正弦定理、余弦定理应用举例PPT学习课件_图文

§4.7 正弦定理、余弦定理应用举例 基础知识 要点梳理 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外) 才能求解,常见类型及其解法如表所示. 已知条件 应用定理 一般解法 自主学习 一边和两角 ( 如 a , B, C ) 正弦定理 由A+B+C=180°,求 角A;由正弦定理求 出b与c. 在有解时只有一解 由余弦定理求第三边c; 由正弦定理求出小 两边和夹角 余弦定理 边所对的角;再由A+B (如a,b,C) 正弦定理 +C=180°求出另一角. 在有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B;再利用A+B 三边 余弦定理 (a,b,c) +C=180°,求出角C. 在有解时只有一解 由正弦定理求出角B; 由A+B+C=180°,求出 两边和其中 正弦定理 角C;再利用正弦定理 一边的对角 余弦定理 (如a,b,A) 或余弦定理求c. 可有两解,一解或无解 2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①). (2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如B点的方位角为α (如图②). (3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 基础自测 1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC 等于(D ) A.10° B.50° C.120° D.130° 解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°, ∴∠BAC=60°+70°=130°. 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏 东60°,则灯塔A在灯塔B的(B ) A.北偏东10° C.南偏东10° B.北偏西10° D.南偏西10° 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示, 由已知得∠ACB=80°, ∠CAB=∠CBA=50°, 则α =60°-50°=10°. 3.在△ABC中,AB=3,BC=13 ,AC=4,则边AC 上的高为( B ) A. 3 2 B. 3 3 C. 3 2 2 2 解析 由余弦定理可得: D.3 3 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 4 2 ? 32 ? ( 13) 2 1 cos A ? ? ? . 2 AC ? AB 2 ? 3? 4 2 3 ? sin A ? , 则AC 边上的高 2 3 3 h ? AB ? sin A ? 3 ? ? 3. 2 2 4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积 S ? 220 3, 则a的值为(D ) A.20 6 解析 B.25 C.55 D.49 由S= 1 bcsin A=220 3 ,得c=55. 2 由余弦定理得 a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401, ∴a=49. 5.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A, AC 则 的值等于 2 ,AC的取值范围为( 2, 3) . cos A 解析 由正弦定理 : BC ? AC , sin A sin B BC AC AC AC ? ? ,? ? 2 BC ? 2. sin A sin 2 A 2 sin A cos A cos A ? A ? B ? C ? ? ,? 3 A ? C ? ? , C ? ? ? 3 A, ? ? ? 0 ? A ? , ? 2 ? ? ? ? ?0 ? 2 A ? , 2 ? ? ? 0 ? ? ? 3 A ? , ? 2 ? 2 3 ? cos A ? , 又AC ? 2 cos A, 6 4 2 2 ? 2 ? AC ? 3. ? ? A? ,? ? ? 题型分类 题型一 深度剖析 与距离有关的问题 【例1】 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离. 思维启迪 分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求解. 解 如图所示在△ACD中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. ? BC ? 3 sin 75? 6? 2 ? . sin 60? 2 在△ABC中,由余弦定理,得 6? 2 2 6? 2 ) ? 2? 3? ? cos 75? 2 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5, AB 2 ? ( 3) 2 ? ( ? AB ? 5(km). ? A、 B 之间的距离为 5 km . 探究提高 求距离问题要注意: (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所 求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求 解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可 用,就选择更便于计算的定理. 知能迁移1(2009·海南,宁夏理, 17)为了测量两山顶M、N间的 距离,飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面 内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离,请设计一个方案,包括:①指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出);②用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤. 解 方案一:①需要测量的数据有:A点到M、N 点的俯角α 1、β 1;B点到M、N点的俯角α 2、β 2;A、 B的距离d(如图所示). ②第一步:计算AM.由正弦定理 AM ? d sin ? 2 ; sin(?1 ? ? 2 ) 第二

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