2018年高考数学 考点通关练 第七章 平面解析几何 50 两条直线的交点与距离公式 理_图文

考点测试章50 两平条面直线解的析交几点与何距离公式

第1步 狂刷小题·练基础

一、基础小题

1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为(

)

A.1 C.2

B. 3 D. 5

解析 由点到直线的距离公式得 d= |- 1+5|22= 5.

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是

(

)

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

解 析 设 直 线 方 程 为 x- 2y+ c= 0(c≠ - 2), 又 经 过 (1,0),故 c=-1,所求方程为 x-2y-1=0.

3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂

直”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直?1+ 1×(-a)=0,所以选 C.

4.已知直线 3x+y-1=0 与直线 2

行,则它们之间的距离是(

)

A.1

5 B.4

C.3

D.4

3x+my+3=0 平

解析

∵ 2

33=m1 ≠-31,∴m=2,两平行线之间的距离

d=????-31+ -132????=54.选 B.

5.已知点 M 是直线 x+ 3y=2 上的一个动点,且点

P( 3,-1),则|PM|的最小值为(

)

1 A.2

B.1

C.2

D.3

解析 |PM|的最小值即点 P( 3,-1)到直线 x+ 3y=2

的距离,又| 3-1+33-2|=1,故|PM|的最小值为 1.选 B.

6.已知点 M 是直线 l:2x-y-4=0 与 x 轴的交点,将

直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是(

)

A.x+y-3=0

B.3x+y-6=0

C.3x-y+6=0 D.x-3y-2=0

解析 设直线 l 的倾斜角为 α,则 tanα=k=2,则 k′= tan????α+π4????=1- 2+2× 1 1=-3,对比四个选项可知选 B.

7.已知直线 l 的倾斜角为π4,直线 l1 经过点 A(3,2),B(-

a,1),且 l1 与 l 垂直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,

则 a+b=(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

解析 由题知,直线 l 的斜率为 1,则直线 l1 的斜率为

-1,所以23- +1a=-1,所以 a=-4.又 l1∥l2,所以-2b=-1,

b=2,所以 a+b=-4+2=-2,故选 B.

8.已知实数 x、y 满足 2x+y+5=0,那么 x2+y2的最

小值为(

)

A. 5 C.2 5

B. 10 D.2 10

解析

x2+y2表示点(x,y)到原点的距离.根据数形结

合得 x2+y2的最小值为原点到直线 2x+y+5=0 的距离,即

d= 5 = 5. 5

9.已知直线 l 过点 M(3,4),且与点 A(-2,2),B(4,-

2)等距离,则直线 l 的方程为(

)

A.2x+3y-18=0

B.2x-y-2=0

C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0

D.2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0

解析 易知直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0.
由已知得|-2k-12++k42-3k|=|4k+21+ +4k- 2 3k|,解得 k=2 或 k=-23,故直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18 =0.

10.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 M 的横坐标为 3,且

|MA|=|MB|,若直线 MA 的方程为 x-y+1=0,则直线 MB

的方程是(

)

A.x+y-7=0

B.x-y+7=0

C.x-2y+1=0

D.x+2y-1=0

解析 解法一:由|MA|=|MB|知,点 M 在 A,B 的垂直 平分线上.由点 M 的横坐标为 3,且直线 MA 的方程为 x -y+1=0,得 M(3,4).由题意,知直线 MA,MB 关于直线 x=3 对称,故直线 MA 上的点(0,1)关于直线 x=3 的对称点 (6,1)在直线 MB 上,∴直线 MB 的方程为 x+y-7=0.选 A.
解法二:由点 M 的横坐标为 3,且直线 MA 的方程为 x -y+1=0,得 M(3,4),代入四个选项可知只有 3+4-7=0 满足题意,选 A.

11.已知点 A(3,1),在直线 y=x 和 y=0 上分别找一点

M 和 N,使△AMN 的周长最短,则最短周长为(

)

A.4

B.2 5

C.2 3

D.2 2

解析 设点 A 关于直线 y=x 的对称点为 B(x1,y1),依 ??y1+1=x1+3,
题意可得?????yx11- - 2 13=-21,
解得?????xy11= =13, , 即 B(1,3),同样可得点 A 关于 y=0 的对 称点 C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN| +|MN|≥|BC|,当且仅当 B,M,N,C 共线时,△AMN 的 周长最短,即|BC|= ?1-3?2+?3+1?2=2 5.选 B.

12.经过两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点, 且 与 直 线 x - 3y - 1 = 0 平 行 的 直 线 的 一 般 式 方 程 为 __x_- __3_y_= __0__.
解析 两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点为(- 3,-1),所以所求直线为 y+1=13(x+3),即 x-3y=0.

二、高考小题

13.[2016·全国卷Ⅱ]圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到

直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=(

)

A.-43

B.-34

C. 3

D.2

解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐 标为(1,4),圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为|a+a24+-11|=1, 解得 a=-43.故选 A.

14.[2015·山东高考]一条光线从点(-2,-3)射出,经 y

轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直

线的斜率为(

)

A.-53或-35 B.-32或-23

C.-54或-45 D.-43或-34

解析 如图,作出点 P(-2,-3)关于 y 轴的对称点 P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过 点 P0.故设反射光线为 y=k(x-2)-3,即 kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离 d=|-3k-12+-k22k-3|=1,解得 k=-43 或 k=-34.

15.[2015·广东高考]平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2

+y2=5 相切的直线的方程是(

)

A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0

B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0

C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0

D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0

解析 设与直线 2x+y+1=0 平行的直线方程为 2x+y +m=0(m≠1),
因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0) 到直线 2x+y+m=0 的距离为 5,
所以|m|= 5,|m|=5. 5
故所求直线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0.

16.[2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x +2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为

2 55 ___5_____.

解析 圆(x-2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C(2,-1),半径

r = 2 , 圆 心 C 到 直 线 x + 2y - 3 = 0 的 距 离 为 d =

|2+2×12?+ -212?-3|=

3, 5

所求弦长 l=2 r2-d2=2

4-95=2

55 5.

17.[2014·重庆高考]已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等 边三角形,则实数 a=__4_±__1_5__.
解析 由△ABC 为等边三角形可得,C 到 AB 的距离为 3,即(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d=|a+1+ a-a22|= 3, 即 a2-8a+1=0,可求得 a=4± 15.

三、模拟小题

18.[2016·河北邯郸质检]数学家欧拉在 1765 年提出定

理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重

心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人

称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4),

且 AC=BC,则△ABC 的欧拉线的方程为(

)

A.x+2y+3=0 B.2x+y+3=0

C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0

解析 因为 AC=BC,所以欧拉线为 AB 的中垂线.又 A(2,0),B(0,4),所以 AB 的中点为(1,2),kAB=-2.故 AB 的中垂线为 y-2=12(x-1),即 x-2y+3=0,应选 C.

19.[2017·杭州月考]已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组

??a1x+b1y=1, ???a2x+b2y=1

的解的情况是(

)

A.无论 k、P1、P2 如何,总是无解

B.无论 k、P1、P2 如何,总有唯一解

C.存在 k、P1、P2,使之恰有两解

D.存在 k、P1、P2,使之有无穷多解

解析 由题意,直线 y=kx+1 一定不过原点 O,P1、 P2 是直线 y=kx+1 上不同的两点,则O→P1与O→P2不平行,因 此 a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组?????aa12xx+ +bb12yy= =11, 一 定有唯一解.

20.[2016·韶关模拟]“C=2”是“点(1, 3)到直线 x

+ 3y+C=0 的距离为 3”的(

)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 若点(1, 3)到直线 x+ 3y+C=0 的距离为 3, 则有 |11+2+3+ ? C3?|2=3,解得 C=2 或 C=-10,故“C=2”是

“点(1, 3)到直线 x+ 3y+C=0 的距离为 3”的充分不必 要条件,选 B.

21.[2017·宜昌模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位,沿 y 轴正方向平移 5 个单位, 得到直线 l1,再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位,沿 y 轴负方向平移 2 个单位,又与直线 l 重合,则直线 l 与直线
11 l1 的距离是___5_____.

解析 设直线 l:ax+by+c=0,依题意可得 l1:a(x- 3)+b(y-5)+c=0,再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 沿 y 轴负方向平移 2 个单位得直线 l:a(x-4)+b(y-3)+c

=0,故

a





3 4

b







线

l

与直线

l1 的 距 离

d=

|-3a-5b+a2c+ +b42a+3b-c|= |aa-2+2bb|2=

????-????-34b34- b????22+b????b2=151.

22.[2017·淮安调研]已知入射光线经过点 M(-3,4),被 直线 l:x-y+3=0 反射,反射光线经过点 N(2,6),则反射 光线所在直线的方程为_6_x_- __y_-__6_=__0__.

解析 设点 M(-3,4)关于直线 l:x-y+3=0 的对称点 为 M′(a , b) , 则 反 射 光 线 所 在 直 线 过 点 M′ ,

???a-b- ?-43?·1=-1, ????-32+a-b+ 2 4+3=0,

解得 a=1,b=0.又反射光线经过

点 N(2,6),所以所求直线的方程为y6- -00=x2- -11,即 6x-y-6 =0.

23.[2016·衡阳一模]已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x0,y0),
且 y0<x0+2,则yx00的取值范围是__????_-__∞__,__-__31_????∪ __(_0_, __+ __∞ __)__.

解析

依 题意 可得 |x0+ 3y0- 2|= |x0+ 3y0+ 6|, 化 为

10

10

x0

+3y0+2=0,又 y0<x0+2,设yx00=kOM,

如图当点 M 位于线段 AB(不包括端点)上时,kOM>0, 当点 M 位于射线 BN 上除 B 点外时,kOM<-13.所以yx00的取值 范围是????-∞,-31????∪(0,+∞).

24.[2016·河南焦作一模]著名数学家华 罗庚曾说过: “数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代 数问题可以转化为几何问题加以解决,如: ?x-a?2+?y-b?2 可以转化为平面上点 M(x,y)与点 N(a,b)的距离.结合上述 观 点 , 可 得 f(x)= x2+4x+20 + x2+2x+10 的 最 小 值 为 ___5__2___.

解析 ∵f(x)= x2+4x+20+ x2+2x+10= ?x+2?2+?0-4?2+ ?x+1?2+?0-3?2,∴f(x)的几何意
义为点 M(x,0)到两定点 A(-2,4)与 B(-1,3)的距离之和,设 点 A(-2,4)关于 x 轴的对称点为 A′,则 A′为(-2,-4).
要求 f(x)的最小值,可转化为|MA|+|MB|的最小值,利 用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A′B|= ?-1+2?2+?3+4?2 = 5 2, 即 f(x)= x2+4x+20+ x2+2x+10的 最 小 值 为 5 2.

第2步 精做大题·练能力

一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2016·保定月考]已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.

解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∴ ?2+ |10λ+ ?2+ 5λ?- 1-5|2λ?2=3, 解得 λ=2 或 λ=12. ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.

(2)由?????2x- x+2yy- =50= ,0, 解得交点 P(2,1). 如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成 立). ∴dmax=|PA|= 10.


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