2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式活页作业9北师大版选修4_5

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

活页作业(九)

一般形式的柯西不等式

一、选择题 1 4 9 1.已知 x,y,z 均大于 0,且 x+y+z=1,则 + + 的最小值为(

x y z

)

A.24 C.36

B.30 D.48

?1 4 9? 解析:∵(x+y+z)? + + ?≥ ?x y z? ? x· 1 + y· 2 + z· 3 ?2 ? ? =36, x y z? ?
1 4 9 y z 1 ∴ + + ≥36,当且仅当 x= = = 时等号成立. x y z 2 3 6 答案:C 2.设实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,且 a +b +c +
2 2 2

d2+e2=16,则 e 的最大值是(
16 A. 5 C.5

) 5 B. 16 D.16
2 2 2 2 2 2

解析:由已知,得 a+b+c+d=8-e,a +b +c +d =16-e .所以(8-e) =(a+b+c +d) ≤(a +b +c +d )(1 +1 +1 +1 )=4(16-e ),当且仅当 a=b=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c=d=2 或 时等号成立.
16 2 化简,得 5e -16e≤0,即 0≤e≤ . 5 16 所以 emax= . 5 答案:A 3.设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a +b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20, 则
2 2 2 2 2 2

6 5

a+b+c 的值为( x+y+z
1 A. 4 1 C. 2

) 1 B. 3 3 D. 4
2 2 2 2 2 2

解析:由题意,可得 x +y +z =2ax+2by+2cz.上式与 a +b +c =10 相加,可得(x

1

-a) +(y-b) +

2

2

x-a=a, ? ? (z-c) =10.不妨令?y-b=b, ? ?z-c=c,
2

则 x+y+

a+b+c 1 z=2(a+b+c),即 = . x+y+z 2
答案:C 4.设 a1,a2,…,an 为正实数,P=

a1+a2+…+an n ,Q= ,则 P,Q 之间 n 1 1 1 + +…+ a1 a2 an

的大小关系为( A.P>Q C.P<Q

) B.P≥Q D.P≤Q

1? ?1 1 解析:∵(a1+a2+…+an)? + +…+ ?≥

?a1 a2

an?

(1+1+…+1n 个) =n , ∴

2

2

a1+a2+…+an n ≥ , n 1 1 1 + +…+ a1 a2 an

即 P≥Q. 答案:B 二、填空题 5.设 a,b,c 为正实数,a+b+4c =1,则 a+ b+ 2c 的最大值为________. 解析:∵ a , b , c ∈ (0 ,+∞),∴ (a + b + 4c ) ?1 +1 +?
2 2 2 2

? ?

? 1 ?2? 2 2 ? ? = [( a ) + ( b ) + ? 2? ?

(2c) ]?1 +1 +?
2 2 2

? ?

a b ? 1 ?2? 2 ? ?≥( a+ b+ 2c) ,当且仅当 1 = 1 = ? 2? ?

2c 5 5 10 2 时取等号.∴( a+ b+ 2c) ≤1× = ,即 a+ b+ 2c≤ . 1 2 2 2 2 答案: 10 2
2 2 2

6.已知 x +y +z =14,则|x+2y+3z|的最大值是________. 解析:∵(x+2y+3z) ≤(1 +2 +3 )(x +y +z )=14(x +y +z )=14 ,当且仅当 = 1 2 = 时取等号,∴|x+2y+3z|≤14. 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y

z

答案:14 三、解答题 7.已知实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,求 x +4y +z 的最小值. 解:由柯西不等式,得 (x +4y +z )(1+1+1)≥(x+2y+z) . ∵x+2y+z=1, 1 2 2 2 2 2 2 ∴3(x +4y +z )≥1,即 x +4y +z ≥ , 3 1 1 1 1 当且仅当 x=2y=z= ,即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 3 3 6 3 1 2 2 2 故 x +4y +z 的最小值为 . 3 1 1 1 8. 已知 a1, a2, …, an 是平面凸 n 边形的内角的弧度数, 求证: + +…+ ≥
2 2 2 2 2 2 2

n2 n-
π

a1 a2

an

.

证明:由凸多边形的内角和定理,得

a1+a2+…+an=(n-2)π ,
1? ?1 1 ∴(a1+a2+…+an)? + +…+ ?≥

?a1 a2
2 2

an?

(1+1+…+1n 个 1) =n . 1 1 1 ∴ + +…+ ≥

n2 n-
π

a1 a2

an

, π 时取等号.

当且仅当 a1=a2=…=an=

n- n

一、选择题

?a b c??b c a? 1.已知 a,b,c 为正数,则? + + ?? + + ?有( ?b c a??a b c?
A.最大值 9 C.最大值 3 B.最小值 9 D.最小值 3

)

?a b c??b c a? ?? 解析:? + + ?? + + ?=?? ?b c a??a b c? ?? ?? ?? ??
9. 答案:B

a?2 ? ? +? b? ? a · b

b?2 ? ? +? c? ? b + a

c?2? ?? a? ? b · c c + b c · a a? 2 ?= c?

b?2 ? ? +? a? ?

c?2 ? ? +? b? ?

a?2? ? ? ? ≥? c? ? ?

2.设非负实数 a1,a2,…,an 满足 a1+a2+…+an=1,

3

则 y=

2 2 2 + +…+ -n 的最小值为( 2-a1 2-a2 2-an B. 2n+1 2n D. 2n-1
2

)

A. 2n-1

n

n

n+1 C. 2n-1

解析:因为(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an) =2n-(a1+a2+…+an)=2n-1, 所以(2n-1)?

? 1 + 1 +…+ 1 ? ? 2-an? ?2-a1 2-a2

=[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]

? 1 + 1 +…+ 1 ?≥ ?2-a1 2-a2 2-an? ? ? ? 2-a1· 1 + 2-a2· 1 +…+ 2-an· ? 2-a1 2-a2 ?
1 2-an?

?2 2 ? =n .
2 2

2n 2n n 所以 y+n≥ ,即 y≥ -n= , 2n-1 2n-1 2n-1 1 等号当且仅当 a1=a2=…=an= 时成立.

n

从而 y 有最小值 . 2n-1 答案:A 三、填空题

n

? 1?2 ? 1?2 ? 1?2 3.设 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,则?a+ ? +?b+ ? +?c+ ? 的最小值是 ?
a?

?

b?

?

c?

________. 1 2 2 2 解析:原式= (1 +1 +1 ) 3

??a+1?2+?b+1?2+?c+1?2?≥ ?? a? ? b? ? c? ? ?? ? ? ? ? ??
1? ? 1? ? 1? ? 1?? ?1·?a+ ?+1·?b+b?+1·?c+c??2= 3? ? a? ? ? ? ?? 1? ?1 1 1??2 ?1+? + + ?? = 3? ?a b c?? 1? ?1+ 3?

a+b+c ? + + ??2≥ ?a b c??
4

?1 1 1??

1 1 1 ?2?2 1? ? 1+? a· + b· + c· ? ? = ? 3? ? a b c? ? 1 100 2 2 ×(1+3 ) = , 3 3 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 100 答案: 3 1 4.边长为 a,b,c 的三角形,其面积为 ,外接圆半径为 1,若 s= a+ b+ c,t 4 1 1 1 = + + ,则 s 与 t 的大小关系是________.

a b c

解析:S=

abc abc 1 = = ,即 abc=1, 4R 4 4
2

所以 t=ab+bc+ca,则 t =(ab+bc+ca)·

?1+1+1?≥( a+ b+ c)2=s2, ?a b c? ? ?
当且仅当 a=b=c=1 时等号成立. 因为 a>0,b>0,c>0,所以 s≤t. 答案:s≤t 三、解答题 5.已知△ABC 的三边长为 a,b,c,其外接圆半径为 R. 求证: (a +b +c )?
2 2 2

? 1 2 + 1 2 + 1 2 ?≥36R2. ? ?sin A sin B sin C?
a

证明:由正弦定理,得 sin A= . 2R 1 4R 所以 2 = 2 . sin A a 1 4R 1 4R 同理 2 = 2 , 2 = 2 . sin B b sin C c 由柯西不等式,可得 2R 2R?2 ?4R 4R 4R ? ? 2R 2 左边=(a +b +c )? 2 + 2 + 2 ?≥?a· +b· +c· ? =36R . b c ? ? a b c? ?a
2 2 2 2 2 2 2 2 2

原不等式得证. 6.设 x,y,z∈R,且

x-
16

2



y+
5

2



z-
4

2

=1.

求 x+y+z 的最大值和最小值. 解:根据柯西不等式,知
5

[4 +( 5) +2 ]??
2 2 2

??x-1?2 ?y+2?2 ?z-3?2? ? +? ? ?≥ ? +? ?? 4 ? ? 5 ? ? 2 ? ?

?4·x-1+ 5·y+2+2·z-3?2 , ? 4 2 ? 5 ? ?
当且仅当

x-1 y+2 z-3
16 = 5 = 4



21 19 11 11 即 x= ,y=-1,z= 或 x=- ,y=-3,z= 时等号成立. 5 5 5 5 ∴25×1≥(x+y+z-2) , 即|x+y+z-2|≤5. ∴-3≤x+y+z≤7. 故 x+y+z 的最大值为 7,最小值为-3.
2

6


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