2013年(广州二模)文科数学试卷&答案&评分标准

2013 年(广州二模)文科数学&答案&评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。
1.命题 ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0” 的否定是( “ A. ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 )

B. ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 )

2.如果函数 f ( x) ? ln(?2 x ? a) 的定义域为 (??,1) ,则实数 a 的值为( A.-2 B.-1
? ? ?

C.1

D.2 )

3.对于任意向量 A. | a b |?| a || b |
?? ? ?

a 、 、 ,下列命题中正确的是( b c
B. | a ? b |?| a | ? | b | D. a a ?| a |
?? ? 2 ? ? ? ?

C.(a b ) c ? a ( b c )

?? ?

? ??

4.若直线 y ? k ( x ? 1) 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相交于 A、B 两点,则 | AB | 的值为( A.2 B.1 C.



1 2

D.与 k 有关的数值
2

5.若 1-i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0( p、q ? R) 的一个解,则 p+q=( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )



6.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 S 的值为( A.225 B.196 C.169 开始 D.144 S=0, i=1

S=S+i

i=i+2

i >27 ?

结束 7.若函数 y ? coswx(w ? N ) 的一个对称中心是( A.2 B.3 C.6 D.9
?

输出 S )

? ,) 0 ,则 w 的最小值为( 6

8.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成 体积之比为 1:7 的上下两部分,则截面的面积为( A. ) D. 4?

1 ? 4

B.

?

C.

9 ? 4

9.已知 0 ? a ? 1,0 ? x ? y ? 1 ,且 loga x ? loga y ? 1 ,那么 xy 的取值范围为( A. (0, a 2 ] B. (0, a ] C. (0, ]



1 a

D. (0,

1 ] a2

10.某校高三(1)班 50 个学生选修模块课程,他们在 A、B、C 三个模块中进行选择,且至少需要 1 个模块, 具体模块选择的情况如下表: 模块 A B C 模块选择的学生人数 28 26 26 ) C.5 D.4 模块 A与B A与C B与C 模块选择的学生人数 11 12 13

则三个模块都选择的学生的人数是( A.7 B. 6

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.如图 3,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为圆心, 1 为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M(图中白色部分). 若在此三角形内随机取一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为 12.已知 ? 为锐角,且 cos? ? ? . .

? ?

??

3 ? ? ,则 sin ? ? 4? 5

13.数列 {an } 的项是由 1 或 2 构成,且首项为 1,在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 2,即数列

{an } 为: 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,?, 记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 20 ?
二、选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何选讲证明) 在 ?ABC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE ? 延长 AE 交 BC 于点 F,则

, S 2013 ?

.

1 BD , 3

BF 的值为 FC

.

15.(坐标系与参数方程选做题) 在坐标系中,已知点 A(1,

? ) ,点 P 是曲线 ?sin 2? ? 4cos? 上任意一点, 2
.

设点 P 到直线 ?cos? ? 1 ? 0 的距离为 d,则 | PA | ?d 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班的 300 名学生中以班为单位 (每班学生 50 人) ,每班按随机抽样抽取了 8 名学生的视力数据.期中高三(1)班抽取的 8 名学生 的视力数据与人数见下表: 视力数据 人数 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 2 4.5 4.6 2 4.7 4.8 2 4.9 1 5.0 5.1 1 5.2 5.3

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生 视力的平均值做比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率.

17. (本小题满分 12 分) 某单位有 A、B、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O,使得发射点到三个工作点的距离相等. 已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80m,BC=70m,CA=50m.假定 A、B、C、O 四点在同一平面上. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90 .
0

(1)求证:平面 PBC ? 平面 PAC; (2)已知 PA=1,AB=2,当三棱锥 P-ABC 的体积最大时,求 BC 的长.

P

A B

C

19. (本小题满分 14 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 5 , a3 ? 7 ,记数列 { (1)求数列 an 的通项公式; (2)是否存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 S1、S m、S n 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 m、n 值;若不存在,请说明理由.

1 的前 n 项和为 S n . } an an?1

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a ln x(a ? R, 且a ? 0) . (1)若 f (x) 在定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f (x) 在区间 [1,2] 上的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 经过点 F(0,1)且与直线 y=-1 相切的动圆的轨迹为 M..点 A、D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD(两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于 点 B、C. (1) 求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? CAD ; (3) 若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 | AD | ,且 ?ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2


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