江苏省常州市田家炳中学2008-2009高三第一学期期中测试数学试题

江苏省常 市田家炳中学 2008高三第一学期期中 第一学期期中测试 江苏省常州市田家炳中学 2008-2009 高三第一学期期中测试 数学试题
填空题) 非选择题)两部分, 分钟. 本试题分第 1 卷(填空题)和第 2 卷(非选择题)两部分,共 160 分,时间为 120 分钟. 小题, 请将答案直接填写在答题卷上, 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案直接填写在答题卷上, 填空题( 不要写出解答过程) 不要写出解答过程) 1、若 U = {1, 2, 3, 4}, M = {1, 2}, N = {2, 3} ,则 CU ( M U N ) = 2、若函数 f ( x) = ? .

? x + 1 ( x ≥ 0) ,则 f ( ?2) = __________ ? f ( x + 2) (x < 0)
a

3、设 a, b, c 均为正数,且 2 = log 1 a , ( ) = log 1 b , ( ) = log 2 c ,则 a, b, c 的大小
b
c
2

1 2

2

1 2

关系是 4、设二次函数 f ( x ) = ax + 2ax + 1 在 [? 3,2] 上有最大值 4,则实数 a 的值为
2

5、根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为 x e
x

x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2

6、如右图所示,正三棱锥V-ABC中,D,E,F分别是 VC,VA,AC 的中点,P为VB 上任意一点,则直线DE与PF 所成的角的大小是 7、给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 α , β 的四个命题: ① m ? α , l I α = A, 点A ? m, 则 l 与 m 不共面; ② l 、m 是异面直线, l // α , m // α , 且n ⊥ l , n ⊥ m, 则n ⊥ α ; ③若 l // α , m // β , α // β , 则l // m ; ④若 l ? α , m ? α , l I m = 点A, l // β , m // β ,则 α // β 其中真命题是
3 4

(填序号)

8、式子 log 2 ? log 3 值是____________.

9、正四棱锥的底面边长为 2 ,体积为

2 3 ,则它的侧棱与底面所成角的大小为 3



10、已知长方体 A1B1C1D1—ABCD 中,棱 AA1=5,AB=12,那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离 是______。 11、若直线 ax+by=1 与圆 x + y = 1 相交,则点 P(a,b)与圆的位置关系是
2 2

(填在

圆上或圆外或圆内) 12、若方程 1 ? x = x + m 无实数解,则实数 m 的取值范围是
2

13、两直线 3x+2y+m=0 和(m +1)x-3y-3m=0 的位置关系是

2

(相交、平行、重合) .

14、已知圆 C : ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = 4 ,过点 A(1,0)与圆 C 相切的直线方程为

(本大题共 小题, 要求写出解答过程或证明过程) 二、解答题: 本大题共 6 小题,共 90 分,要求写出解答过程或证明过程) 解答题: (

15、 (本小题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3AD,E、F 分别是 AB 的两个三等分点,AC,DF 相交于 点 G,建立适当的平面直角坐标系,证明: EG ⊥ DF
D G A E F B C

16、 (本题满分 14 分) 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = AD = 1 , AA1 = 2 ,点 P 为 DD1 的中点. (1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ⊥ 平面 BDD1 ; (3)求证:直线 PB1 ⊥ 平面 PAC .
D C B A C1 P D1 B1

A1

17、 (本题满分 14 分) 函 数 f ( x ) 满 足 : ① 定 义 域 是 (0, +∞ ) ; ② 当 x > 1 时 , f ( x ) < 2 ; ③ 对 任 意

x, y ∈ (0, +∞ ) ,总有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ? 2 。
回答下面的问题 (1)求出 f (1) 的值 (2)写出一个满足上述条件的具体函数 (3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论。

18、 (本题满分 16 分) 已知⊙ O : x 2 + y 2 = 1 和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P ( a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切 点为 Q ,且满足 | PQ |=| PA | . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

19、 (本题满分 16 分) 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (1)求证: BC ⊥ A1 D ; (2)求证:平面 A1 BC ⊥ 平面 A1 BD ; (3)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.

20、 (本题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 +bx + c , (1) 若 a > b > c 且 f (1) = 0 ,证明: f ( x ) 的图像与 x 轴有两个相异交点; (2) 若 x1, x2, 且 x1<x2, f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) ,证明:方程 f ( x ) = 根在区间 (x1, x2) 内; (3) 在(1)的条件下,设两交点为 A、B,求线段 AB 长的取值范围.
f ( x1) + f ( x 2 )
2

必有一实

参考答案
一、填空题: 填空题: 1、 2、1
0

3、 c < b < a 10、

4、 a =

3 或 ?3 8

5、 (1,2)

6、 90°

7、①②④

8、2 9、 60

60 13

11、圆内

12、 ( ?∞, 1) U ?

(

2, ∞ +

)

13、相交

14、 x = 1 或 3 x ? 4 y ? 3 = 0 二、解答题: 解答题: 15、解:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系。 设 AD=1,则 AB=3, 从而 A(0,0) 、B(3,0) 、C(3,1) 、D(0,1) 、E(1,0) 、F(2,0) 。……(4 分) 由 A(0,0) 、C(3,1)知直线 AC 的方程为:x-3y=0, 由 D(0,1) 、F(2,0)直直线 DF 的方程为:x+2y-2=0, ……(6 分) ……(2 分)

6 ? ?x = 5 , ? x ? 3 y = 0, 6 2 ? 由? 得? 故点 G 的坐标为 ( , ) 。 5 5 ? x + 2 y ? 2 = 0. ? y = 2 . ? 5 ?
又点 E 的坐标为(1,0) ,故 k EG = 2 , 所以 k DF ? k EG = ?1 。 16、略 17、 (1) x = 1 , f (1 ? y ) = f (1) + f ( y ) ? 2 , f (1) = 2 解: 令 有 ∴ (2) f ( x) = 2 + log a x ,其中 a 可以取 (0,1) 内的任意一个实
D C1 P D1

……(8 分)

…… (10 分)
A1 B1

数 (3) f ( x) 在 (0, +∞ ) 单调递减
C B

A

事实上,设 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,且 x1 > x2 ,则

x1 x > 1, f ( 1 ) < 2 x2 x2

∴ f ( x1 ) = f ( x2 ?

x1 x ) = f ( x2 ) + f ( 1 ) ? 2 < f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, +∞) 上单调递减 x2 x2
2 2 2

18、解: 解 (1)连 OP, Q Q 为切点, PQ ⊥ OQ ,由勾股定理有 PQ = OP ? OQ 又由已知 PQ = PA ,故 PQ = PA .即: (a 2 + b 2 ) ? 12 = (a ? 2)2 + (b ? 1) 2 .
2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a + b ? 3 = 0 . (2)由 2a + b ? 3 = 0 ,得 b = ?2a + 3 .

(3 分)

6 4 PQ = a 2 + b 2 ? 1 = a 2 + (?2a + 3) 2 ? 1 = 5a 2 ? 12a + 8 = 5(a ? )2 + . 5 5
故当 a = (3)设

2 2 6 时, PQ min = 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5. 5 5 5

(7 分)

P 的半径为 R ,Q

P与

O 有公共点,

O 的半径为 1,

∴ R ? 1 ≤ OP ≤ R + 1. 即 R ≥ OP ? 1 且 R ≤ OP + 1 .
而 OP = a 2 + b 2 = a 2 + (?2a + 3) 2 = 5( a ? ) 2 + 故当 a =

6 5

9 , 5

3 6 时, OP = 3 5. 此时, b = ?2a + 3 = , Rmin = 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 + ( y ? 3 ) 2 = ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5
解法 2:

(12 分)

P与

O 有公共点,

P 半径最小时为与

O 外切(取小者)的情形,而这些半
y
2

径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点 与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0.

r =

3 2
2

+ 1

2

3 5 -1 = -1. 5
O

A P0
2

又 l’:x-2y = 0,

x P l

6 ? x= , ? x ? 2 y = 0, ,得 ? ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ? 5 5 ?2 x + y ? 3 = 0 ?y=3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 + ( y ? 3 ) 2 = ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 (12 分)

Q

19、证明: (1)略 (2)略

(3)48

20、 ) 证明:由a>b>c 可得 a>0,c<0 由f (1) = 0可得a + b + c = 0 (1 Q ? = b 2 ? 4ac = ( a + c ) ? 4ac = ( a ? c ) > 0
2 2

∴ f ( x )的图像与x轴有两个相异交点

( 2 ) 令g ( x ) = f ( x ) ?
则g ( x1 ) = f ( x1 ) ?

f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 = f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1 ) + f ( x2 )

2 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 ) = f ( x2 ) ? =? 2 2 2 1 ∴ g ( x1 ) g ( x2 ) = ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? < 0 ? 4? 又g ( x )的图像是连续的 ∴ 方程f ( x ) =

f ( x1 ) + f ( x2 ) 即g ( x ) = 0必有一实根在区间 ( x1 ,x 2 )内。 2

(3)设f ( x ) = 0两根为x1、x2    Q  a > b > c , b = ? a ? c c c c 1 ∴ a > ? a ? c > c  又a > 0    < ?1 ? < 1   2 < < ? ∴ ∴? a a a 2 b 2 4c 又 AB = x1 -x2 = ( x1 +x2 ) ? 4 x1 x2 = ? = a2 a 3 ?3 ? 3 ∴    < AB < 3   AB长的取值范围为 ? ,? ∴ 2 ?2 ?
2

(a ? c)
a
2

2

= 1?

c a


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