2014-2015学年高中数学 第2章 计算导数同步练习 北师大版选修2-2

计算导数 同步练习
1. 函数 y ? x 2 在 x ? 1 处和 x ? ?1 处的导数之间的关系是( A. f ?(1) ? f ?(?1) C. f ?(1) ? f ?(?1) B. f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 D. 以上都不对 )

2. 两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续前进,已知 A 车向北行驶,速率为 30 km/h,B 车向东行驶,速率为 40 km/h,那么 A、B 两车间直线距离的增加速率为 A. 50 km/h B. 60 km/h C. 80 km/h D. 65 km/h 3. 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行且与抛物线 y ? x 2 相切的直线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0



4. 函数 y ? x ? A. 2

1 在 x ? 1 处的导数是( ) x 5 B. C. 1 D. 0 2

5.

?x ?0

2 2 ? f ( x)? ? ? f ( x0 )? lim

x ? x0

?(

) C. f ( x0 ) f ?( x0 ) D. 2 f ( x0 ) f ?( x0 )

A. f ?( x0 )

B. f ( x0 )

2 6. 已知 f ( x) ? 2 ? x ? x ,求 f ?( ?3) 。

3 7. 若曲线 y ? x ? x ? 10 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,求切点坐标。

8. 已知曲线 y ? x ?
2

1 ? 8 在点 P(1,10) 处的切线方程。 x

9. 求与曲线 y ? 2 x ? 1 相切且与 x ? 4 y ? 1 ? 0 垂直的切线方程。
2

-1-

10. 曲线 y ? x n (n ? Z ) 在 x ? 2 处的导数是 12 ,求 n 。

11. 求曲线 y ? cos x 在点 A(

4? 1 ,? ) 处的切线方程。 3 2

12. 路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速率在地面上行走,从路灯在 地平面上射影点 C,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速率 v。

1. 答案:B;计算得 f ?( x ) ? lim 2. 答案:A;

?y ? 2 x ,将数值 x ? 1 和 x ? ?1 代入即可得到。 ?x ? 0 ?x

3. 答案:D;可求得 ( x 2 )? ? 2 x ,则 2 x ? 2 ,得切点为 (1,1) ,故所求方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 。 4. 答案:D; 5.







D



x? x0

lim

? f ( x)?2 ? ? f ( x0 )?2
x ? x0

? lim
x? x0

? f ( x) ? f ( x0 )?? ? f ( x) ? f ( x0 )? ? lim? f ( x) ? f ( x0 )?? ?y
x ? x0
x? x0

?x

x ? x0 ,所以 f ( x) ? f ( x0 ) ,而 lim
6. 解析:

?y ? f ?( x0 ) ,所以选 D。 ?x ?0 ?x

f ( ?3 ? ?x ) ? f ( ?3) ?x ?0 ?x 2 ? ( ?3 ? ?x ) ? ( ?3 ? ?x ) 2 ? 2 ? ( ?3) ? ( ?3) 2 ? lim ?x ?0 ?x ? 1 ? 2 ? ( ?3) ? 7 f ?( ?3) ? lim
或求 f ?( x ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ,将 x ? ?3 代入。 ?x

7.

3 解析:切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,所以斜率为 4 ,而曲线 y ? x ? x ? 10 的导函数为

f ?( x) ? 3 x 2 ? 1 ,所以 4 ? 3 x 2 ? 1 ,得 x ? ?1 。所以,切点是 (1,?8), ( ?1,?12) 。

8. 解析: f ?(1) ? 1 ,所以切线方程为 x ? y ? 9 ? 0

-2-

9. 解析:所求切线斜率为 4 ,由于 f ?( x) ? 4 x ,故 4 x ? 4, x ? 1 ,切点 (1,1) ,所求切线方 程为 4 x ? y ? 3 ? 0 。

10. 解析:由导数公式 y ? ? nxn?1 ,所以 f (2) ? n ? 2 n?1 ? 12 ,所以 n ? 3 。

11. 解析:由于 (cosx)? ? ? sinx ,所以 k ? ? sin

4? 3 , ? 3 2

切线方程为 3 x ? 2 y ?

4 3 ? ?1 ? 0。 3

12. 解析:如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB。 设人从 C 点运动到 B 处路程为 x 米,时间为 t(单位:秒),AB 为人影长度,设为 y,则

AB BE ? , AC CD



y 1.6 ? y?x 8

又 84 m/min=1.4 m/s

1 7 x= t(x=1.4t) 4 20 7 ∵y′= 20
∴y= ∴人影长度的变化速率为

7 m/s。 20

-3-


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