《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习课件:第2章 第6讲 指数与指数函数_图文

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第 6讲

指数与指数函数

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1.下列各函数中,是指数函数的是(D ) A.y=(-3)x C.y=3
x-1

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B.y=-3x 1x D.y=(3)

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2.函数 f(x)= 1-2x的定义域是(D ) A.(-∞,+∞) C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(-∞,0]

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3. “2a>2b”是“log2a>log2b”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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解析: :2a>2b?a>b,当 a<0 或 b<0 时,不能 得到 log2a>log2b,反之由 log2a>log2b,即 a>b>0 可得 2a>2b 成立.

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4. 函数 f(x)=ax-b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则 下列结论正确的是( C )

A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0

B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0

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解析: 由图象得函数是减函数, 所以 0<a<1.又分析得, 图象是由 y=ax 的图象向下平移所得,所以-b<0,即 b>0. 从而 C 正确.

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5. 若 0 < x < 1 , 则 2x ,2 是 2x ? 2-x ? 0.2 x .


理 数
x

,0.2x 的 大 小 关 系

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指数的定义及运算
【例 1】计算下列各式的值:
2 3 1 1 -1 0 3 2 4 1 0.027 - ( 6 ) + 256 + ( 2 2 ) - 3 + π ; ? ?? ? 4 1 4 3 3 3 3 ? 2 ? 7 3-3 24-6 + 3 3; 9 1 3

? 3? (a



8 5

? b ) ? 5 a 4 ? 5 b3 (a ? 0,b ? 0).

6 1 5 2

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【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化,有理指 数幂的运算法则,进行化解,运算求得结果. .

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【解答过程】

1 -1 0 1 0.027 - ( 6 ) + 256 + ( 2 2 ) - 3 + π ? ?? ? 4
1 3

1 2

3 4

2 3

3 5 1 4 =[( ) ] -[( ) ] +? 4 ? +(2 ) - +1 10 2 3 3 5 1 7 3 = - +4 +2- +1=64 ; 10 2 3 15


1 3 3

1 2 2

3 4

3 2 2 3

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3

1 4 3 ? 2 ? 7 3-3 24-6 + 3 3 9
3 3

=7 ? 3 -3(3 ? 2 ) -6 ? 3 + 3 =7 ? 3 -6 ? 3 -2 ? 3 ? 3 +3 =2 ? 3 -2 ? 3 =0;
1 3 1 3 1 3 1 3 ? 2 3 1 3

1 3

1 3 3

?

2 3

4

4 3

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? 3? ( a



8 5

? b ) ? 5 a 4 ? 5 b3
3 5 4 5 3 5

6 1 5 2

=(a · b )· a ? b =a 0 · b 0=1.



4 5

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【温馨提示】在解决分数指数幂的运算时,应注意如 下几点:(1)尽量将根式、小数指数幂统一为分数指数幂; (2)尽量运用乘法公式;(3)对于有些指数式的问题,有时应 转化为对数;(4)注意整体代换思想在指数式运算中的应用.

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)

【跟踪训练 1】下列命题中,正确的是( A. an=a B.若 a∈R,则(a2-a+1)0=1 C. x4+y3= x ? y D. -5= ?-5?2 3 6
4 3

n

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n

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解析: :对于 A,因为 n 为奇数时, an=a;当 n 为偶 n n 数时, a =|a|,故 A 错;对于 B,因为 a2-a+1≠0,所以 (a2-a+1)0=1,故 B 对;对于 C, x4+y3≠ x ? y 所以 C 不对;对于 D, -5是一个负数; ?-5?2是一个正数,故 D 错. 3 6
4 3

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1 2 1 2 1 2

x -y
【跟踪训练 2】已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 x +y 的值.
1 2

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解析:由已知 x+y=12,xy=9,且 x<y, 可得(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108, 所以 x-y=-6 3.所以

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x ?y x +y
1 2

1 2

1 2

1 2

(x ? y ) x ? y ? 2( xy ) = = x? y x? y
1 2

1 2

1 2 2

1 2

12 ? 2 ? 9 3 = =. 3 ?6 3
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指数函数的图象
【例 2】函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )

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【思路点拨】通过图象经过定点(1,0),排除不符合条 件的选项,从而得出结论.

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【解答过程】由于当 x=1 时,y=0,即函数 y=ax-a 的图象过点(1,0),故排除 A、B、D. 答案:C

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【温馨提示】利用指数函数的单调性,可以解决由指 数函数构成的复合函数的单调性、最值、大小比较等问题.

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【跟踪训练 3 】 函数 y = ax 点 .
-5

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+ 1(a≠0) 的图象必经过

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解析:指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1,由此变形 得 a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).

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2 3 1 2

【跟踪训练 4】 (2014· 上海)若 f(x)= x ? x 的 x 的取值范围是 .

?

, 则满足 f(x)<0

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解析:f(x)<0? x ? x 得 x 的取值范围是(0,1).

2 3

?

1 2

,结合幂函数图象,如下图,可

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指数函数的综合应用
【例 3】已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,


+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是__________.

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【思路点拨】由题意,复合函数 f(x)在区间[1,+∞) 上是增函数可得出内层函数 t=|x-a|在区间[1,+∞)上是 增函数,又绝对值函数 t=|x-a|在区间[a,+∞)上是增函 数,可得出[1,+∞)?[a,+∞),比较区间端点即可得出 a 的取值范围. .
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【解答过程】因为函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数). 若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,由复合函数的单调 性知,必有 t=|x-a|在区间[1,+∞)上是增函数, 又 t=|x-a|在区间[a,+∞)上是增函数,所以[1,+∞) ?[a,+∞),故有 a≤1. 答案:a≤1

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【跟踪训练 5】函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大 a 值比最小值大2,则 a 的值是 . .

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解析:当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上单调递增,故 a2-a 3 a =2,得 a=2; a 当 0<a<1 时,y=a 在[1,2]上单调递减,故 a-a =2,
x 2

1 得 a=2.

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【跟踪训练 6】要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1] 上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围.

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解析:由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成 1 +2 x 立,即 a>- 4x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 1 +2 x 1 2x 1 x 1x 12 1 又因为- 4x =-(2) -(2) =-[(2) +2] +4, 3 当 x∈(-∞,1]时值域为(-∞,-4], 3 所以 a>-4.
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换元法解决指数函数的最值问题

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换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变 量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或 者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,把复杂的 计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化 无理式为有理式、 化超越式为代数式, 在研究方程、 不等式、 函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有: 局部换元、三角换元、均值换元等.

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换元法是一种常用的数学方法, 在涉及指数形式的换元 时,经常用到,二次函数在有界区间上求最值时,可以借助 于图形求解, 解指数方程通常是通过换元转化为二次方程求 解,要注意验根.

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【例题展示】已知函数 y=a2x+2ax-1(a>1)在区间 [-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

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【审题过程】由题意令 t=ax,则原函数变成关于 t 的二 次函数,求出 t 的范围,根据在区间上的单调性求出函数有 最大值时对应的 t 值,进而求出 a 的值.

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【解答过程】令 t=ax,则 y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 1 当 a>1 时,因为 x∈[-1,1],则 t∈[a,a], 1 所以函数在[a,a]上是增函数, 所以当 t=a 时,函数取到最大值 14=a2+2a-1, 解得 a=3 或-5,故 a=3.

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【题后总结】对于含 ax,a2x 的表达式,通常可以令 t= ax 进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后 转化为我们熟悉的一元二次关系.

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x x

1 x-1 【学以致用】已知 9 -10· 3 +9≤0,求函数 y=(4) - 1x 4(2) +2 的最大值和最小值.

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解析:由 9x - 10· 3x + 9≤0 得 (3x - 1)(3x - 9)≤0 ,解得 1≤3x≤9. 所以 0≤x≤2. 1x 1 12 2 令(2) =t,则4≤t≤1,y=4t -4t+2=4(t-2) +1. 1 当 t=2即 x=1 时,ymin=1; 当 t=1 即 x=0 时,ymax=2.
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