高一数学-必修4第三章三角恒等变换 精品

第三章 三角恒等变换 一、课标要求: 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及运用这些公式进行 简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习, 要使学生在学习三角 恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换 的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用; 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公 式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性, 体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色 1. 本章的内容分为两节: “两角和与差的正弦、余弦和正切公式” , “简单的三角恒等变换” , 在学习本章之前我们学习了向量的相关知识,因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为 基础,运用向量的知识来予以证明,降低了难度,使学生容易接受; 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式; 3. 本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是发展推理和运 算的能力,因此在本章全部内容的安排上,特别注意恰时恰点的提出问题,引导学生用对比、 联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识; 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的 内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤其注意不以半角公式、 积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 8 课时,具体分配如下: 3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 3.2 简单的恒等变换 复习 约 3 课时 约 3 课时 约 2 课时 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、课标要求: 本节的中心内容是建立相关的十一个公式,通过探索证明和初步应用,体会和认识公式 的特征及作用. 二、编写意图与特色 本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用,和差 公式的探索、证明和初步应用,倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点 1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和差的三角函数的十一个公式,并 了解它们的内在联系,为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础; 2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明. 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用, 使学生初步理解公式的结构及其 功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程 必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 三、学法与教学用具 1. 学法:启发式教学 2. 教学用具:多媒体 四、教学设想: (一)导入:我们在初中时就知道 cos 45 ? ? 2 3 ? , cos30 ? ,由此我们能否得到 2 2 cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45? ? cos30? 呢? 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面我们就一起探讨两角差的 余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P1 , cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标, 也可以用角 ? 的余弦线来表示, 大家思考: 怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.) 展示多媒体动画课件, 通过正、 余弦线及它们之间的几何关系探索 cos ?? ? ? ? 与 cos? 、 cos ? 、 sin ? 、 sin ? 之间的关系,由此得到 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,认识 两角差余弦公式的结构. 思考:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向 量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与便利之处. 思考: cos ?? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,再利用两角差的余弦公式得出 cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? (三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差. ? ? ? ? cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ? c o s 1? 5 ? c?o s ? ? 45 2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4 1 ? 2 ? 6 ? 2 4 ? 3?0 ? c?o s 4 5 ? ? c o s 3 0? 2 3 2 s i n?? 4 5 s? in 30 ? 2 2 2 点评:

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