「精品」人教A版高中数学选修1-2课件:3.2《复数代数形式的四则运算》2(新选修1—2)-精品课件_图文

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

我们规定,复数乘法法则如下: 设z1 ? a ? bi,z2 ? c ? di是任意两个复数,那么它
们的积?a ? bi??c ? di? ? ac ? bci ? adi ? bdi2 ? ?ac ? bd?? ?ad ? bc ?i.
可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘, 只要在所得的结果中把i2 换成 ? 1,并且把实部与 虚部分别合并即可. 两个复数的积是一个确定的复数.
探究 复数的乘法是否满足交换律、结合律?
乘法对加法满足分配律吗?
容易得到,对于任意z1,z2,z3 ? C,有z1 ? z2 ? z2 ? z1,
?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ?,z1?z2 ? z3 ? ? z1z2 ? z1z3.

例2 计算?1? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i?. 解 ?1? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i? ? ?11? 2i??? 2 ? i? ? ?20 ? 15i.
例3 计算 : ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?; ?2??1? i?2 .
分析 本例可以用复数乘法法则计算,也可以用乘法 公式???计算.
???指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式.
解 ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?? 32 ? ?4i?2 ? 9 ? ?? 16? ? 25. ?2??1? i?2 ? 1? 2i ? i2 ? 1? 2i ? 1 ? 2i. 本例?1?中的两个复数3 ? 4i,3 ? 4i称为共轭复数.

一 般 地,当 两 个 复 数 的 实 部 相 等,虚 部 互 为 相 反 数 时,这 两 个 复 数 叫 做 互 为共轭复数(conjugate co? mplex number).虚部不等于0的两个共轭复数也 叫 做 共 轭 虚 数.

思考 若z1, z2是共轭复数,那么
?1?在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?

?2?z1 ? z2是一个怎样的数?
探究 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复

数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.
复 数除 法的 法则 是:

?a

?

bi? ?

?c

?

di?

?

ac c2

? ?

bd d2

?

bc c2

? ?

ad i d2

?c

?

di

?

0?.

由 此可 见,两 个复 数相 除?除 数不 为0?,所 得的 商
是 一 个 确 定 的 复 数.
在进行复数除法运算时,通常先把 ?a ? bi? ? ?c ? di?
写成 a ? bi 的形式, 再把分子与分母都乘于分母的 c ? di
共轭复数 c ? di , 化简后就可得到上面的结果.这与 作 根 式 除 法 时 的 处 理 是很 类 似 的.在 作 根 式 除 法 时, 分子分母都乘以分母的" 有理化因式",从而使分母 " 有理化 " .这里分子分母都乘以分母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".

精心制作,敬请观赏

例4 计算?1? 2i? ? ?3 ? 4i?.

解 ?1? 2i? ? ?3 ? 4i?? 1? 2i
3 ? 4i

?1? 2i??3 ? 4i? 3 ? 8 ? 6i ? 4i

?

?

?3 ? 4i??3 ? 4i?

32 ? 42

? 5 ? 10i 1 2

?

? ? ? i.

25

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