四川省成都外国语学校2015年高三下学期3月月考数学试卷(理)-1

四川省成都外国语学校 2015 年高三下学期 3 月月考数学试卷(理)
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准考证号和座
位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷

一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上)

1、已知全集U ? ??1,1,2,3,4 ?,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4?,则 (CU A) B 为( )

A. ?1,2,4?

B. ?2,3,4?

C. ?? 1,2,4?

D. ?? 1,2,3,4?

开始

2、已知 i 是虚数单位,则复数 z ? 1? 2i ? 3i2 所对应的点落在(

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

) x=1,y=1

3、如图所示,程序框图输出的所有实数对 ? x, y? 所对应的点

都在函数( )

A. y ? x ?1的图象上

B. y ? 2x 的图象上

x<4?

C. y ? 2x?1 的图象上

D. y ? 2x 的图象上



结束
4、设 m, n 是两条不同的直线,?, ? 是两个不同的平面,

给出下列条件,能得到 m ? ? 的是( )

A.? ? ?, m ? ?

B. m ? ?,? ? ? C. m ? n, n ? ?

x=x+1,y=2y 是
输出(x,y)
D. m // n, n ? ?

5、设 k ? R ,若关于 x 方程 x2 ? kx ?1 ? 0 的二根分别在区间 (0,1) 和 (1, 2) 内,则 k 的取值范围为 ( )

A、 (??, ?2) (2, ??)

B、 (2, 5) 2

C、 (1,3)

D、 (??, 2) (5 , ??) 2

6、将函数 f (x) ? sin?x(? ? 0) 的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象过点 (3? , 0) ,则? 的最小值是

4

4

()

A、 2

B、1

C、 5 3

D、 1 3

7、若 f (x) ? ? 1 x2 ? m ln x在(1, ??)上 是减函数,则 m 的取值范围是( ) 2

A.[1, ??)

B. (1, ??)

C. (??,1]

D. (??,1)

8、已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的两条渐近线均与 C : x2

?

y2

?6x ?5 ?

0 相切,则该双曲线离心

率等于( )

A. 3 5 5

B. 6 2

C. 3 2

D. 5 5

? ? 9、定义在

0

,? 2

上的函数 f ? x? , f ?? x? 是它的导函数,且恒有 f ? x? ? f ?? x? ? tan x 成立,则(



? ? ? ? A.

3f

? 4

?

2f

? 3

? ? B. f ?1? ? 2 f

? 6

sin1

? ? ? ? C.

2f

? 6

?f

? 4

? ? ? ? D.

3f

? 6

?f

? 3

10、已知函数

f

?x?

?

?4 ?

log2

x

,

? ??

1 x2 ?5x 2

?

0? x?2 12, x ? 2

,若存在实数

a

、b

、c

、d

,满足

f

?a? ?

f

?b?

?

f

?c?

? f ?d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0,则 abcd 的取值范围是( )

A、 (16, 21)

B、 ?16, 24?

C、 (17, 21)

D、 (18, 24)

第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。)
11、函数 f (x) ? 1? tan x 的定义域为____________
12、一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点),则多面体 F—MNB 的 体积为

13、体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中, 要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法 有________种
14、如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , M 为 BC 的中点, 若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的取值
范围是
15、在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”。类似的,我们在平面向量集
? ? D= a a ? ? x, y?, x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ”。定义如下:对于任意两
? ? ? ? 个向量 a1 ? x1 , y1 , a2 ? x2, y2 “, a1 a2”当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”。按上述定义的
关系“ ”,给出如下四个命题:

①若 e1 ? ?1,0?,e2 ? ?0,1?,0 ? ?0,0?,则e1
②若 a1 a2, a2 a3 ,则 a1 a3 ; ③若 a1 a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a
④对于任意向量 a 0,0 ? ?0,0?,若a1
其中真命题的序号为__________

e2 0 ;
a2 ? a ; a2,则a ? a1 ? a ? a2 .

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)

16、(本小题 12 分)已知函数 f (x) ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ?1 (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ)在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c, 若 f (C ) ? 2 且 c2 ? ab ,试判断 ?ABC的形状。 2

17、(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{an } 的前四项和 S4 ? 14,且a1, a3 , a7 成等比。

(1)求数列{an } 的通项公式;

(2)设

Tn为数列{

an

1 an?1

}的前n项和

,若

Tn

?

?an?1对一切n ? N * 恒成立,

求实数 ? 的最小值.

18、(本小题 12 分)某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55]岁的人群随 机抽取了 1000 人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图.同时对这 1000 人是否参加“商品抢购”进 行统计,结果如下表:
(1)求统计表中 a 和 p 的值; (2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取 6 人参加满意度调查,
①设从年龄落在(40,45]和(45,50]中抽取的人数分别为 m,n,求 m 和 n 的值; ②在抽取的 6 人中,有 2 人感到“满意”,设没感到“满意”的 2 人中年龄在(40,45]内的人数为 X,求
事件 X 的分布列和数学期望.

频率 组距

0.040 0.030 0.020 0.010

25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)

组数
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

分组
[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]

抢购商品 的人数
120 195 100
a 30 15

占本组的 频率 0.6 P 0.5 0.4 0.3 0.3

19、(本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD中, AD / /BC ,

C?

AD ? 1 BC ,?ABC ? 60 ,N 是 BC 的中点.将梯形 ABCD

2
绕 AB 旋转 90 ,得到梯形 ABC?D? (如图).

y
D?

(1)求证: AC ? 平面 ABC? ;

A

D

(2)求证: C?N / / 平面 ADD? ;

N

(3)求二面角 A?C?N ?C 的余弦值.

B

N

C

M

x

O

l

20、(本小题13分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2,1) 。
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)与圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N 若抛物线上一点 C 满足 OC ? ?(OM ? ON), (? ? 0) ,求 ? 的取值范围.
21、(本小题满分 14)
已知函数 f (x) ? ln x ? x2 . (I)若函数 g(x) ? f (x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(1)的条件下,若 a ?1, h(x) ? e3x ? 3aex , x ?[0, ln 2],求 h(x) 的极小值; (Ⅲ)设 F (x) ? 2 f (x) ? 3x2 ? kx(k ? R) ,若函数 F(x) 存在两个零点 m, n(0? m? n),且满足
2x0 ? m? n,问:函数 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程,
若不能,请说明理由.

四川省成都外国语学校 2015 年高三下学期 3 月月考数学试卷(理)

答案

1-10:CBCDB ACADB

11、 (? ? ? k? , ? ? k? ](k ? Z)

2

4

13、10

14、 ?0,6?

12、8/3 15、①②③

16、解:(Ⅰ) f (x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ?1 ? cos 2x ? 3 sin 2x

? 2(1 cos 2x ? 3 sin 2x) ? 2sin(2x ? ? )

2

2

6

周期为T ? 2? ? ? . ……………………5 分 2

(Ⅱ)因为 f (C ) ? 2sin(C ? ? ) ? 2 ,所以 sin(C ? ? ) ? 1

2

6

6

因为 0 ? C ? ? ,所以 ? ? C ? ? ? 7? ,所以 C ? ? ? ? ,所以 C ? ?

6

66

62

3

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ? a2 ? b2 ? ab ? ab ,整理得 a ? b

所以三角形 ABC 为等边三角形……………………12 分

??4a1 ? 6d ? 14

17、解:(1)设公差为

d,由已知得:

? ??(a1

?

2d )2

?

a1 (a1

?

6d )

,联立解得

d

?1或

d

?0

(舍去)

?a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1

……5 分

(2)?? 的最小值为 1/16

………12 分



X

0

1

2

P

1/15

8/15

6/15

X 的数学期望:4/3

…………12 分

19、(1)证明:因为 AD ? 1 BC , N 是 BC 的中点。所以 AD ? NC ,又 AD / /BC 2
所以四边形 ANCD 是平行四边形,所以 AN ? DC 又因为等腰梯形, ?ABC ? 60 ,
z
C?

所以 AB ? BN ? AD ,所以四边形 ANCD 是菱形,

所以 ?ACB ? 1 ?DCB ? 30 2

所以 ?BAC ? 90 ,即 AC ? AB

由已知可知 平面 C?BA ? 平面 ABC ,

因为 平面 C?BA 平面 ABC ? AB

所以 AC ?平面 ABC?

……………………4 分

(2)证明:因为 AD / /BC , AD? / /BC? ,

AD AD? ? A, BC BC? ? B

所以平面 ADD? / / 平面 BCC?

又因为 C?N ? 平面 BCC? ,所以 C?N / / 平面 ADD?

………………7 分

(3)因为 AC ?平面 ABC? ,同理 AC? ? 平面 ABC ,建立如图如示坐标系。设 AB ?1,

则 B(1, 0, 0) , C(0, 3, 0) , C?(0, 0, 3) , N (1 , 3 , 0) , 22

则 BC? ? (?1, 0, 3) , CC? ? (0, ? 3, 3)

设平面 C?NC 的法向量为 n ? (x, y, z) ,有 BC?? n ? 0 , C?C ? n ? 0 得 n ? ( 3,1,1)

设平面 ANC' 的法向量为 m? ? (x, y, z) ,有 AN ? m ? 0, AC' ? m ? 0 ,得 m ? (? 3,1,0)

??

所以 cos ?

n?m ??

??

5

m?n 5

由图形可知二面角 A ? C?N ? C 为钝角,所以二面角 A ? C?N ? C 的余弦值为 ? 5 5
20、 (1) x2 ? 4 y ………4分

(2)由圆心 ?0, ?1? 到直线 l 的距离 d ? t ?1 ? 1 ? k2 ? t2 ? 2t
k2 ?1

设交点

M

? x1,

y1 ?



N

? x2,

y2

?

,由

? y ? kx ? t

? ?

x2

?

4y

?

x2

?

4kx

?

4t

?

0

其中 ? ? 16k2 ?16t ? 0 ? t2 ? 3t ? 0 ? t ? 0或t ? ?3

? ? ?

x1 ? x2 x1x2 ?

? 4k ?4t

?

y1

?

y2

?

4k 2

?

2t

………9 分

? ? ?OC ? ? OM ? ON ? ?(x1 ? x2, y1 ? y2 ) ? ?(4k, 4k 2 ? 2t) 代入 x2 ? 4 y

得 ?4k? ?2 ? 4?(4k2 ? 2t)



?

?

2k 2 ? t 2k 2

?1?

t 2k 2

?1?

1? 1 2 t?2

………11 分

t

?

0或t

?

?3

,在

???,

?3?

,

(0,

??)

都是单调递减函数?

?

?

? ??

1 2

,1???

???1,

5 4

? ??

…13



21、解:(Ⅰ) g(x) ? f (x) ? ax ? ln x ? x2 ? ax, g?(x) ? 1 ? 2x ? a. x

由题意,知

g?(x)

?

0,

x

?

(0,

??)

恒成立,即

a

?

(2x

?

1 x

)min

.……

2分

又 x ? 0, 2x ? 1 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 时等号成立.

x

2

故 (2x

?

1 x )min

?

2

2 ,所以 a ? 2

2 . ……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1 ? a ? 2 2. 令 ex ? t ,则 t ?[1, 2] ,则 h(x) ? H (t) ? t3 ? 3at.

H ?(t) ? 3t2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ). ……5 分

3
由 H ?(t) ? 0 ,得 t ? a 或 t ? ? a (舍去), a ? (1, 2 2],? a ?[1, 24 ] ,

①若1 ? t ? a ,则 H ?(t) ? 0, H (t) 单调递减; h(x) 在 (0, ln a ] 也单调递减;

②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t) ? 0, H (t) 单调递增. h(x) 在[ln a, ln 2] 也单调递增;

故 h(x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a ……8 分

(Ⅲ)设 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F (x) ? 2 ln x ? x2 ? kx.

结合题意,有

?2 ln m ? m2 ? km

? ??2

ln

n

?

n2

?

kn

?

?m ? n ? 2x0 ,

? ? ??

2 x0

?

2 x0

?

k

?

0,

? 0,① 0, ②



……10 分

①—②得 2ln

m n

? (m ?

n)(m ? n)

?

k(m ? n).

,所以 k

?

2 ln m n
m?n

?

2x0.由④得 k

?

2 x0

?

2 x0 .

所以 ln m

?

2(m ? n)

?

2( m ?1) n .⑤

……11 分

n m?n

m ?1

n

设 u ? m ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? 2(u ?1) ? 0(u ? (0,1)). 设 y ? ln u ? 2(u ?1) (u ? (0,1)) ,

n

u ?1

u ?1

y?

?

1 u

?

2(u ?1) ? 2(u ?1) (u ?1)2

?

(u ?1)2 ? 4u u(u ?1)2

?

(u ?1)2 u(u ?1)2

? 0,

所以函数

y

?

ln u

?

2(u ?1) u ?1

在 (0,1)

上单调递增,因此,

y

?

y

|u?1 ?

0

,即 ln u

?

2(u ?1) u ?1

?

0.

也就是,

ln

m n

?

2(m ?1) n m ?1

,此式与⑤矛盾.

n

所以 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.……14 分


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