? q ) ? 4 , ∴ p ? q ? 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p ?q ? 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题, 从而原命 题也为真命题.
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变式练习
3 3 p ? q ? 2 。求证:p ? q ? 2. 1、已知

解:假设p+q>2,那么q>2-p, 根据幂函数

y ? x 的单调性,得 q ? (2 ? p) ,
3
3 3

3 2 3 q ? 8 ? 12 p ? 6 p ? p , 即 1? ? 2 3 3 2 p ? q ? 8 ? 12 p ? 6 p ? 6 ?( p ? 1) ? ? , 3? ? 3 3 3 3 p ? q ? 2. 所以 因此 p ? q ? 2.

这说明,原命题的逆否命题为真命题,从而原 命题为真命题。
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可能出现矛盾四种情况:
与题设矛盾; 与反设矛盾; 与公理、定理矛盾; 在证明过程中,推出自相矛盾的结论。

? ?

?
?

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例4、用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a ? b .
证明: 假设

a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以

a< b? a a? b a
a b ? b b ? a <b

a = b ? a =b 这些条件都与已知a ? b ? 0 矛盾
所以原命题

a? b

成立
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练习1、圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知:如图,在⊙O中,弦AB、CD交于P,且AB、 CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.

证明: 假设弦AB 、CD被P平分, ∵P点一定不是圆心O,连接OP, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直, 这与垂线性质矛盾, ∴弦AB、CD不被P平分。
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练习2、若a2能被2整除,a是整数, 求证:a也能被2整除.
证:假设a不能被2整除,则a必为奇数, 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数, 这与题中的已知条件(a2能被2整除)相矛盾, ∴a能被2整除.
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练习3、

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练习4、

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课 堂 小 结
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

U

A A∩B

B

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