金丽衢十二校2013学年第一次联合考试(文科)

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金丽衢十二校 2014 学年高三第一次联考

数学试卷(文科)
命题人:永康一中 陈 诚 审 题:浦江中学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ≤ x ? 2 ,且 A ? ?CR B ? ? R ,则实数 a 的取值范围 是 A. a ≤ 1 B. a ? 1 C. a ≥ 2 D. a ? 2 2.已知 a, b ? R ,下列命题正确的是 A.若 a ? b , 则

?

?

?

?

1 1 ? a b

B.若 a ? b ,则

1 1 ? a b
2 2

2 2 C.若 a ? b ,则 a ? b

D.若 a ? b ,则 a ? b

3. 已知 ?an ? 为等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 m, n 为空间两条不同的直线, ? , ? 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③若 m // ? , m // n ,则 n // ? ; ④若 m ? ? , ? // ? ,则 m ? ? . 其中的正确命题序号是 A.③④ B.②④ C.①② D. ①③ 5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图 数学试题卷(文科) 第 1 页(共 4 页)

所示,则 f ( x) ? A. 2 sin(2 x ? ) C.

π 6

B. D.

2 sin( 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) )

2 sin( 2 x ?

?
3

)

?
3

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, A ? 60? ,若三角形有两解,则 b 的取 值范围为 A. ?0,1? B. (1,

2 3 ) 3

C. ?1,2?

D. (

2 3 , 2) 3

1 ? 3x 1 ? 3 7. 已知 f ?x ? ? , 则 f ?x ? 的值域是 ? 2 2
x

A. ?0,2?

B. ?0,3?

C.

?1,2?

D. ?0,1?

8.已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an? 2 ? 3an ,则 S2014 ? A. 2 ? 3
1007

?2

B. 2 ? 3

1007

32014 ? 1 C. 2

32014 ? 1 D. 2

9. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是边长为 a 的正方形,若 在侧棱 AA 1 上至少存在一点 E , 使得 ?C1 EB ? 90? , 则侧棱

AA 1 的长的最小值为
A. a B. 2 a C. 3a D. 4 a

10.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的左右 a2 b2

焦点,如果双曲线上存在一点 P ,使得 F2 关于直线 PF 1 的对 称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. e ?

2 3 3

B. 1 ? e ?

2 3 3

C. e ?

3

D. 1 ? e ?

3

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置.

? x ? y ≥1 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最小值为 ?3 x ? y ≤ 3 ?
12.已知 sin( x ? ) ?

.

π 6

1 ?π ? , 则 sin 2 ? ? x ? ? 4 ?3 ?

.

数学试题卷(文科) 第 2 页(共 4 页)

13. 设直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相交于点 P , Q 两点, O 为坐标原 点,且 OP ? OQ ,则实数 a 的值为 14.已知点 P?a, b ? 是椭圆 .

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, 4
.

则 b 1 ? a 2 的最大值为

15. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则 1 此几何体的体积为 cm3. 16. 已知 a ? 0, b ? 0 , log9 a ? log12 b ? log16 2(a ? b) ,则

b ? a
.



17.已知 ?ABC 是边长为 2 3 的正三角形, EF 为 ?ABC 的外接圆 O 的一条直径, M 为

?ABC 的边上的动点,则 ME ? MF 的最小值为

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知△ABC 的面积 S ? a 2 ? ?b ? c? .
2

(Ⅰ)求 sin A 与 cos A 的值; (Ⅱ)设 b ? ?a ,若 cos C ?

4 5

,求 ? 的值.

19.(本题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,且 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)当 n ≥ 2 时, an ?1 ?

S 2 S3 S 4 ? Sn ? ? ? ? 12 . ? 是等差数列,已知 a1 ? 1, 2 3 4 ?n?

?
an

≥ ? 恒成立,求 ? 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, ACFE 为平行四边形,且面 ACFE ? 面 ABCD ,

AB ? BD ? 2, AE ? 3 ,设 BD 与 AC 相交于点 G , H 为 FG 的中点.
数学试题卷(文科) 第 3 页(共 4 页)

(Ⅰ)证明: CH ? 面 BFD ; (Ⅱ)若 CH ?

3 ,求 EF 与面 EDB 所成角的大小. 2

2 21. (本题满分 15 分) 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最

大值 4 和最小值 1 .设 f ( x) ? (Ⅰ)求 a 、 b 的值;

g ( x) . x

(Ⅱ)若不等式 f (2x ) ? k ? 2x ≥ 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ) 若 f | 2 ?1| ? k ?
x

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

22.(本题满分 15 分)已知抛物线 ? : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点到准线的距离为 2.
2

(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ) 如图所示, 直线 l1 与抛物线 ? 相交于 A , B 两点,C 为抛物线 ? 上异于 A , B 的一点, 且 AC ? x 轴, 过 B 作 AC 的垂线, 垂足为 M , 过 C 作直线 l 2 交直线 BM 于点 N , 设 l1 , l 2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1k 2 ? 1 . ① 线段 MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证: A, B, C , N 四点共圆. 数学试题卷(文科) 第 4 页(共 4 页)

(第 22 题图)

数学试题卷(文科) 第 5 页(共 4 页)

金丽衢十二校 2014 学年第一次联考
数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 B 10 A

二、填空题(4×7=28 分) 11. 1 12.

15 16

13. ? 2

14.

5 4

15. 20

16. 1 ? 3

17. ? 3

三、解答题(共 72 分) 18.解: (Ⅰ)由题意可得:

1 bc sin A ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ?2bc cos A ? 2bc 2 8 ? sin A ? ? ? 17 2 2 所以 sin A ? 4 cos A ? 4 又因为 sin A ? cos A ? 1 解方程组可得: ? ?cos A ? 15 ? 17 ?
-----------------------------7 分 (Ⅱ)易得 sin C ?

3 77 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 5 85 b sin B 77 ? 所以 ? ? ? .-----------------------------7 分 a sin A 40 S S S 3 1 3 1 19. 解: (Ⅰ)由题意可得 3 3 ? 12 ,? 3 ? 4 ,? n ? n ? ? Sn ? n 2 ? n 2 2 3 3 n 2 2 ? an ? S n ? S n?1 ? 3n ? 2 ? n ≥ 2? 当 n ? 1 时也成立, ? an ? 3n ? 2
(Ⅱ) an ?1 ?

?
an

≥ ? ? 3n ? 1 ?

?
3n ? 2

≥? ?

?3n ? 1??3n ? 2? ≥ ?
3(n ? 1)

-----------------------6 分

----------------------10 分 解法一: 设 bn ?

?3n ? 1??3n ? 2?

3(n ? 1) ?3n ? 1??3n ? 4? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? 0 bn?1 ? bn ? 3n 3(n ? 1) 3n?n ? 1?
数学试题卷(文科)参考答案 第 1 页(共 4 页)

? bn 的最小值为 b2 ?
解法二: 设 n ?1 ? t 则

28 28 ,? ? ≤ . 3 3

-----------------------------14 分

3(n ? 1) 28 28 ,? ? ≤ .-----------------------------14 分 ? bn 的最小值为 b2 ? 3 3
20. (Ⅰ) 证明:? 四边形 ABCD 为菱形

?3n ? 1??3n ? 2? = 3t ?

4 28 ? 5≥ (当 t ? 1 ,即 n ? 2 时取最小值) 3t 3

? BD ? AC
又? 面 ACFE ? 面 ABCD

? BD ? 面ACFE
? BD ? CH 即 CH ? BD
又? H 为 FG 的中点, CG ? CF ? 3

? CH ? FG
又? FG ? BD ? G

? CH ? 面 BFD ————————6 分
(Ⅱ)连接 EG 由(Ⅰ)知 BD ? 面ACFE

? 面 EFG ? 面 BED ? EF 与面 EDB 所成角即为 ?FEG .——————10 分
在 ?FCG 中, CG ? CF ? 所以 ?GCF ? 120 ? , GF ? 3 所以 EG ? 3 ,又因为 EF ? 2 3 所以在 ?EFG 中,可求得 ?FEG ? 60? .——————————14 分 21. 解: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,
2

3, CH ?

3 , CH ? GF 2

因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ? (Ⅱ)由已知可得 f ( x) ? x ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? .——4 分 ?b ? 0 ? g (3) ? 4

1 ?2, x

数学试题卷(文科)参考答案 第 2 页(共 4 页)

2xx ? ? 所以 f (2 ) ? k ? 2 ? ≥0 0化为2
x x
22

1 1 ? ?2 2? ?k k??2 2xx, ≥ 2 2xx

化为1 1? ?? ?

1 1 ?? 1 1 ? ?1 ?1 ? , 22 ≥ , 令t ? x , 则 ≤ , 因 x ? [?1 , 1] , 故t ? kk? ?t t ? ?22 t t? ? 11 ?2 2?? xx ? ?kk ,2 ? ? xx ? ? 2 2 ?? 2 2 ?2 ? ? ? ?2 ?1 ? 记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? , 1? ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ? 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ——————9 分
(Ⅲ)原方程可化为 | 2 ? 1 | ?(3k ? 2)? | 2 ? 1 | ?(2k ? 1) ? 0 ,
x 2 x

令 | 2 ? 1 |? t ,则 t ? (0 , ? ?) , t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ? 0 有两个不同的实数解 t1 ,
x 2

t 2 ,其中 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 ,或 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 .
? ?2 k ? 1 ? 0 ?2k ? 1 ? 0 ? 2 记 h(t ) ? t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ,则 ? ① 或 ?h(1) ? ? k ? 0 ?h(1) ? ?k ? 0 ? 3k ? 2 ?0 ? ?1 2 ?



解不等组①,得 k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 (0 , ? ?) . ————————15 分 22.解: (Ⅰ) p ? 2 ——————————4 分 (Ⅱ)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 C ?x1 ,? y1 ?, M ?x1 , y 2 ? ,直线 l1 的方程为: y ? k1 x ? b 由?

? y ? k1 x ? b ? y ? 4x
2

消元整理可得: k1 x ? ?2bk1 ? 4?x ? b ? 0
2 2 2

所以

4 ? 2bk1 4 ? ? x ? x ? y1 ? y 2 ? 1 2 2 ? ? k1 k1 ? ? 可求得: ? ——————6 分 ? 2 4 b b ?x x ? ?y y ? 1 2 1 2 2 ? ? k1 k ? 1 ?
? y1 ? y 2 ? ? x1 , y 2 ? ? ? k2 ?

直线 l 2 的方程为: y ? y1 ? k 2 ( x ? x1 ) 所以可求得 N ? ? 所以 MN =

y1 ? y2 4 = =4.——————————9 分 k2 k1 k 2

? 2 ? bk1 2 ? AB 的中点 E ? ? k2 , k ? ? 1? ? 1

数学试题卷(文科)参考答案 第 3 页(共 4 页)

则 AB 的中垂线方程为: y ?

2 ? bk1 ? 2 1? ? ?? ? x? ? k1 k1 ? k12 ? ?
? 2k12 ? bk 1 ? 2 ? ,0 ? ? 所以 ?ABC 的外接圆的方程为: k12 ? ?

与 BC 的中垂线 x 轴交点为: o ?? ?
2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? x ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 ——————12 分 2 2 ? ? k k 1 1 ? ?
由上可知 N ?x1 ? 4, y 2 ?

? x1 ? 4 ?

2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 ? x ? ? x ? x ? 4 ? ?2 ? 0 2 1 2 k12 k12 k12
2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ?? x ? 4 ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 2 ? 1 ? k1 k1 ? ? 所以 A, B, C , N 四点共圆.————————————15 分 解法二:易知 ?ABC 的外接圆圆心 o? 在 x 轴上
作 B 关于 o? 的对称点 B ? ,则 BB ? 为直径, 易知 B ? 横坐标为 2 ?

2k12 ? bk1 ? 2 ? x2 k12

2k12 ? bk1 ? 2 ? x1 ? x2 ? 4 ? ?2 ? 0 k12 2k12 ? bk1 ? 2 所以 2 ? ? x2 ? x1 ? 4 k12 所以 ?B ?NB ? 90? 所以 A, B, C , N 四点共圆.

数学试题卷(文科)参考答案 第 4 页(共 4 页)


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