2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第9讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系


第 9 讲 圆锥曲线的综合问题

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法:把圆锥曲线方程 C1 与直线方程 l 联立消去 y,整理得到关于 x 的方程 ax2+ bx+c=0. 方程 ax2+bx+c=0 的解 b=0 a=0 b≠0 Δ >0 a≠0 Δ =0 Δ <0 无解(含 l 是双曲线的渐近线) 有一解(含 l 与抛物线的对称轴平 行(重合)或与双曲线的渐近线平 行) 两个不相等的解 两个相等的解 无实数解 l 与 C1 的交点 无公共点 一个交点 两个交点 一个交点 无交点

(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与 圆锥曲线的位置关系. 2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 = = 1 1+ 2|y1-y2| k 1 1+ 2 (y1+y2)2-4y1y2. k )

[做一做] 1.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 D.4

? ? ?x-y-1=0, ?a≠0, 1 2 ? 解析:选 C.由? 消去 y 得 ax - x + 1 = 0 ,所以 解得 a= . 2 4 ?y=ax , ?1-4a=0, ? ?

x2 y2 2.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则 a b 直线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是( b A.k>- a b b C.k> 或 k<- a a b B.k< a b b D.- <k< a a )

解析:选 D.由双曲线渐近线的几何意义知 b b - <k< . a a 1.辨明两个易误点 (1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点. (2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合 时也相交于一点. 2. “点差法”求解弦中点问题的步骤 设点 — 设出弦的两端点坐标 ↓ 代入 — 代入圆锥曲线方程 ↓ 作差 — 两式相减,再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理 — 转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解 [做一做] 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:选 C.结合图形分析可知(图略),满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0, 1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). x2 1 1 4.椭圆 +y2=1 的弦被点( , )平分,则这条弦所在的直线方程是________. 2 2 2 解析:设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=1,y1+y2=1. ∵A,B 在椭圆上,
2 x1 x2 2 ∴ +y2 = 1 , +y2 1 2=1. 2 2

(x1+x2)(x1-x2) +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 即 y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 2(y1+y2)

1 即直线 AB 的斜率为- . 2 1 1 1 ∴直线 AB 的方程为 y- =- (x- ), 2 2 2 即 2x+4y-3=0. 答案:2x+4y-3=0

第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系

考点一__直线与圆锥曲线的位置关系____________ x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1, a b 0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. [解] (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0), 所以 c=1. x2 y2 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1, a b 1 得 2=1,即 b=1, b 所以 a2=b2+c2=2. x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m, x2 ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

? ?y=kx+m,

因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0.①
2 ? ?y =4x, ? 由 消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0. ?y=kx+m, ?

因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1.② 2 ? 2 ? ?k= ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ?m= 2 ? ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

[规律方法] 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法: 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数, 可以研究直线与圆锥曲线的位置 关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共 点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.

1 1.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,其中一个顶点是 2 抛物线 x2=-4 3y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的 坐标. x2 y2 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意,得 b= 3. c 1 又 = ,解得 a=2,c=1, a 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以 l 的斜率存在,故可设直 线 l 的方程为 y=k(x-2)+1. x2 y2 ? ? 4 + 3 =1, 由?

? ?y=k(x-2)+1,

得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.① 因为直线 l 与椭圆相切, 所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0. 1 整理,得 32(6k+3)=0,解得 k=- . 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2. 2 2 3? 1 将 k=- 代入①式,可以解得 M 点的横坐标为 1,故切点 M 的坐标为? ?1,2?. 2 考点二__弦长问题____________________________ (2014· 高考辽宁卷)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三 角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).

(1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 3交于 A,B 两点.若△PAB 的 面积为 2,求 C 的标准方程. [解] (1)设切点为 P(x0,y0)(x0>0,y0>0), x0 x0 则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0), y0 y0

1 4 4 即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= · · = 2 x0 y0 8 2 .由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时,x0y0 有最大值,即 S 有最小值,因此点 P x0y0 的坐标为( 2, 2). x2 y2 (2)设 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),点 A(x1,y1),B(x2,y2). a b x y ? ?a2+b2=1, 2 2 由点 P 在 C 上知 2+ 2=1,并由? a b ?y=x+ 3, ? 得 b2x2+4 3x+6-2b2=0. 又 x1,x2 是方程的根,因此
2 2

?x +x =-4b 3, ? 6-2b ?x x = b .
1 2 2 2 1 2 2

由 y1=x1+ 3,y2=x2+ 3,得 |AB|= 2|x1-x2|= 2· 48-24b2+8b4 b2 3 1 3 及 S△PAB= ? |AB|=2,得 b4-9b2+18=0,解得 b2=6 2 2 2

由点 P 到直线 l 的距离为

x2 y2 或 3.因此 b2=6,a2=3(舍去)或 b2=3,a2=6.从而所求 C 的方程为 + =1. 6 3 [规律方法] 弦长的计算方法 求弦长时可利用弦长公式, 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方 程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后进行整体代入弦长公式求 解. [注意] 注意两种特殊情况: (1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直; (2)直线过圆锥曲 线的焦点. y2 2.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 b l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. A(x1,y1),B(x2,y2), y=x+c, ? ? 则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ? ?x +b2=1. 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.

-2c 则 x1+x2= , 1+b2 x1x2= 1-2b2 . 1+b2

因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 4(1-b2) 4(1-2b2) 8 8b4 则 =(x1+x2)2-4x1x2= = ,因为 0<b<1. 2 2- 2 9 (1+b ) 1+b (1+b2)2 所以 b= 2 . 2

考点三__中点弦问题__________________________ 1 x2 y2 (2014· 高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b 2 a b >0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

2 x2 y1 1 2+ 2=1, a b

∴ ∴ ∵

(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) + =0, a2 b2 y1-y2 b2 x1+x2 =- 2· . a y1+y2 x1-x2 y1-y2 1 =- ,x1+x2=2,y1+y2=2, 2 x1-x2

b2 1 ∴- 2=- , a 2 ∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2, c 2 ∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴ = . a 2 [答案] 2 2 x2 y2 本例条件变为:过点 M(1,1)的直线 l 与椭圆 C: + =1(a>b>0)相交 4 2 于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?x y ? 4 + 2 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 4 2

∴ ∴

(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) + =0, 4 2 y1-y2 1 x1+x2 =- · . 2 y1+y2 x1-x2

∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴ y1-y2 1 =- , 2 x1-x2

1 ∴直线 l 的方程为:y-1=- (x-1), 2 即 x+2y-3=0. [规律方法] 处理中点弦问题常用的求解方法: 1.点差法: 即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+x2,y1+ y1-y2 y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率. x1-x2 2.根与系数的关系: 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求 解. [注意] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产 生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足. 3.(2015· 广东肇庆模拟)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(-2,0), F2(2,0),双曲线 C 上一点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直 线 l 的方程. 解:(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长为 a=1,焦半距为 c=2, 所以其虚半轴长 b= c2-a2= 3. y2 又其焦点在 x 轴上,所以双曲线 C 的标准方程为 x2- =1. 3 (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 ? ?3x1-y1=3, 则? 2 2 ?3x2-y2=3, ?

两式相减,得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 因为 M(2,1)为 AB 的中点,
?x1+x2=4, ? 所以? ? ?y1+y2=2.

所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB=

y1-y2 =6. x1-x2

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2),即 6x-y-11=0.

1.(2015· 河南郑州市质量预测)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛 物线于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( )

A.4 B.8 C.12 D.16 2 解析:选 D.抛物线 y =8x 的焦点 F 的坐标为(2,0),直线 AB 的倾斜角为 135°,故直 线 AB 的方程为 y=-x+2,代入抛物线方程 y2=8x,得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2, y2),则弦 AB 的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16. x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( a b A.(1, 5) C.( 5,+∞) B.(1, 5] D.[ 5,+∞) )

b b 解析:选 C.∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x,则由题意得 >2, a a c ∴e= = a b 1+( )2> 1+4= 5. a

x2 y2 3. (2015· 昆阳市调研)已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)交于 A、 a b B 两点,若点 P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于( A.2 2 C. 3 B.2 . 2 )

x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 解析:选 D.设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入双曲线方程得 2- 2=1, 2- 2=1,两式相 a b a b (x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) 减得 = , a2 b2 ∴ y1-y2 b2(x1+x2) = , x1-x2 a2(y1+y2)

b2 2 ∴2= 2? ,∴a=b.故双曲线是等轴双曲线,则离心率为 2. a 1 x2 4.经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设 2 → → O 为坐标原点,则OA?OB等于( A.-3 1 C.- 或-3 3 ) 1 B.- 3 1 D.± 3

解析:选 B.依题意,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45°(x x2 4 -1),即 y=x-1,代入椭圆方程 +y2=1 并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x= ,所以 2 3 4 1 两个交点坐标分别为(0,-1),( , ), 3 3 1 1 → → → → ∴OA·OB=- ,同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA·OB=- . 3 3 4 → → 5. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F, 斜率为 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若AF=λFB 3 (λ>1),则 λ 的值为( )

A.5 4 C. 3 5 D. 2

B.4

p p → → 解析:选 B.根据题意设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AF=λFB,得( -x1,-y1)=λ(x2- , 2 2 -y1 4 p y2),故-y1=λy2,即 λ= .设直线 AB 的方程为 y= (x- ),联立直线与抛物线方程,消 y2 3 2 (y1+y2)2 y1 y2 3 3 9 1 元得 y2- py-p2=0.故 y1+y2= p,y1·y2=-p2, = + +2=- ,即-λ- 2 2 y2 y1 4 y1·y2 λ 9 +2=- .又 λ>1,故 λ=4. 4 x2 y2 6.(2015· 东北三省联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点,过 F a b 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为________. c= 2,

? ?b 解析:由题意得? =1, a ? ?a =b +c ,
2 2 2 2

?a=2, 解得? ?b= 2,
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 x2 y2 答案: + =1 4 2 7.过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 的中点的纵坐标为 6,则 p 的值是________. x 解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得,y′= , p x1 x1 x2 1 切线 MA 的方程是 y-y1= (x-x1),即 y= x- . p p 2p x1 x2 1 2 又点 M(2,-2p)位于直线 MA 上,于是有-2p= ?2- ,即 x1 -4x1-4p2=0;同理 p 2p
2 2 2 2 有 x2 2-4x2-4p =0,因此 x1,x2 是方程 x -4x-4p =0 的两根,则 x1+x2=4,x1x2=-4p . 2 x2 (x1+x2)2-2x1x2 16+8p2 1+x2 由线段 AB 的中点的纵坐标是 6,得 y1+y2=12,即 = =12, 2p 2p 2p

=12,解得 p=1 或 p=2. 答案:1 或 2 y2 8.(2015· 郑州模拟)已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称, 3 且 MN 的中点在抛物线 y2=18x 上,则实数 m 的值为________. 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2), MN 的中点 P(x0,y0),

? ? y 则?x - 3 =1, ② x +x =2x , ③ ? ?y +y =2y , ④
2 2 1 1 2 2 2 2 0 0

2 2 y1 x1 - =1, 3



1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1),显然 x1≠x2. 3 ∴ y2-y1 y2+y1 y0 · =3,即 kMN· =3, x0 x2-x1 x2+x1

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0, 又∵y0=x0+m, m 3m ∴P(- , ),代入抛物线方程得 4 4 9 2 m m =18· (- ), 16 4 解得 m=0 或-8,经检验都符合. 答案:0 或-8 9.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 L 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 L 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求OA?OB的值. 解:(1)∵F(1,0),∴直线 L 的方程为 y=x-1,
?y=x-1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x, ?

得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = 2· (x1+x2)2-4x1x2= 2· 36-4=8. (2)设直线 L 的方程为 x=ky+1,
?x=ky+1 ? 由? 2 ,得 y2-4ky-4=0, ? y = 4 x ?

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, → → OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). → → ∴OA·OB=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3. 10.(2015· 衡水中学调研)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦 3 点分别为 F1 和 F2,且|F1F2|=2,点(1, )在该椭圆上. 2 (1)求椭圆 C 的方程;

12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AF2B 的面积为 .求以 F2 为圆心 7 且与直线 l 相切的圆的方程. 3 解:(1)由题意知 c=1,2a= + 2 1. 3 3 (2)①当直线 l⊥x 轴时,可取 A(-1,- ),B(-1, ),△AF2B 的面积为 3,不符合题 2 2 意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程得: (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0 成立, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k2-12 8k2 则 x1+x2=- , x · x = . 3+4k2 1 2 3+4k2 可得|AB|= 12(k2+1) , 3+4k2 2|k| , 1+k2 3 x2 y2 ( )2+22=4,a=2,故椭圆 C 的方程为 + = 2 4 3

又圆 F2 的半径 r=

12|k| k2+1 12 2 1 ∴△AF2B 的面积为 |AB|r= = , 2 7 3+4k2 化简得:17k4+k2-18=0,得 k=± 1, ∴r= 2,圆的方程为(x-1)2+y2=2. x2 y2 3 1.(2015· 昆明三中、玉溪一中联考)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦 a b 2 点到直线 x+y+ 6=0 的距离为 2 3. (1)求椭圆的方程; 7→ → (2)过点 M(0,-1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,满足NA=- NB,求 5 直线 l 的方程. 解:(1)设右焦点为(c,0),则 |c+ 6| =2 3,c+ 6=±2 6,c= 6或 c=-3 6(舍去). 2

c 3 6 3 又离心率 = ,即 = ,解得 a=2 2,则 b= a2-c2= 2, a 2 a 2 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 8 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0), 7→ → 因为NA=- NB, 5 7 7 所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=- y2 5 5 ①,

易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立,
?y=kx-1 ? 于是设 l 的方程为 y=kx-1(k≠0), 联立? 2 消去 x 得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0, 2 ? x + 4 y = 8 ?

因为Δ>0,所以直线与椭圆相交. 1-8k2 2 于是 y1+y2=- 2 ②,y1y2= 2 ③, 4k +1 4k +1 5 7 由①②得,y2= 2 ,y1=- 2 ,代入③整理得 8k4+k2-9=0,k2=1,k=± 1. 4k +1 4k +1 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1. x2 y2 2 2.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其焦点为 F1,F2,离心率为 ,直线 l:x+2y a b 2 -2=0 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B. (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|+|PF2|=2a,求 a 的取值范围. 解:(1)由椭圆的离心率为 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)由 e=
2

2 ,得 a= 2c, 2

由 A(2,0),得 a=2,∴c= 2,b= 2,

2 x2 2y2 ,设椭圆方程为 2+ 2 =1, 2 a a
2

x 2y ? ?a2+ a2 =1 联立? , ?x+2y-2=0 ? 得 6y2-8y+4-a2=0, 若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|+|PF2|=2a,则线段 AB 与椭圆 E 有公共点,等价于方 程 6y2-8y+4-a2=0 在 y?[0,1]上有解, 设 f(y)=6y2-8y+4-a2,
? ?Δ≥0 ∴? , ?f(0)≥0 ?

4 ? ?a2≥3 即? , ?4-a2≥0 ? 4 ∴ ≤a2≤4, 3 2 3 故 a 的取值范围是 ≤a≤2. 3 x2 y2 3 . (2015· 安徽合肥市质量检测 ) 已知椭圆: 2 + 2 = 1(a>b>0) 的长轴长为 4 ,且过点 a b

? 3,1?. 2? ?
(1)求椭圆的方程; 6 → 3→ 4→ (2)设 A, B, M 是椭圆上的三点. 若OM= OA+ OB, 点 N 为线段 AB 的中点, C?- ,0?, 5 5 ? 2 ? D? 6 ? ,求证:|NC|+|ND|=2 2. ? 2 ,0?

a=2 ? ?a=2, ? ? 解:(1)由已知可得? 3 ,故? 1 ? ?b=1, ? ?a2+4b2=1 x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 x1 x2 2 2 则 +y2 1=1, +y2=1. 4 4

→ 3→ 4→ 由OM= OA+ OB, 5 5 3 4 3 4 ? 得 M? ?5x1+5x2,5y1+5y2?. 因为 M 是椭圆 C 上一点,

所以

?3x1+4x2? 5 ? ?5
4

2

3 4 2 y1+ y2? =1, +? 5 ? ?5

2 2 2 2 x1 ??3? +?x2+y2 ??4? +2?3?4??x1x2+y1y2?=1, +y2 即? 1 2 ?4 ??5? ? 4 ??5? ? 5 5 ? 4

3?2 ?4?2 3 4 ?x1x2 ? 得? ?5? +?5? +2?5?5?? 4 +y1y2?=1, 故 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2? ? 2 , 2 ?,

又线段 AB 的中点 N 的坐标为?

所以

?x1+x2? ? 2 ?
2

2

+2?

2 y1+y2?2 1?x2 1?x2 2? x1x2 1 2 = ? 4 +y1? + ? 2? 4 +y2?+ 4 +y1y2=1, ? 2 ? 2

从而线段 AB 的中点 N?

x1+x2 y1+y2? x2 在椭圆 +2y2=1 上. , 2 2 ? ? 2

x2 又椭圆 +2y2=1 的两焦点恰为 2 C?-

?

6 ? ? 6,0?, ,0 ,D 2 ? ?2 ?

所以|NC|+|ND|=2 2.


相关文档

2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件:第8章-第9节-第1课时直线与圆锥曲线的位置关系
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第2讲 两直线的位置关系
2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习课件:第8章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
高三数学一轮复习课时提能演练8.9直线与圆锥曲线的位置关系理新课标
(新课标)高考数学大一轮复习第8章第9节直线与圆锥曲线的位置关系课时作业理【含答案】
2013届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
2013年高考数学(理)新课标第一轮复习课时提能演练_8.9_直线与圆锥曲线的位置关系
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 直线与圆锥曲线的位置关系学案 理
电脑版