推荐2019高三数学文北师大版一轮课件第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”_图文

第 章 集合与常用逻辑用语
第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 “且”“或”“非”

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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练

[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与 存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

(对应学生用书第 5 页) [基础知识填充]
1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“_且__”“ _或__”“ _非__”叫做逻辑联结词.

(2)命题 p 且 q,p 或 q,綈 p 的真假判断

p

q

















p且q _真__ _假__ _假__ _假__

p或q

非p

_真__

_假__

_真__

_假__

_真__

_真__

_假__

_真__

2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有 的”等. (2) 常 见 的 存 在 量 词 有 : “ 存 在 一 个 ”“ 至 少 有 一 个 ”“ 有 些 ”“ 有 一 个”“某个”“有的”等.
3.全称命题与特称命题 (1)含有_全__称__量词的命题叫全称命题. (2)含有_存__在__量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定 (1)全称命题的否定是_特__称__命题;特称命题的否定是_全__称__命题.
(2)p 或 q 的否定为:綈 p 且綈 q;p 且 q 的否定为:_綈___p_或__綈__q___.

[知识拓展] 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p 或 q:p、q 中有一个为真,则 p 或 q 为真,即有真为真; (2)p 且 q:p、q 中有一个为假,则 p 且 q 为假,即有假即假;
(3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.

[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p 且 q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是假命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( )

[解析] (1)错误.命题 p 或 q 中,p,q 有一真则真. (2)错误.p 且 q 是真命题,则 p,q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相 等”,是全称命题. (4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)已知 p:2 是偶数,q:2 是质数,则命题綈 p,綈 q,p 或 q,p 且

q 中真命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

B [p 和 q 显然都是真命题,所以綈 p,綈 q 都是假命题,p 或 q,p 且 q 都

是真命题.]

3.(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p:存在 n∈N,n2>2n,则綈 p 为( )

A.任意 n∈N,n2>2n

B.存在 n∈N,n2≤2n

C.任意 n∈N,n2≤2n

D.存在 n∈N,n2=2n

C [因为“ 存在 x∈M,p(x)” 的否定是“ 任意 x∈M,綈 p(x)” ,所以命题“ 存在

n∈N,n2> 2n” 的否定是“ 任意 n∈N,n2≤2n” .故选 C.]

4.(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是( ) A.任意 x∈R,2x-1>0 B.任意 x∈N*,(x-1)2>0 C.存在 x∈R,lg x<1 D.存在 x∈R,tan x=2 B [当 x=1 时,(x-1)2=0,故 B 是假命题.]

5.若命题“任意 x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是

________. [-8,0] [当 a=0 时,不等式显然成立.

【导学号:00090008】

当 a≠0 时,依题意知?????aΔ<=0a,2+8a≤0,

解得-8≤a<0.

综上可知-8≤a≤0.]

(对应学生用书第 5 页) 含有逻辑联结词的命题的真假判断

设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命

题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( )

A.p 或 q

B.p 且 q

C.(綈 p)且(綈 q)

D.p 且(綈 q)

A [取 a=c=(1,0),b=(0,1),显然 a·b=0,b·c=0,但 a·c=1≠0,∴p 是假 命题. a,b,c 是非零向量,
由 a∥b 知 a=xb,由 b∥c 知 b=yc, ∴a=xyc,∴a∥c,∴q 是真命题.
综上知 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.
又∵綈 p 为真命题,綈 q 为假命题,
∴(綈 p)且(綈 q),p 且(綈 q)都是假命题.]

[规律方法] 1.“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”形式的命题真假判断的关键是对 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成
形式;(2)判断其中命题 p,q 的真假;(3)确定“p 或 q”“p 且 q”“綈 p” 形式的命题的真假. 2.p 且 q 形式是“一假必假,全真才真”,p 或 q 形式是“一真必真,全假 才假”,非 p 则是“与 p 的真假相反”.

[变式训练 1] (2017·石家庄一模)命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x2

+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )

A.p 或 q

B.p 且 q

C.q

D.綈 p

B [取 x=3π,y=56π,可知命题 p 不正确;由(x-y)2≥0 恒成立,可知命题 q

正确.

故綈 p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.]

全称命题、特称命题 角度 1 含有一个量词的命题的否定
(2015·湖北高考)命题“存在 x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 ( ) 【导学号:00090009】
A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在 x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.存在 x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 A [改变原命题中的三个地方即可得其否定,存在改为任意,x0 改为 x,否 定结论,即 ln x≠x-1,故选 A.]

角度 2 全称命题、特称命题的真假判断 (2018·青岛模拟)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 x1 满足关于 x
的方程 2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是( ) A.存在 x∈R,使得 f(x)≤f(x1) B.存在 x∈R,使得 f(x)≥f(x1) C.对任意 x∈R,都有 f(x)≤f(x1) D.对任意 x∈R,都有 f(x)≥f(x1)

C [由题意知 2ax1+b=0,即 x1=-2ba, 又 f(x)=a????x+2ba????2+4ac4-a b2,故 f(x)min=f(x1). 因此,A,B,D 正确,C 错误.]

[规律方法] 1.否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写 为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论. 2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0, 使 p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题. 3.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x, 证明 p(x)成立.只要找到一个反例,则该命题为假命题.

由命题的真假求参数的取值范围

(1)已知命题“存在 x0∈R,使 2x20+(a-1)x0+12≤0”是假命题,则实数 a

的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(-1,3)

C.(-3,+∞)

D.(-3,1)

(2)已知 p:存在 x0∈R,mx20+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( )

A.m≥2

B.m≤-2

C.m≤-2 或 m≥2

D.-2≤m≤2

(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意 x∈R,2x2+(a-1)x+12>0,由题意知, 为真命题, 则 Δ=(a-1)2-4×2×12<0, 则-2<a-1<2,则-1<a<3. (2)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,任意 x∈R,mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0,m≤-2 或 m≥2. 因此,由 p,q 均为假命题得?????mm≥ ≤0-,2或m≥2, 即 m≥2.]

[规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤: (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况). (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围. (3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.

[变式训练 2] (2018·泰安模拟)若“任意 x∈????0,π4????,tan x≤m”是真命题,则实 数 m 的最小值为________. 1 [∵0≤x≤4π,∴0≤tan x≤1,
由“任意 x∈????0,4π????,tan x≤m”是真命题,得 m≥1. 故实数 m 的最小值为 1.]

课时分层训练(三)
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