2013届高三数学寒假作业(教师版2)


2013 届高三数学寒假作业(7)
一、填空题:

2? 1 7 ? 2? ) 的值是 ,则 cos( .? 3 6 3 9 2、 已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和, S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项, 若 则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 . (?30, ?27)
1、已知 sin(

?

??) ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 3、设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y(a > 0, b > 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
.4 4 2 4、设 x ? 0 ,若 f ( x) ? x 2 ? 2 ? x(cos? ? 1) ? (sin? ? 1) ? M 恒成立,则实数 M 的取值范围是 x x

a + b 的最小值为

.

(??,2 ? 2 2 ]
5、设函数 f ( x) ? ( x2 ? 6x ? c1 )( x2 ? 6x ? c2 )( x2 ? 6x ? c3 ) ,集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 , x3 , x4 , x5}

? N* ,设 c1 ? c2 ? c3 ,则 c1 ? c3 ?
6、函数 y ? ? sin 3 x ? 2 sin x 的最小值是__

.4 ___. ?3

7、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 0 、 S10 ? 0 ,则
易知公差 d

2 a1



22 a2



23 a3

,…,

29 a9

中最大的为



? 0 ,所以 ?an ? 为递减数列,又显然 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 、 0 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ,所以

25 a5

最大.

2 8、若关于 x 的方程 x ? 4 x ? 3 ? k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是



1? k ? 3或k ? 0 D OB 上, OC ? BD , OA ? 1 , AOB ? 120? , ? 9、 如图所示, 扇形 AOB 的弧的中点为 M , 动点 C 、 分别在 OA 、 且 若 ???? ???? ? ? 3 1 则 MC ? MD 的取值范围是___ _ ____. [ , ] 8 2

10、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? (m ? 6) x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是
3 2



m ? 6 或 m ? ?3
1

11、设 S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ? b(3, n) ? ? ? b(m, n) ,则 S (5, 6) ?



1 b(1, n) ? (?3n 2 ? 5n) 、 S (5, 6) ? ?135 . 2
12、已知函数 y ? g ( x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右
平移 ? (0 ? ? 如图所示, ? 则

y

? ?) 个单位得到,这两个函数的部分图象
?

O π
8

17π 24

x

? . 3

13、设曲线 y ? e? x ( x ? 0) 在点 M (t , e?t ) 处的切线 l 与 x 轴, y 轴所围成的三角形面积为 S (t ) ,则 S (t ) 的最大值




2 e

14、左焦点为 F 的双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在点 A ,使得直线 a 2 b2
. ( 2, ??)

FA 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切,则双曲线 C 的离心率取值范围是
二、解答题:

15、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 ( 2a ? c) BA ? BC ? cCB ? CA .
(1)求角 B 的大小; (Ⅰ)条件可化为 ( ∴ (2)若 |

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BA ? BC |? 6 ,求 ?ABC 面积的最大值.

2a ? c)cos B ? b cos C ,根据正弦定理有 ( 2 sin A ? sin C)cos B ? sin B cos C ,
2 ? ,即 B ? . 2 4

2 sin Acos B ? sin(C ? B) ,即 2 sin A cos B ? sin A ,因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

(Ⅱ)因为

??? ??? ? ? ??? ? | BA ? BC |? 6 ,所以 | CA |? 6 ,即 b2 ? 6 ,根据余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
2

可得 6 ? a

? c2 ? 2ac ,由基本不等式可知 6 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 2ac ? 2ac ? (2 ? 2)ac ,即 ac ? 3(2 ? 2) ,
? 1 2 3( 2 ? 1) ac sin B ? ac ? 、即当 a ? c ? 6 ? 3 2 时, ?ABC 的面积的最大值为 2 4 2

故 ?ABC 的面积 S

3( 2 ? 1) . 2
16、某中学举行了一次“环保知识竞赛” 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的 ,
成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方 图(如图所示)解决下列问题:

2

频率分布表
0.040

频率 组距

频率分布直方图

组别 第1 组 第2 组 第3 组 第4 组 第5 组

分组

频数

频率
x

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
合计

8

0.16


a
20




0.40 0.08
b
▓ (Ⅰ)


0.008 y 50 60 70 80 90 100

2


成绩(分)

写出 a 、 b 、 x 、

y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活 动. (ⅰ)求抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

(Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有

? 0.004 .
、 Y .从竞赛成绩是 80 分

A 、 B 、 C 、 D ,第 5 组共有 2 人,记为 X

AB, AC, AD, BC, BD, CD, AX , AY ,

BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 15 种情况.设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E ,有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况.所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概
率是 P ( E )

?

9 3 3 ? .答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率 ; 15 5 5

(ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ,有 所以 P ( F )

AB, AC, AD, BC, BD, CD, XY 共 7 种情况.

7 7 ,答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 . 15 15 1 (m, n ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 . 17、已知函数 f ( x) ? mx ? x?n (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? a ln( x ? 1) ? x(a ? 0) ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 与 x 轴有两个交点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任意一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求出此定值. ?

9 ? 1 ? 2m ? ?3 ?m ? 4 ? f (2) ?3 ? ?m ? 1 ? 1 2?n (Ⅰ) f ?( x) ? m ? ,由 ? ' ,即 ? ,解得 ? 或? ,由于 m, n ? Z , 2 ? ( x ? n) 1 ? f (2) ?0 ?n ? ?1 ? n ? ? 8 ?m ? ?0 ? (2 ? n) 2 ? 3 ? ?
所以 ?

?m ? 1 1 ,则 f ( x ) ? x ? . x ?1 ?n ? ?1
3

1 a 1 ax ? a ? 1 ' ,知 F ( x ) 的定义域为 (1, ??) ,又 F ( x) ? , ? ? 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)2 1 1 1 ' ' 由于 a ? 0 ,令 F ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? ,当 x ? (1,1 ? ) 时, F ( x) ? 0 ,知 F ( x ) 在 x ? (1,1 ? ) 时单调递减, a a a 1 1 同理,知 F ( x ) 在 x ? (1 ? , ??) 时单调递增.所以 F ( x ) min ? F (1 ? ) ? a ? a ln a ,令 a ? a ln a ? 0 ,即 a ? e a a 时,函数 F ( x) ? 0 有两个实数根,所以 a 的取值范围是 (e, ??) . 1 1 (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ( x0 , x0 ? 知过此点的切线方程为 ) ,由 f ' ( x0 ) ? 1 ? x0 ? 1 ( x0 ? 1)2
(Ⅱ)由(1)得 F ( x)

? a ln( x ? 1) ?

2 x ?1 x0 ? 1 x0 ? x0 ? 1 1 , 即 切线与 直线 x ? 1 的 交点 为 (1, ) ,令 ? [1 ? ]( x ? x0 ) , 令 x ? 1 得 y ? 0 2 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 ( x0 ? 1) y ? x ,得 y ? 2 x0 ? 1 ,即切线与直线 y ? x 的交点为 (2 x0 ?1, 2 x0 ?1) ,又直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (1,1) , 1 x0 ? 1 1 2 从而所围成的三角形面积为: | ? 1| ? | 2 x0 ? 1 ? 1|? | | ? | 2 x0 ? 2 | ? 2 ,故所围成三角形面积为定值 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

y?

18、如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别为 AC , B1C1 的中点.
(Ⅰ )求线段 MN 的长; (Ⅱ )求证: MN // 平面

ABB A1 ; 1 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

(Ⅲ)线段 CC1 上是否存在点 Q ,使

(Ⅰ)连接 CN .因为 所以

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ? 平面 ABC



AC ? CC1 .因为 AC ? BC ,所以 AC ? 平面 BCC1B1 .
? 1 , CN ? CC12 ? C1 N 2 ? 5 ,所以 MN ? 6 .
中点 D ,连接 DM , DB .在 ?ABC 中,因为 M 为 AC 中点, 1

因为 MC (Ⅱ)取

AB

所以 DM 所以

// BC , DM ?

1 BC .在矩形 B1BCC1 中,因为 N 2

为 B1C1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N

?

1 BC . 2

DM // B1N ,DM ? B1N . 所以四边形 MDB N 为平行四边形, 所以 MN // DB . 1 1 因为 MN ? 平面 ABB A , 1 1
// 平面

DB1 ? 平面 ABB A1 ,所以 MN 1

ABB A1 . 1
4

(Ⅲ)线段 CC1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC1 中点时,有

A1B ? 平面 MNQ .证明如下:连接 BC1 ,在正方形
,所以

BB1C1C

中易证

QN ? BC1 . 又 A1C1 ? 平 面 BB1C1C

A1C1 ? QN

,从而

NQ ? 平 面 A1BC1 . 所 以

A1B ? QN .同理可得 A1B ? MQ ,所以 A1B ? 平面 MNQ .故线段 CC1 上存在点 Q ,使得 A1B ? 平面 MNQ .
19、 已知直线 l : x ? my ? 1 m ? R ) ( 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 相交于 E 、F 9 t

两点, x 轴相交于点 B , 与 且当 m ? 0

8 EF ? . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
时, (Ⅱ)设点

A 的坐标为 (?3, 0) ,直线 AE , AF

与直线 x

? 3 分别交于 M

, N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是

否经过点 B ?并请说明理由.

? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,由 ? 9 ,解得 t ? x ?1 ?
2 2t 2 2t 4 2t 8 E (1, ), F (1, ? ) .所以 EF ? ? ,解得 t ? 2 . 3 3 3 3
x2 y 2 ? ?1; 所以椭圆 C 的方程为 9 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R ,设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 2 ? x ? my ? 1 ?
y1 ? y2 ? ?4m ?16 y1 , y1 y2 ? , x1 ? my1 ? 1 、 x2 ? my2 ? 1 ,又直线 AE 的方程为 y ? ( x ? 3) , 2 2 2m ? 9 2m ? 9 x1 ? 3

y1 ? ???? ? ( x ? 3) 6 y1 ???? 6 y2 6 y1 6 y2 ?y ? x1 ? 3 ,解得 M (3, ) ,同理得 N (3, ) ,所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ), ? x1 ? 3 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 ? x?3 ?
又因为 BM

???? ??? ? ? 6 y1 6 y2 36 y1 y2 36 y1 y2 ? BN ? (2, ) ? (2, ) ? 4? ? 4? x1 ? 3 x2 ? 3 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 ?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ? ? m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)

???? ???? ? ?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 ,所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ? 9
2 20、设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ,点 ( a, b) 为函数 y ?

5 ? 2x 的对称中心,设数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 x?2
5

4an?1 ? f (an ) ? 2an ? 2(n ? N ? ) , a1 ? 6 且 bn ?
( 1 )求 a 、 b 的值; ( 2 )求证: S n

1 , ?bn ? 的前 n 项和为 Sn . an ? 4
(3) 求证: an ? 2 ? 2
2n?1 ? 2

?

1 ; 6



5 ? 2x 1 得 y?2? ,故其对称中心为 (2, ?2) ,所以 a ? 2 、 b ? ?2 . x?2 x?2 2 (2)由 4an?1 ? f (an ) ? 2an ? 2 =an ? 4an ? an (an ? 4) ,
(1)由

y?

2 a an 4a ? 4an 1 1 1 , ? n ? ? n?1 ? ? an ? 4 4an?1 4an?1an 4an?1an an an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )= ? a1 a2 a2 a3 an an?1 a1 an ?1

则 bn

?

2 2 ? an ? 4an ,则 an ? 4an?1 ? 4an ? 0 ,即 an?1 ? an (n ? N * ) ,所以数列 {an } 为递增数列, 1 1 故 an?1 ? a1 ,所以 Sn ? ? . a1 6

又 4an?1

(3)由 4an?1

2 ? an ? 4an ? (an ? 2)2 ? 4an?1 ? 4 ? 4(an?1 ? 2) ,两边取 2 为底的对数,得 2log2 (an ? 2) ? 2 ? log2 (an?1 ? 2) ,即 2[log2 (an ? 2) ? 2] ? log2 (an?1 ? 2) ? 2 ,

由此递推式得 log2 (an?1 ? 2) ? 2 ? 2[log2 (an

? 2) ? 2] ? 22[log 2 (an?1 ? 2) ? 2] ? ??? ? 2n [log2 (a1 ? 2) ? 2]
2n?1 ? 2

? 2n [log2 8 ? 2)] ? 2n ,

所以 log2 (an

? 2) ? 2 ? 2n?1 ,则 an ? 2 ? 2

( n? N * ) .

6

2013 届高三数学寒假作业(8)
一、填空题: 1、已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A ,集合 B ? {x | x ? a} ,若 P : x ? A ”是 Q :“ x ? B ”的充分不必要 “ .a ? 4 4 2 2、设 x ? 0 ,若 f ( x) ? x 2 ? 2 ? x(cos? ? 1) ? (sin? ? 1) ? M 恒成立,则实数 M 的取值范围是 x x
条件,则实数 a 的取值范围

.

(??,2 ? 2 2 ]
2 3、方程 x ? 2 x ? 3 ? 2 x ? k 有 3 个或者 3 个以上解,则常数 k 的取值范围是

. [2,3] .4

4、已知实数 a , b 满足 ab ? 2a ? b ? 4 ? 0, 且b ? 2 ,则 2a ? b 的最小值为
? 5、已知 n ? N ,则求和 (2 ? ) ? (4 ? ) ? ? ? (2n ?

1 1 2 )? . n ? n ?1? n n 2 2 ??? ? ? ??? ? ? ? ? 6、已知 ?ABC 为等腰直角三角形, ?A ? 90? ,且 AB ? a ? b , AC ? a ? b ,若 a ? (cos? , sin ? ) (? ?R) ,
则 ?ABC 的面积等于

1 2

1 4

.1
条件.

7、设命题 p : sin ? ? tan ? ? cos ? ,命题 q : sin ? ? cos ? ,则 p 是 q 成立的
若 sin ?

? tan ? ? cos ?

,则 tan ?

? ?1 ,若 sin ? ? cos ? ,则 tan ? ? 1 ,故为必要不充分条件.

8、 在等差数列 ?an ? 中, 若任意两个不等的正整数 k 、 p , 都有 ak ? 2 p 、a p ? 2k ? 1, 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
若k ?

p ? m ,则 Sm ?

(结果用含 m 的式子表示) m .

2

? 2m
/

/ 3 9、已知函数 f ( x) ? 3x ? cos 2 x ? sin 2 x , f ( x) 是 f ( x ) 的导函数,且 a ? f ( ) ,则过曲线 y ? x 上一点

?

4

P(a, b) 的切线方程为

. 3x ? y ? 2 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 1 ? 0
.6

??? ??? ??? ? ? ? ? ? 10、函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? 4 2

y

1
O

B A
x

11、对于实数 a 、 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? :

?a 2 ? ab, a ? b
2 ?b ? ab, a ? b

,设

f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程

f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 、 x2 、 x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是
7

.(

1? 3 , 0) 16

12、已知数列 ?an ? 满足

1 1 1 1 a1 ? 2 a2 ? 3 a3 ? ? ? n an ? 2n ? 1 2 2 2 2



?an ? 的通项公式



( ?6 n ? 1) an ? ? n?1 ?2 (n ? 2)
13、已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x. 若存在 a ? [?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个不相等的实数根,则
实数 t 的取值范围是

. (1, )

9 8

14、设函数 f ( x) ? x2 ? 6x ? 5 ,集合 A ? {(a, b) | f (a) ? f (b) ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ? 0} .在直角坐标系

aOb 中,集合 A 所表示的区域的面积为
二、解答题:

. 4?

15、已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x ? m (? ? 0) 的周期为 ? ,且对 ?x ? R ,都有

f ( x) ? f (
(1)求

?
12

) ? 4 ? m.

f (x) 的解析式; f (x) 在区间 [0, ? ] 存在两个不同的零点 x1 、 x2 ,求参数 m 的范围,并求这两个零点之和 x1 ? x2 .

(2)若函数 (Ⅰ)? T 可以 x

? ? ? ? ? 2 ,设函数为 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? m ,? f ( x)max ? 4 ? m ,? A ? 4 ,又? f ( x)

?

?
12

处取最大值, ? ?

? 2 k? ?

?

(Ⅱ)令 ?

? 7? m ? [ , ] ? ? ? sin ? ,? 有两解,?m ? (?4, ?2 3) ? (?2 3, 4) , 3 3 3 4 ? 7? 当 m? (?4, ?2 3) 时, ? x1 ? x2 ? ,当 m? (?2 3, 4) 时 ? x1 ? x2 ? . 6 6
? 2x ? 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点, | AB | ? 5 ,直线 AB 的斜率为 ? . 2 2 a b
、N , 与椭圆相交于 C 、D . 证明:?OCM 的面积等于 ?ODN

?

, k ? Z ? f ( x) ? 4sin(2 x ? ) ? m ; 3 3

?

16、如图, A 、 B 是椭圆
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设直线 l 平行于 的面积.

AB , x 、y 轴分别交于点 M 与

?b 1 ? ? 2, (Ⅰ)依题意得 ? a 解得 a ? 2 , b ? 1 .所以椭圆的方程 ? a 2 ? b 2 ? 5. ?


x2 ? y 2 ? 1. 4

8

(Ⅱ)由于 l //

AB ,设直线 l 的方程为 y ? ?

1 x2 x ? m ,将其代入 ? y 2 ? 1,消去 y ,整理得 2 4

2 x2 ? 4mx ? 4m2 ? 4 ? 0 .设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) .所以

?? ? 16m 2 ? 32(m 2 ? 1) ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2m ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2

证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 .由 M (2m,0) , N (0, m) ,则

1 1 ? | 2m | ? | y1 | ? ? | m | ? | x2 | ? | 2 y1 | ? | x2 | .因为 x1 ? x2 ? 2m ,所以 2 2 1 | 2 y1 | ? | 2 ? (? x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | ,从而 S1 ? S2 . 2

S1 ? S2 ?

证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 .则 S1 重合.因为

? S2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD 、 NM

的中点

x1 ? x2 y ? y2 1 x ?x 1 1 ?m, 1 ? ? ? 1 2 ? m ? m .故线段 CD 的中点为 ( m, m) . 2 2 2 2 2 2 1 因为 M (2m,0) , N (0, m) ,所以 线段 MN 的中点坐标亦为 ( m, m ) .从而 S1 ? S2 . 2

x1 ? x2 ? 2m ,所以

17、汽车租赁公司为了调查 A 、 B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆车某个星
期内的出租天数,统计数据如下表:

出租天数 车辆数

1 5

A 型车 2 3 4 5 10 30 35 15 B 型车 3 2 20 20

6 3

7 2

出租天数 车辆数

1 14

4 16

5 15

6 10

7 5

A 、 B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率; (Ⅲ) 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同, 该公司需要从 A 、 B 两种车型中购买一辆, 请你根据所学的统计知识,
(Ⅰ)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由. (I)设 n 为出租天数为 3 天的 为

A 型车辆数, m 为出租天数为 3 天的 A 、 B 型车辆数总和,则这辆汽车是 A 型车的概率约

n 30 ? ? 0.6 ; m 30 ? 20
A 型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆 B 型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,

(II) “事件 Ai 表示一辆 设 其中 i,

j ? 1,2,3,...,7 ,则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )

9

5 20 10 20 30 14 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 100 9 ? 125 ?
该公司一辆 (Ⅲ)设 X 为

A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 ; 125
7 0.02

A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 3 1 2 4 X 0.05 0.10 0.30 0.35 P 设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

5 0.15

6 0.03

Y P

1 0.14

2 0.20

3 0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7 0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05 ? 3.48 ,一辆 A 类型的出租车
一个星期出租天数的平均值为 3.62 天, B 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看, 出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,综合分析,选择

A 型车

A 类型的出租车更加合理.

18、四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC , E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ )求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ )求证:平面 PAD (Ⅲ)求二面角 E

? 平面 ABCD ;

? AC ? B 的余弦值.

z P E
(Ⅰ)证明:连接 BD 与

AC

相交于点 O ,连结 EO .因为四边形

D x A O B

y C

ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点.因为 E 为棱 PD 中点.
所以

PB // EO .因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC ,所以直线 PB //平面 EAC .
? 平面 PDC
,所以 PA

(Ⅱ)证明:因为 PA

? CD .因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD ,所以

CD ? 平面 PAD .所以平面 PAD ? 平面 ABCD .
(Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz

? AD .因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD .

由 Dz , DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ?

xyz .设 AB ? 4 ,则

D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) .所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .
10

??? ? ?n ? EA ? 0, ? ? 3x ? z ? 0, 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. ?n ? AC ? 0. ?
易知平面

ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .所以 | cos n, v | ? 〈 〉

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

由图可知二面角 E

? AC ? B

的平面角是钝角,所以二面角 E

? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11
z


解法二:取 因为

AD 中点 M

, BC 中点 N ,连结 PM , MN .

ABCD 为正方形,所以 MN // CD .由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD
? PD ,所以 PM ? AD .由 MP, MA, MN 两两垂直,

P E D
M

因为 PA

C O
N

y

建立如图所示的空间直角坐标系 M 设

? xyz .

x

A

B ??????9 分

AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) .

所以

??? ? ?n ? EA ? 0, ? EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
? 3x ? z ? 0, 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) .易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .所以 ?? 4 x ? 4 y ? 0.

所以 ?

| cos n, v〉 ? 〈 |
3 11 . 11

| n ? v | 3 11 . 由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ? | n || v | 11

?

* 19、 已知等差数列 ?a n ?满足: an?1 ? an (n ? N ) ,a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1 ,1 ,3 后顺次成为等比数列 ?bn ?

的前三项. (Ⅰ )分别求数列

?a n ?、 ?bn ?的通项公式;

(Ⅱ )设 Tn

?

2n ? 3 1 a a1 a2 ? ? c(c ? Z ) 恒成立,求 c 的最小值. ? ? ? ? n (n ? N* ), 若 Tn ? n 2n b1 b2 bn

(Ⅰ)设 d 、 q 分别为等差数列 分别加上 1 、 1 、 3 有 b1

?an ? 、等比数列 ?bn ?的公差与公比,且 d ? 0 ,由 a1 ? 1 、 a2 ? 1 ? d 、 a3 ? 1 ? 2d ,

? 2, b2 ? 2 ? d , b3 ? 4 ? 2d 、 (2 ? d )2 ? 2(4 ? 2d ) ,又 d ? 0 ,所以 d ? 2 、 q ? 2 , ?an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ; a a1 a2 1 3 5 2n ? 1 (II) Tn ? ? ? ? ? n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ……① b1 b2 bn 2 2 2 2
11

1 1 3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ……②,①—②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 ?T ? 2n ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,? (3 ? 1 ) ?Tn ? 1 ? n 1 n 2n n n 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2 1 2n ? 3 1 ? ? ? c(c ? Z ) 恒成立的最小整数值为 c ? 3 . 在 N 是单调递增的,? (3 ? ) ? [2,3) ,∴满足条件 Tn ? n n 2n 1 2 20、已知函数 f ( x) ? (a ? 3b ? 9)ln( x ? 3) ? x ? (b ? 3) x . 2 (1)当 a ? 0 且 a ? 1 , f ?(1) ? 0 时,试用含 a 的式子表示 b ,并讨论 f ( x ) 的单调区间; 1 (2)若 f ?( x ) 有零点, f ?(3) ? ,且对函数定义域内一切满足 | x |? 2 的实数 x 有 f ?( x) ? 0 . 6 ①求 f ( x ) 的表达式; ②当 x ? (?3, 2) 时,求函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ?( x) 的图像的交点坐标.

x 2 ? bx ? a ( x ?1)( x ? a ) ( x ? ?3) ,由 f ?(1) ?0 ? b ? ? a?1 ,故 f ?( x) ? 、 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得 x?3 x?3 f ( x) 的单调增区间是 (?3, a) , (1, ??) ,由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 单调减区间是 (a,1) ,同理 a ? 1 时, f ( x) 的单调增 区间 (?3,1) , (a, ??) ,单调减区间为 (1, a ) ; 1 (2)①由(1)及 f ?(3) ? ? a ? ?3 b? 8 ……(i) ,又由 | x |? 2 ( x ? ?3) 有 f ?( x) ? 0 知 f ?( x ) 的零点在 [?2, 2] 6
(1) f ?( x) ? 内,设 g ( x) ?

x2 ? bx ? a ,则 ? g (2) ? 0 ?

?

? a ? ?4 ? 2b ,结合(i)解得 b ? g ( ?2) ? 0 ? ? a ? 2b ? 4 ? ? ? ?4 ? b ? 4 b ? ??2 ? ? ? 2 ? 2

? ?4 , a ? 4 ,



1 f ( x) ? 25ln( x ? 3) ? x 2 ? 7 x ; 2
②又设 ? ( x) ?

f ( x) ? f ?( x) ,先求 ? ( x) 与 x 轴在 (?3, 2) 的交点,∵ ? ?( x) ?

( x ? 2)2 25 ? ? 1 ,由 x ? 3 ( x ? 3)2

?3 ? x ? 2 得 0 ? ( x ? 3)2 ? 25 ;故 ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (?3, 2) 单调递增,又 ? (?2) ? 16 ? 16 ? 0 ,故 ? ( x) 与 x 轴
有唯一交点 (?2, 0) 即

f ( x) 与 f ?( x ) 的图像在区间 (?3, 2) 上的唯一交点坐标为 (?2,16) 为所求.

12

2013 届高三数学寒假作业(9)
一、填空题: 1、已知 ?ABC 三条边分别为 a 、 b 、 c , A 、 B 、 C 成等差数列,若 b ? 2 ,则 a ? c 的最大值为 2、若 a ? 1 、 b ? 1 ,且 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ,则 lg(a ? 1) ? lg(b ? 1) ? 3、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值是 4、在等差数列 {an } 中,有 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 ,则此数列的前 13 项和为 5、已知 x ? 0 、 y ? 0 , lg 2x ? lg8 y ? lg 2 ,则 .0 .3 . 52 .4

1 1 的最小值是 ? x 3y

.4

6、 ?ABC 三条边分别 a 、 b 、 c 满足 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 、 a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,则该三角形最大角为
2



120?
7、我们把满足 an ? an?1 ? k ( n ? 2, k 是常数)的数列叫做等和数列,常数 k 叫做数列的公和.若等和数列 ?an ? 的首
项为 1 ,公和为 3 ,则该数列前 2010 项的和为 S2010

?



a2 ? a1 ? 3 、 a4 ? a3 ? 3 、 a2010 ? a2009 ? 3 ,所以 S 2010 ?

2010 ? 3 ? 3015 2

8、定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 ( 2,0) 成中心对称,设 s , t 满足不等式

f (s 2 ? 4s) ? ? f (4t ? t 2 ) ,若 ? 2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 的范围是
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

. [?8,16]

9、有下列数组排成一排: ( ),( , ),( , , ),( , , , ),( , , , , ),?? ,如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个
数列: , , , , , , , , , , , , , , ,?? ,则此数列中的第 2011 项是

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5



6 58

2 10、已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ? 4 ? 3cos x, x ? (?1,1) ,且 f (0) ? 0 ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,

则实数 a 的取值范围是

. (1, 2)

sin 2 35? ?
11、化简

12、设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2, 0] 时,

sin 20

?

1 2?

.?

1 2

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 (a ? 1) 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 2
的取值范围是

. ( 3 4, 2)

13

13、设不等的两个正数 a 、 b 满足 a3 ? b3 ? a 2 ? b2 ,则 a ? b 的取值范围是 14、数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,函数 f ( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )( x ? a3 )( x ? a4 ) ,则

. (1, )

4 3

f ?(a1 ) ? f ?(a2 ) ? f ?(a3 ) ? f ?(a4 ) ?
二、解答题:

.0

??? ? ??? ? 15、已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 内一点 P(0,1) ,过点 P 的直线 l 交圆 O 于 A 、 B 两点,且满足 AP ? ? PB ( ? 为参数) .
(1)若

AB ? 14 ,求直线 l 的方程;

(2)若 ? ? 2 ,求直线 l 的方程;(3)求实数 ? 的取值范围.

(I)当直线 l 的斜率不存在时, 得 (1 ? k
2

AB ? 4 ,不满足,故可设所求直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入圆的方程整理

) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,利用弦长公式可求得直线方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ;
1 AP ? 3PB 或 AP ? PB ,不满足,故可设所求直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入圆 3
,则 x1 , x2 为方程(*)的两根,由

(II)当直线 l 的斜率不存在时, 的方程整理得 (1 ? k
2

(*)设 A(x1, y 1), B( x 2 y 2 , ) ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,

AP ? 2 PB

? 2k ? ? x1 ? x2 ? ? x2 ? 1 ? k 2 , (1) 15 1 4k 2 ? 2 可得 x1 ? ?2 x2 ,则有 ? , (1) ? (2) 得 ? ,解得 k ? ? ,所以直线 l 2 5 2 3(1 ? k ) ? x x ? ?2 x 2 ? ? 3 , (2) 2 ? 1 2 1? k2 ?
的方程为

y??

15 x ? 1; 5
1 1 AP ? PB ,? ? 3 或 ? ? ,当直线 l 的斜率存在时可设所求直线 l 的 3 3

(III) 当直线 l 的斜率不存在时, AP ? 3PB 或 方程为

y ? kx ? 1 ,代入圆的方程,整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 为 (*)

?2k ? ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 ? 1 ? k 2 ? (3) ? 2 方程(*)的两根,由 AP ? ? PB 可得 x1 ? ?? x2 ,则有 ? , (3) ? (4) 3 ? x x ? ?? x 2 ? ? ? (4) 2 ? 1 2 1? k 2 ?


(1 ? ? ) 2

?

1 (1 ? ? ) 2 4 4k 2 4k 2 4 4 4 ? ,可解得 ? ? ? 3 ,所以 ,而 ? ? ? ? [0, ) ,由 0 ? 2 2 2 3 ? 3 3(1 ? k ) 3(1 ? k ) 3 3(1 ? k ) 3

1 ?? ?3. 3 16、如图,两座建筑物 AB 、 CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9cm ? 从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45 . ⑴求 BC 的长度;
实数 ? 的取值范围为 14

和 15cm ,

⑵在线段 BC 上取一点 P ( P 与 B 、 C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB 问点 P 在何处时, ?

??

、 ?DPC

??



??

最小?

D A

?
B P

?
C

⑴作

AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x ,则

9 6 + tan ?CAE + tan ?DAE ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ? 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE 1 ? 9 ? 6 x x
得 x ? 18 或 x ? ?3 (舍) .答: BC 的长度为 18m .

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) t 18 ? t ? ? 2 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) , tan(? + ? ) ? . 2 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t


f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 ,令 f ?(t ) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 , (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

当 t ? (0,15 所以, t 当

6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数,

? 15 6 ? 27 时,f (t ) 取得最小值, tan(? + ? ) 取得最小值, ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立, 即 因为 所以 f (t ) ? 0 ,

所以 tan(?

? ? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) ,因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最 2 2
6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值.

小值.答:当 BP 为 (15

17、某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时,

C ( x) ?

1 2 10000 x ? 10 x (万元) ? 1450 (万元) ;当年产量不小于 80 千件时 C ( x ) ? 51x ? ,每件商品售价 3 x

为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

15

? 1 2 ?? 3 x ? 40 x ? 250(0 ? x ? 80) ? L( x) ? ? (1) ?1200 ? ( x ? 10000 )( x ? 80) ? x ?

1 ? 1 2 2 ?? 3 x ? 40 x ? 250 ? ? 3 ( x ? 60) ? 900 ? 950 ? (2)因为 L( x) ? ? ,所以年产量为 100 千件时,该厂在这一商品 10000 10000 ?1200 ? ( x ? ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1000 ? x x ?
的生产中所获利润最大.

答: (省)
? 18、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 ,平面 PAB ? 平面 ABC , D 、

E 分别为 AB 、 AC 中点.
P
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:

AB ? PE ;
A ? PB ? E 的大小.
A D B E C

(Ⅲ)求二面角

(Ⅰ)?

D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点,? DE ∥ BC .? DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ,

? DE ∥平面 PBC .
(Ⅱ)连结 PD ,? PA

? PB ,? PD ? AB .? DE / / BC 、 BC ? AB 、 ED ? AB .又? PD ? DE ? D ,

? AB ? 平面 PDE .? PE ? 平面 PDE ,? AB ? PE .
? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB , PD ? AB 、 PD ? 平面 ABC .如图,以 D 为 ??? ? ??? ? 3 3 原点建立空间直角坐标系, B(1, 0, 0) 、 P(0,0, 3) , E (0, , 0) ,? PB ? (1,0, ? 3) , PE ? (0, , ? 3) . 设 2 2
(Ⅲ)? 平面 PAB

? x ? 3z ? 0, ?? ?? ? 平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,? ? 3 令 z ? 3 ,得 n1 ? (3,2, 3) .? DE ? 平面 PAB , ? y ? 3z ? 0, ?2

16

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1,0) .设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 ? ,由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ,所以 ? ? 60? 即二 ? n1 ? n2 2
面角的

z P _

A ? PB ? E 大小为 60? .
A _ D _ B _ _ E y C _

19、设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln( x ? 1) ( a , b ? R 且 a ? 2 ) .
2

⑴当 b

? 1 且函数 f ( x) 在其定义域上为增函数时,求 a 的取值范围;

x

⑵若函数

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,试用 a 表示 b ; f ( x) 的单调性.
1 . x ?1

⑶在⑵的条件下,讨论函数 (1)当 b

? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln( x ? 1) ,其定义域为 (?1, ??) 、? f ?( x) ? 2 x ? a ?

? 函数 f ( x) 是增函数,? 当 x ? ?1 时,? f ?( x) ? 2 x ? a ?
立.? 当 x

1 1 ? 0 恒成立即当 x ? ?1 时, a ? 2 x ? 恒成 x ?1 x ?1

? ?1 时, 2 x ?

1 1 2 ? 2( x ? 1) ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ,且当 x ? ? 1 时取等号, x ?1 x ?1 2

? a 的取值范围为 (??, 2 2 ? 2] ; b (2)? f ?( x ) ? 2 x ? a ? ,且函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,? f ?(1) ? 0,?b ? 2a ? 4 x ?1 a?4 2( x ? 1)( x ? ) 2a ? 4 2 ,当 a ? 4 ? 1 ,即 a ? 6 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 x ? 1 不 此时 f ?( x) ? 2 x ? a ? ? 2 x ?1 x ?1 是极值点,?b ? 2a ? 4 (a ? 6, 且a ? 2) ; a?4 2( x ? 1)( x ? ) 2 得 ?( x) ? (3)由 f x ?1 a?4 ? ?1. ? 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0. ①当 a ? 2 时, 2 ? 当 a ? 2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1,1) ,单调递增区间为 (1, ??) ; a?4 a?4 / ? 1 ,? 当 ?1 ? x ? ②当 2 ? a ? 6 时, ?1 ? 或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 2 2 a?4 a?4 a?4 ? x ? 1 时,f / ( x) ? 0 , 当 2 ? a ? 6 时,f ( x) 的单调递减区间为 ( ,1) , )、 ? 当 单调递增区间为 ( ?1, 2 2 2 (1, ??) ; a?4 a?4 a?4 / / ? 1 ,? 当 ?1 ? x ? 1 或 x ? ③当 a ? 6 时, 时, f ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 时, f ( x) ? 0 2 2 2 a?4 a?4 ) ,单调递增区间为 (?1,1) 、 ( , ??) . ? 当 a ? 6 时, f ( x) 的单调递减区间为 (1, 2 2
17

? 2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1,1) ,单调递增区间为 (1, ??) ; a?4 a?4 ,1) ,单调递增区间为 ( ?1, ) 、 (1, ??) ; 当 2 ? a ? 6 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( 2 2 a?4 a?4 ) ,单调递增区间为 (?1,1) 、 ( , ??) . 当 a ? 6 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (1, 2 2
综上所述:当 a

20、将正整数 1 、 2 、 3 、 4 、……、 n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表,对于某一个数表,计算各行和各列中的任
2

意两个数 a 、 b ( a (Ⅰ)当 n

? b )的比值

a b

,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值” .

? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ;

(Ⅱ) aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 若 请分别写出 n

? 3 、 4 、 5 时数表的“特征值” ,并由此归纳此类数表的“特征值” (不必证明) ; 2 (Ⅲ)对于由正整数 1 、 2 、 3 、 4 、……、 n 排成的 n 行 n 列的任意数表,若某行(或列)中,存在两个 n ?1 2 2 2 数属于集合 {n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n } ,记其“特征值”为 ? ,求证: ? ? . n
(Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变,

?i ? ( j ? i ? 1)n(i ? j ) j 列的数 1 ? i ? n , ? j ? n )且满足 aij ? ? ( , 1 ?i ? (n ? i ? j ? 1)n(i ? j )

可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能, 2 、 3 或 2 、 4 或 3 、 4 ,得到数 表的不同特征值是 (Ⅱ)当 n

3 2



4 3
1 4
2

? 3 时,数表为
7
5 3 8

6

9

此时,数表的“特征值”为 当n

? 4 时,数表为

4 3
11 14 11 8

13 10 7 4
此时,数表的“特征值”为 当n

5 2 15 12

9 6 3 16

? 5 时,数表为 21 1 6 22 2 17 13 18 23 14 9 19 5 10 15 6 n ?1 此时,数表的“特征值”为 ,猜想“特征值”为 ; 5 n
(Ⅲ)设 a , b ( a

5 4



11 7 3 24 20

16 12 8 4 25

? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 ,因为 b n ? n ?1

18

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ?0 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)

所以

n2 n ?1 n ?1 ? ,从而 ? ? . 2 n n ? n ?1 n

19

2013 届高三数学寒假作业(10)
一、填空题:
2 2 2 1、 ?ABC 三条边 a 、 b 、 c 满足 3a ? 3b ? 3c ? 2ab ? 0 ,则 tan C ?



2 ? ab sin C 2 2 a ?b ?c 1 ? ?2 2 . ,故 tan C ? cos C ? ? 3 ? ? , sin C ? 1 ? cos 2 C ? cos C 3 2ab 2ab 3 ax ? 1 ? 0 的解集为 s ,且 3 ? S , 4 ? S ,则实数 a 的取值范围为 2、设关于 x 的不等式 2 . x ?a 1 1 [ , ) ? (9,16] . 4 3
2 2 2

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ?



105
4、已知 f ( x) ?| x | + | x ? 1 | ,若 g ( x) ? f ( x) ? a 的零点个数不为 0 ,则 a 的最小值为 5、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像如图所示,设 -1 .1 y 1 x

M ?| a ? b ? c | ? | a ? b ? c | ? | 2a ? b | ? | 2a ? b | ,则 M
M ?0.
6、 把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

与 0 的大小关系是 M

0.

? 个单位, 纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y ? f (x) 图象, 6 ? ? 对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断:①该函数的解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) ;②该函数图象关于点 ( ,0) 对称; 3 6 ? ? ③该函数在 [0, ] 上是增函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, ] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 .其中,正确判断的 2 6
序号是

.②④

7、已知 a 、 b 不是共线的向量, AB ? ? a ? b, AC ? a ? ?b (? , ? ? R) ,那么 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件为

?

?

??? ?

? ? ? ???

?

?

?? ?

.1

8、 已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且


An 7n ? 45 an ,则使得 ? Bn n?3 bn

为正偶数时, n 的值

9、已知函数 f (x) 的导数 f ?( x) ? a( x ? 1)(x ? a) ,若 f (x) 在 x ? a 处取到极大值,则 a 的取值范围是

. 3 或 11



(?1, 0)
10、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? (3x ? 1)(3x ? 9) .若 f ( x) 在区间

[?2n, ?2n ? 2] (n ? N ? ) 上的最小值为 ?1 ,则 n ?

.4

20

11、设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,若 | a |? 2 , | b |? 3 , a ? b ? ?6 ,则

?

?

?

?

? ?

x1 ? y1 ? x2 ? y2

.?

2 3

* 12、定义:在数列 ?an ? 中,若 an 2 ? an?12 ? p , n ? 2 , n ? N , p 为常数) ( ,则称 ?an ? 为“等方差数列” .

下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若 ,则数列 ? ?an ? 是“等方差数列” a

?1? n ; ? 是等差数列;② ?(?2) ? 是“等方差数列” ? n?

③若 ④若

* ,则数列 ?akn ? ( k ? N , k 为常数)也是“等方差数列” ; ?an ? 是“等方差数列”

,又是等差数列,则该数列是常数数列.其中正确的命题为 ?an ? 既是“等方差数列”



①反例 an

?1? ? 0 时, ? ? 不存在,故①错误; ? an ?
n

②对数列 ③对数列 ④设

?(?2) ? 有 a

2

n

? an?12 ? 4n ? 4n?1 不是常数,故②错误;

?akn ? 有 (akn )2 ? (akn?1)2 ? (akn?1)2 ? (akn?2 )2 ??? (akn?k ?1)2 ? (akn?k )2 ? kp 为常数,故③正确;

?an ? 的首项为 a1 、公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d 、 a3 ? a1 ? 2d , (a1 ? d )2 ? a12 ? p 且

(a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )2 ? p ,所以 d 2 ? 2a1d ? p 且 3d 2 ? 2a1d ? p ,相减得 d ? 0 ,此数列为常数列,故④正确.
13、关于以下命题:⑴函数 y ? log2 x ? 1 值域是 R ;⑵等比数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ( n ? N ) ,则
?

?

?

S k , S 2k ? S K , S3k ? S 2 K ( k ? N ? )是等比数列;⑶在平面内,到两个定点的距离之比为定值 a(a ? 0) 的
点的轨迹是圆;⑷函数 解集是

y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? a) 图像关于直线 x ? a 对称;⑸命题“ f ( x) ? g ( x) ? 0 的
.①③⑤

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 解集的并集”逆命题是假命题.其中真命题的序号是

14、已知函数 f ( x) ?

3x 1 ? 3x

( x? R) ,正项等比数列 {an } 满足 a50

? 1 ,则

f (ln a1 ) ? f (ln a2 ) ? ? ? f (ln a99 ) ?



99 2
M

N

二、解答题: 15、如图,在菱形 ABCD 中, MA ⊥平面 ABCD ,且四边形 ADNM 是平行
四边形.

AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位臵时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明.
(Ⅰ)求证:

D A B

C

E

21

(Ⅰ)连结 BD ,则

AC ? BD ,由已知 DN ? 平面 ABCD ,因为

N M F D A B C

DN ? DB ? D ,所以 AC ? 平面 NDB .又因为
BN ? 平面 NDB ,所以 AC ? BN ;
(Ⅱ)当 E 为

AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC . CM 与 BN 交于 F ,连结 EF ,由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, F 是 BN 的中点,因为 E 是 AB 的中点,所以 AN // EF . 又 EF ? 平面 MEC , AN ? 平面 MEC ,所以 AN // 平面 MEC .

E

16、在 ?ABC 中,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin C ? sin B ? sin A) ? 3sin B sin C .
⑴求角

A 值;

⑵求

3 cos B ? cos C 的最大值.
b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,因为 A? (0, ?) ,所以 2bc 2

⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C ,由正弦定理,得

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ?

? . 3 1 3 ? 2? 2? sin B) ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) ? 3 sin B ? (? cos B ? 2 2 3 3 3 ? 2? ? ? ? ? ? ?? ,所以 ? B + ? ,当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . ? sin( B + ) ,因为 0 ? B ? 6 3 6 2 3 6 6 6 A?
17、已知 i , j 是 x , y 轴正方向的单位向量,设 a ? xi ? ? y ? 1? j , b ? xi ? ? y ? 1? j ,且满足 a ? b ? 2 2 .
(1)求点 P( x, y) 的轨迹 C 的方程; (2)设点 F (0,1) ,点 边形 (1)?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? A 、 B 、 C 、 D 在曲线 C 上,若 AF 与 FB 共线, CF 与 FD 共线,且 AF ? CF ? 0 ,求四

ACBD 的面积的最小值和最大值.

a ? b ? 2 2 ,? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 2 ,由椭圆的定义可知,动点 P( x, y) 的轨迹方程

x2 ?

y2 ?1; 2

22

⑵直线

AB 、 CD 中至少有一条存在斜率,不妨设 AB 的斜率为 k ,故 AB 的方程为 y ? 1 ? kx ,将此式子带入椭圆方程
2
2 2 ) x 2 ? 2kx ?1 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? ? k ? 2k ? 2 , x2 ? ? k ? 2k ? 2 , 2? k2 2? k2

得 (2 ? k

从而

AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?
2

8(1 ? k 2 )2 (2 ? k 2 )2

,即

AB ?

2 2(1 ? k 2 ) 2 ? k2

1 2 2 (1 ? (? ) 2 ) k CD ? , 1 1 2 ?当 k ? 0 时, CD 的斜率为 ? ,同上可得 故四边形 ABCD 面积 2 ? (? ) k k 1 4(2 ? k 2 ? 2 ) k ,令 u ? k 2 ? 1 ? 2 ,得 S ? 4(2 ? u ) ? 2(1 ? 1 ) ,? 16 ? S ? 2 S? 2 k2 5 ? 2u 5 ? 2u 9 5 ? 2k 2 ? 2 k 16 ?当 k ? 0 时 S ? 2 ,故四边形 ABCD 面积的最小值和最大值分别为 和2 . 9
18、命题 P : (t ?1)2 ? a ? b ,其中 a 、 b 满足条件:五个数 18 、 20 、 22 、 a 、 b 的平均数是 20 ,标准差是 2 ;
命题 q : m ? t

? n ,其中 m 、 n 满足条件:点 M

在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,定点 A(1, 0) , m 、 n 分别为线段 AM 4

长的

最小值和最大值.若命题“ 根据题设可求得

p 或 q ”为真且命题“ p 且 q ”为假,求实数 t 的取值范围.

a ? b ? 2 ,命题 p 等价于: (t ? 1) 2 ? 2 ?t ? 2 ? 1或 t ? 1? 2 ;命题 q 等价于:
x2 3 2 ? x ? 2 x ? 2 (?2 ? x ? 2) 4 4

AM 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 1 ?

?

2 6 ? AM 2 ? 9 ? ? t ? 3 ,① p 真 q 假 3 3
?1 ? 2 ? t ? 1 ? ? p假q真 ? 6 ?t ?3 ? ? 3 2 ? 6 ? t ? 1? 3 2 ,综上所述满足条件

?t ? 2 ? 1或t ? 1 ? 2 ? ? t ? 3或t ? 1 ? 2 ? 6 ?t ? 3或t ? 3 ?
的 m 范围为 t> 3 或

6 ? t ? 1 ? 2 或 t ? 1? 2 . 3

2 19、已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1)

与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 ,并且 l1 与 l2 平行. 23

(1)求

f (2) 的值;

(2)已知实数 t ? R ,求函数

y ? f [ xg ( x) ? t ] ( x ? [1, e] )的最小值;

(3)令 F (x)

? g (x) ?g '( x)

,给定 x1 、 x2 ? (1, ??) , x1

? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? 、 ?

,存在实数 m 满足:

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实
数 m 的取值范围.

y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a,0) , f '( x) ? 2 x ? a 、 y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交 1 2 2 点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ? 由题意可得 kl ? kl ,即 a ? 1 ,∴ f ( x) ? x ? x , f (2) ? 2 ? 2 ? 2 ; 1 2 x ?1 2 2 2 (2) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ] ? ( x ln x+t ) = ( x ln x) ? (2t ?1)( x ln x) ? t ? t 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 ,∴u ? x ln x 在 ?1,e? 单调递增, 0 ? u ? e ,
(1)

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
① u 当

1 1 ? 2t ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u?0 ? t 2 ? t ; 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 2 2 ? e 即t ? ② u? 当 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ?1)e ? t ? t ; 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ? e即 ? t ? 时, ymin ? y | 1?2t ? ( ③ 0? 当 ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? u? 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 x ?1 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ? F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 , x x x x x ? 1 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增,∴ x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 当 得

1 ? 2t 2

,抛物线开口向上

?

① m ? (0,1) 时,有 ? 当

? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 , ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理 ? ? ( x1, x2 ) ,∴由 f (x) 的单调性知 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 ) ,从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设; ② m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 当 由 f (x ) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) ,∴| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符; ③ m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ∴ 当 综合① 、② 、
③ m ? (0,1) . 得

20、已知数列 ?an ? ,如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 、 bn ? an ? an?1 ( n ? N 且) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“生成
?

数列” . (1)若数列 {an } 的通项为 an (2)若数列 {cn } 的通项为 cn 由; (3)已知数列 {dn } 的通项为 dn

? n ,写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式; ? 2n ? b
(其中 b 是常数),试问数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 是否是等差数列,请说明理

? 2n ? n ,设数列 {dn } 的“生成数列”{ pn } 的前 n 项和为 Tn .问:是否存在自然数 m

24

满足 (Tm

? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 ,若存在请求出 m 的值,否则请说明理由.

(1) bn

?1 (n ? 1) ?? * ?2n ? 1(n ? 2 ,? N )

综合得 bn

? 2n ? 1

(2) ln

?2 ? B(n ? 1) ?? * ?4n ? 2 B ? 2(n ? 2 ,? N )
,由于 ln?1 ? ln

当b 当b

? 0 时, ln = 4n ? 2

? 4 (常数)所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 是等差数列,

? 0 时,由于 c1 ? 2 ? b 、c2 ? 6 ? 2b 、 c3 ? 10 ? 2b ,此时 c1 ? c3 ? 2c2 所以此时数列 {cn } 的“生成数列”{ln }

不是等差数列; (3)

?3(n ? 1) pn ? ? n ?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1(n ? 1)

,当 n

? 1 时 Tn ? p1 ? 3 ,当 n ? 2 时

Tn ? p1 ? p2 ? p3 ? ?? pn ? 3 ? (3? 2 ? 3) ? (3 ? 22 ? 5) ? ?? (3 ? 2n?1 ? 2n ?1)
= 3 ? (3 ? 2 ? 3 ? 2
2

?3( n ? 1) ? ?? 3 ? 2n?1 ) ? (3 ? 5 ? ?? 2n ?1) = 3 ? 2n ? n2 ? 4 ,所以 Tn ? ? n 2 ?3 ? 2 ? n ? 4( n ? 2)


若 (Tm

? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 则 2012 ? Tn ? 6260 ,由于 {Tn } 对于一切自然数是增函数, T9 ? 1613 ? 2012 T6)? 0 6m 20 ?

所以存在唯一自然数 m ? 10 满足, (Tm ?21) 若 T10 ? 3168 ? 2013 、T11 ? 6261 ? 6260 , 02 (

成立.

25

2013 届高三数学寒假作业(11)
一、填空题: 1、若 2? ? ? ? ? ,则函数 y ? cos ? ? 6sin ? 的最小值为 .0

2、已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,

3 2

且 Sn

(其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) ,则 f ( a5 ) ? f ( a 6 ) ? ? 2a n ? n ,

.3

? y?x ? 3、已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y ? x?a ?
4、已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别是 A(3, 0) , B(0,3) , C (cos ? ,sin ? ) , ? ? (


的最大值为

.6

? 3?
2 , 2

??? ??? ? ? ) ,若 AC ? BC ? ?1 ,

1 ? tan ? 9 的值为 .? 2 2sin ? ? sin 2? 5 5、在 ?ABP 中, PB ? 2 PA , AB ? 3 ,则 ?ABP 面积的最大值为 . 3 3 以线段 AB 的中点为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,则 A( ? , 0) , B ( , 0) ,设 P( x, y) ,由 PB ? 2 PA , 2 2 5 2 2 得 ( x ? ) ? y ? 4 ,所以 ymax ? 2 ,于是 ?ABP 面积的最大值为 3 . 2
6、如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,以 A 为圆心, AD 长为半径画弧,交 BA 的延长线于 P ,然后以 B 为圆 1
心, BP 长为半径画弧,交 CB 的延长线于 P ,再以 C 为圆心, CP 长为半径画弧,交 DC 的延长线于 P ,再以 D 为圆 1 2 2 3 心, DP 长为半径画弧,交 3 的半径是

AD 的延长线于 P ,再以 A 为圆心, AP4 长为半径画弧,…,如此继续下去,画出的第 8 道弧 4
.8 与

,画出第 n 道弧时,这 n 道弧的弧长之和为 P4

n(n ? 1)? . 4

D P5 P1 A

C AB P2

P3

7、函数 f ( x) ? ( )

1 2

x ?1

? 2 cos ?x(?2 ? x ? 4) 的所有零点之和等于

.6

26

8、已知方程 | 2x ?1| ? | 2x ? 1|? a ? 1 有实数解,则 a 的取值范围为 9、若奇函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?4, 4] ,其部分图像如图所示,
则不等式

. [?3, ?1)

f ( x)ln(2x ?1) ? 0 的解集是

. (1, 2)

10、已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 在 x ? 2 处取得极小值,则实数 a 的
值为

.2

11、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?(x) .


2 f (x) 的单调减区间是 ( , 2) ; 3



f (x) 的极小值是 ? 15 ;

③当 a ④函数

? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)(x ? a) ;

2 2 f (x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 0 .其中假命题的个数为 3 3

.2 个

12、 n2 (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列的数表:

a11 a21

a12 a22

a13 a23

? ?

a1n a2n

??????

an1

an 2

an 3

?

ann
? 1 、 a14 ? 2 、

其中,每一行数成等差数列,每一列数成等比数列,并且各列的公比都相等.已知 a12

3 1 n ,则 a21 ? ; ann ? . a21 ? 、 ann ? n 4 4 2 R 上的不间断函数 g (x) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) . 13、已知 a23 ?
又函数

f (x)

满足:对任意的 x ? R ,都有

f ( 3 ? x) ? ? f ( x) 成立,当 x ?[0, 3] 时, f ( x) ? x 3 ? 3x .


若关于 x 的不等式 g[ f

( x)] ? g (a2 ? a ? 2) 对 x ?[?3,3] 恒成立,则 a 的取值范围为

a ? 0 或 a ?1.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14、设实数 x 、 y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y(a > 0, b > 0) 的最大值为 8 ,则 a + b 的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
小值为

.4

二、解答题:
2 15、已知 a ? 0 , a ? 1 . 命题 p :函数 y ? x ? (3a ? 4) x ? 1 的图象与 x 轴有两个不同的交点;命题 q :函数

27

y ? a x 在 (0, ??) 内单调递减.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
因为 a

? 0 , a ? 1 ,命题 p 为真命题,则 (3a ? 4)2 ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ?

0 ? a ? 1 ,由命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,可知命题 p 、 q 为真命题恰好一真一假

2 或 a ? 2 ,命题 q 为真命题可得 3

?a ? 1 ? (1)当命题 p 真 q 假时, ? ,即 a ? 2 ; 2 0 ? a ? 或a ? 2 ? 3 ? ?0 ? a ? 1 2 ? (2)当命题 p 假 q 真时, ? 2 ,即 ? a ? 1 3 ?3 ? a ? 2 ? 2 综上,实数 a 的取值范围为 ? a ? 1 或 a ? 2 . 3
16、 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 + = 1(a > b > 0) 的左、 右焦点分别为 F 、F2 , 其中 F2 也是抛物线 C2 : y = 4 x 的焦点, M 点 1 a 2 b2
5 |= . 3

为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 (1) 求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN

??? ??? ? ? ???? ???? ???? ? ? ? = MF1 + MF2 ,直线 l ? MN ,且与 C1 交于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 方程.
| 知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) ,? MF2 5 5 2 2 6 |? ? x1 ? 1 ? ,解得 M ( , ),M 3 3 3 3
在 C1 上,

(I)由 C2

: y 2 = 4x

8 ? 4 c ? 1 ,于是 ? 9a 2 ? 3b2 ? 1 ,消去 b2 并整理得 9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2( a = 1 不合题意, 且椭圆 C1 的半焦距 ? 3 ?b2 ? a 2 ? 1 ?
舍去) ,故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 + =1 ; 4 3
的斜

(II)由 MN

???? ???? ???? ? ? ? = MF1 + MF2 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM

2 6 2 2 ? 3 = 6 ,设 l : y = 6( x - m) ,由 ?3x ? 4 y ? 12 ? 9 x 2 ? 16mx ? 8m 2 ? 4 ? 0 , 率相同,故 l 的斜率 k = ? 2 ? y ? 6( x ? m) ? 3


A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,所以 x1 + x2 =

??? ??? ? ? 16m 8m2 - 4 , x1 x2 = ,因为 OA ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 , 9 9

28

7?

8m 2 ? 4 16m ? 6m ? ? 6m 2 ? 0 ? ? (16m) 2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 9 9 解得 m ? ? 2
y = 6x - 2 3 或 y = 6x + 2 3 .

故所求直线 l 的方程为

17、已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 .
(1)画出函数 (3)当 4 ? 2

y ? f (x) 在闭区间 [?5,5] 上的大致图像;

(2)解关于 x 的不等式

f ( x) ? 7 ;

2 ? k ? 4 ? 2 2 时,证明: f ( x) ? kx ? 4k ? 7 对 x ? R 恒成立.
y轴

(1)坐标系正确 1 分;大致图像 3 分,评分关键点:与 x 轴的两个交点 (?5,0), (5,0) ,两个最高点 (?2,9), (2,9) 与 的交点 (0,5) ,对称性;

(2)原不等式等价转化为下列不等式组: ?

?x ? 0
2 ?? x ? 4 x ? 5 ? 7

或者 ?

?x ? 0
2 ?? x ? 4 x ? 5 ? 7

解得不等式的解为

0 ? x ? 2 ? 2 或 x ? 2 ? 2 或 ? 2 ? 2 ? x ? 0 或 x ? ?2 ? 2 (或者由 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解得
,所以原不等式的解为: (??,?2 ? 2 ) ? (?2 ? 2 ,2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ,??) . 0? x ? 2? 2 或 x ? 2? 2 ) (3)证法 1 :原不等式等价转化为下列不等式组: (Ⅰ) ?

? x ? 0? (1)
2 ? x ? 4 x ? kx ? 4k ? 2 ? 0? (2)

或者(Ⅱ) ?

? x ? 0? (3)
2 ? x ? 4 x ? kx ? 4k ? 2 ? 0? (4)

(Ⅰ)不等式 2 中,判别式 ?1

? (k ? 4) 2 ? 8 ,因为 4 ? 2 2 ? k ? 4 ? 2 2 ,所以 ? 2 2 ? k ? 4 ? 2 2 ,

0 ? (k ? 4) 2 ? 8 ,即 ?1 ? 0 ;所以当 x ? 0 时, f ( x) ? kx ? 4k ? 7 恒成立.
(Ⅱ) 在不等式 4 中, 判别式 ? 2 因为 所以 ? (k ? 4) 2 ? 16k ? 8 , 4 ? 2 2 ? k ? 4 ? 2 2 , ? 2 2 ? k ? 4 ? 2 2 ,

0 ? (k ? 4) 2 ? 8 ,又 ? 16? 4 ? 32 2 ? ?16k ? ?16? 4 ? 32 2 ? 0 ,所以 ? 2 ? 0 (或者
? 2 ? k 2 ? 24k ? 8 ? (k ? 12) 2 ? 136 ? [(4 ? 2 2 ) ? 12] 2 ? 136 ? (8 ? 2 2 ) 2 ? 136 ? 112 ? 136 ? 0
所以当 x )

? 0 时, f ( x) ? kx ? 4k ? 7 恒成立.

综上讨论,得到:当 4 ? 2 证法 2 :设 g1 ( x)

2 ? k ? 4 ? 2 2 时, f ( x) ? kx ? 4k ? 7 对 x ? R 恒成立.

, ? ?( x 2 ? 4x ? kx ? 4k ? 2) ( x ? 0 )( g1 ( x) ? x 2 ? 4x ? kx ? 4k ? 2 )

( 、 g 2 ( x) ? ? x 2 ? 4x ? kx ? 4k ? 2 ( x ? 0 ) g 2 ( x) ? x 2 ? 4x ? kx ? 4k ? 2 ) 29

以下讨论关于 k 的最值函数的最值与 0 关系(略) .

18、生产 A 、 B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元
件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件

[70,76)
8

[76,82)
12

[82,88)
40 40

[88,94)
32 29

[94,100]
8

A

元件 B (Ⅰ)试分别估计元件 (Ⅱ)生产一件元件

7

18

6

A ,元件 B 为正品的概率;

A ,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B ,若是正品可盈利 50 元,若是次

品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下 (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件

A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X

的分布列和数学期望;

(ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

40 ? 32 ? 8 4 40 ? 29 ? 6 3 ? .元件 B 为正品的概率约为 ? . 100 5 100 4 4 3 3 1 3 3 (Ⅱ) (ⅰ) 随机变量 X 的所有取值为 90 、45 、30 、?15 .P ( X ? 90) ? ? ? ; P ( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 P ( X ? 30) ? ? ? ; P( X ? ?15) ? ? ? .所以,随机变量 X 的分布列为: 5 4 5 5 4 20
(Ⅰ)元件

A 为正品的概率约为

X
P

90

45

30

?15

3 5

3 20

1 5

1 20 ?

(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件,依题意得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 ,解得 n

19 ,所以 6 1 3 81 4 3 n ? 4 或 n ? 5 .设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,则 P( A) ?C ( ) 4 ? ( ) 5 ? ? . 5 4 4 4 128

19、数列 ?an ? 的首项为 1 ,前 n 项和是 S n ,存在常数 A 、 B 使 an ? S n ? An ? B 对任意正整数 n 都成立.
(1)设

A ? 0 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列;

(2)设数列

?an ?是等差数列,若 p ? q ,且

1 1 1 ? ? S p S q S11

,求

p 、 q 的值.

(3)设

A ? 0, A ? 1且

an ? M 对任意正整数 n 都成立,求 M an?1

的取值范围.

(1) A ? 0 时, an

an ? an ? Sn ? B 1 得 an ? an?1 ? (Sn ? Sn?1 ) ? 0 即 ? ,所 ? Sn ? B ,当 n ? 2 时,由 ? an ?1 2 ? an?1 ? Sn?1 ? B

以,数列 {an } 是等比数列.

30

? a1 ? S1 ? A ? B ? 2 ? A? B ? A ?1 ? ? ? (2)设数列的公差为 d ,分别令 n ? 1 、 2 、 3 得 ? a2 ? S2 ? 2 A ? B 即 ? 2d ? 3 ? 2 A ? B ,解得 ? B ? 1 , ? a ? S ? 3 A ? B ? 5d ? 4 ? 3 A ? B ? d ?0 ? 3 ? ? 3
即等差数列 {an } 是常数列,所以 Sn

? n ,又

1 1 1 1 1 1 ,则 ? ? , pq ? 11 p ? 11q ? 0 , ? ? p q 11 S p Sq S11

? p ?11?? q ?11? ? 112 ,因 p ? q ,所以 ?
(3)当 n

? p ? 11 ? 1 ?q ? 11 ? 11
2

,解得 ?

? p ? 12 . ?q ? 132

? 1 时, 2 ? A ? B ,所以 an ? Sn ? An ? (2 ? A) ,当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? An ? (2 ? A) 得

1 1 an?1 ? Sn?1 ? A(n ? 1) ? (2 ? A) ,所以 an?1 ? an ? (Sn?1 ? Sn ) ? A ,所以 an ?1 ? an ? A 即 2 2 1 1 1 an ?1 ? A ? (an ? A) ,又 a1 ? A ? 0 ,所以数列 ?an ? A? 是公比为 的等比数列,所以 an ? A ? (a1 ? A) ? ( ) n ?1 2 2 2
1 a 2n A ? 2 A ? 2 1? A an ? (1 ? A) ? ( ) n ?1 ? A , n ? n 即 ? 1? n 2 an?1 2 A ? A ?1 (2 ? 1) A ? 1
①当

A ? 1时

an a a a a a 1? A ? 1? n ? 1 ,且 n 的值随 n 的增大而减小,即 1 ? 2 ? 3 ? ? ,所以,M ? 1 an?1 (2 ? 1) A ? 1 a2 a3 a4 a2 an ?1
2 , ??) ; A ?1



即 M 的取值范围是 [

②当 0 ?

A ? 1时

an a a a a 1? A M 且 即 所以, ? 1 , ? 1? n ? 1 , n 的值随 n 的增大而增大, 1 ? 2 ? 3 ? ? , an?1 (2 ? 1) A ? 1 a2 a3 a4 an ?1

即 M 的取值范围是 [1, ??) .

20、已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x .
(1)求函数

f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.

(2)若 k ? Z ,且 k ( x ?1) ? (1)因为

f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,所以 f ? ?1? ? 2 ,函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 y ? 2 x ? 1 ;

(2)由(1)知,

f ? x ? ? x ? x ln x ,所以 k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ?
,则 g ?( x)

x ? x ln x x ?1

对任意 x

? 1 恒成

立.令 g ( x)

?

x ? x ln x x ?1

?

x ? ln x ? 2 ,令 h( x) ? x ? ln x ? 2 ( x ? 1) ,则 ( x ? 1)2

h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增.因为 x x
31

h ?3? ? 1? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ?3, 4? .当 1 ? x ? x0 时, h( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, h( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0 ,所以函数
g ? x? ? x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增.所以 x ?1

? g ? x ?? min ? g ? x0 ? ? ? ?
故整数 k 的最大值是 3 .

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? .所以 k ? ? g ? x ? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? . ? ? x0 ? 1 x0 ? 1

32

2013 届高三数学寒假作业(12)
一、填空题: 1、已知 a ? b ?[1, 2] 、 a ? b ? [2, 4] ,则 4a ? 2b 取值范围是 . [5,10]

2、若函数 f ( x) ?

ax ? 2 ? x ? 2a 2 a ?1

为奇函数,则实数 a ?

.1

3、若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ( x ? R ) ,又 f (? ) ? ?2 、 f ( ? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为

3? 4

,则正数

? 的值是



2 3
. [ ,1] .?

4、已知 2sin 2 x ? cos2 y ? 1 ,则 sin 2 x ? cos2 y 的取值范围为 5、已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图像的一条对称轴为 x ?

1 2

5 ? 3

,则 a 的值为

3 3

6、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 、 g ( x) 满足

f ( x) f (1) f (?1) 5 ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , ? ? , g ( x) g (1) g (?1) 2
.5

若有穷数列 ?

? f ( n) ? 31 ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于 32 ? g (n) ?

2 7、已知函数 ? ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? ? ( x) 在点

(1, ? (1)) 处的切线的斜率为

.4

? 8、已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 120 .设 AB ? a , AC ? b ,若 AO ? ma ? nb ,

则 m? n ?

.?

1 2

1 3 a | x | ? x 2 ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是 . (2,3) 3 2 10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 1 , 2 , 3 ,…, 2011 ,从第二行起每个数分别等于 上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M ,则这个数 M 是 . 2009 2012 ? 2
9、若函数 f ( x) ? 1 3 8 2 5 3 ? 2009 2010 2011 ? 4019 4021 ? 8040 ? M

11、若 P (a, b) 是双曲线 x ? 4 y ? m(m ? 0) 上一点,且满足 a ? 2b ? 0, a ? 2b ? 0 ,则双曲线离心率为
2 2



33

5 2
12、设实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,


a ?b?5 的取值范围是 a ?1

. ( , )

3 5 2 2

13、已知函数 f ( x) ? 10 x ,且实数 a 、 b 、 c 满足 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) , f (a ) ? f (b) ? f (c) ?

f (a ? b ? c) ,则 c 的最大值为
14、已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ?
2

. lg

4 3

1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) ,若对任意 x ? [1,9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立, 4 则所有满足条件的实数 t 的值为 .4

二、解答题: 15、一个盒子中装有标号为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整 数的概率. (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的.
(1) 无放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有

?1, 2? 、 ?1,3? 、 ?1, 4? 、?2,3? 、?2,4? 、 ?3, 4? ,总数为
6 1 ? ; 12 2

2 ? 6 个,两张标签上的数字为相邻整数基本事件为 ?1, 2? 、 ?2,3? 、 ?3, 4? 总数为 2 ? 3 个,∴ p ?
(2) 有放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有

?1, 2? 、?1,3? 、?1, 4? 、?2,3? 、?2,4? 、?3, 4? 和 ?1,1? 、

?2,2? 、?3,3? 、?4,4? ,总数为 2 ? 6 ? 4 ? 16 个,两张标签上的数字为相邻整数基本事件为 ?1, 2? 、?2,3? 、?3, 4?
6 3 ? . 16 8 16、在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c .
总数为 2 ? 3 ? 6 个,

p?

(1)若 a

? 4,C ?

?

3

,且 ?ABC 的面积 S

? 3 ,求 b 、 c 的值;

(2)若 sin(B ?

A) ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,试判断 ?ABC 的形状.

(1)因为 ?ABC 的面积等于

1 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得到 b ? 1 2

,由余弦定理 c

2

? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C =13,

c ? 13 ;
? , ?ABC 为直角三角形,当 cos A ? 0 时 ,得 2 sin B ? sin A ,由正弦定理得 a ? b ,所以 ?ABC 为等腰三角形,所以 ?ABC 是等腰或直角三角形. 17、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,平面 ASD ? 平面 ABCD .四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点, Q 为 SB 的中点. S (Ⅰ)求证: CD ? 平面 SAD ;
(2)由题意得 sin B cos

A ? sin A cos A ,当 cos A ? 0 时, A ?

(Ⅱ)求证: PQ ∥平面 SCD ; 34

Q C P A D B
·

M

(Ⅲ)若 SA ?

SD , M 为 BC 中点,在棱 SC 上是否存在点 N ,使得平面 DMN ⊥平面 ABCD ,并证明你的结论. (Ⅰ)因为四边形 ABCD 为正方形,则 CD ? AD ,又平面 SAD ? 平面 ABCD , S
且面 SAD ? 面 ABCD ? AD ,所以 CD ? 平面 SAD ;

1 (Ⅱ)取 SC 的中点 R ,连 QR 、 DR .由题意知: DP ∥ BC 且 PD ? BC . 2 1 在 ?SBC 中, Q 为 SB 的中点, R 为 SC 的中点,所以 QR ∥ BC 且 QR ? BC 2
所以 QR ∥ PD 且 QR ?

R(N) Q C P A D O B ·M

PD ,则四边形 PDRQ 为平行四边形,所以 DR ∥ PQ ,
? 平面 SCD ,所以 PQ ∥平面 SCD .

又 PQ ? 平面 SCD , DR

(另解: QM , M 为 BC 中点, 连 设 因为四边形 ABCD 为正方形, P 为 AD 的中点,M 为 CB 的中点, 且 所以 PM 又因为 M 为 BC 中点, Q 为 SB 的中点,所以 QM 所以 PQ∥ 平面 SCD.)

/ / CD ,

/ / SC ,所以平面 PMQ / / 平面 SCD ,因为 PQ ? 平面 PMQ ,

18、已知抛物线 D 的顶点是椭圆
(Ⅰ )求抛物线 D 的方程; (Ⅱ )已知动直线 l 过点 P

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3

?4,0? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.
AB
的长;

①若直线 l 的斜率为 1 ,求

②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 存在,说明理由. (Ⅰ )由题意,可设抛物线方程为 (Ⅱ )设

AP

为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不

y 2 ? 2 px? p ? 0? ,由 a 2 ? b 2 ? 4 ? 3 ? 1 得 c ? 1 ,? 抛物线 D 方程 y 2 ? 4 x ;

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
?y ? x ? 4 2 y ? x ? 4 ,联立 ? 2 ,整理得 x ? 12x ? 16 ? 0 、 y ? 4x ?
2

①直线 l 的方程为:

(1 ? 1) 2 [?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 4 10 ; x1 ? 4 y1 , ) ,过 M 作直线 x ? a 的垂线,垂足为 E ,设直线 m 与圆 ②设存在直线 m : x ? a 满足题意,则圆心 M ( 2 2 2 2 2 2 2 2 M 的一个交点为 G ,可得 EG ? MG ? ME , 即 EG ? MA ? ME ?
AB ?

1 2 ?x ? 4? ? ?x1 ? 4? ?x ?4 ? ? a?x1 ? 4? ? a 2 ?? 1 ? a ? ? y1 ? 1 4 4 4 ? 2 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? a?x1 ? 4? ? a 2 = ?a ? 3?x1 ? 4a ? a 2 ,当 a ? 3 时, EG ? 3 ,此时直线 m 被以 AP
2
2 2

?x1 ? 4?2 ? y1 2

为直径的圆

M

所截得的弦长恒为定值 2

3 ,因此存在直线 m : x ? 3 满足题意.

19、已知函数 f ( x ) ?
(1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

A(1, 0) ,设点 P( x, y) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP |
35

的最小值,并求此时点

P 的坐标;
(3)当 x ? [1, 2] 时,不等式

f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 a 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ? a?2 得? , 解得 ? ; ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2 ? b ?1 2x x 2 2 2 2 2 ) ,令 x ? 1 ? t , t ? 0 ,则 (2)由(1) f ( x ) ? ,所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( x ?1 x ?1 1 4 2 2 2 2 | AP |2 ? (t ? 2) 2 ? 4(1 ? ) 2 ? t 2 ? 2 ? 4(t ? ) ? 8 ? (t ? ) 2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 因为 x ? ?1 ,所以 t t t t t t 2 t ? 0 , 所 以 , 当 t ? ? ?2 2 , 所 以 | AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 即 AP 的 最 小 值 是 2 2 ? 2 , 此 时 t ? ? 2 , t x ? ? 2 ? 1 ,点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) ; 2x 2m m (3)问题即为 对 x ? [1, 2] 恒成立,也就是 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立,要使问题有意义, ? x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | | x?m| m m m 0 ? m ? 1 或 m ? 2 .在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 m ? ? x ? ? m x x x 2 对 x ? [1, 2] 恒成立, mx ? m ? x ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,
(1)由 ? ①当 x ? 1 时,

x2 x2 x2 1 m ? 2 ,②当 x ? 1 时, m ? ? m ?1或 且m? 对 x ? (1, 2] 恒成立,对于 m ? 对 2 x ?1 x ?1 x ?1 x2 ) max ,令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] , x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x2 (t ? 1)2 1 x2 4 4 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增,? ( ) max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 , 3 x ?1 t t x ?1 3 2 2 x x )min ,令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (0,1] , 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1 x2 (t ? 1) 2 1 x2 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, ? ( )mi n ? 4 , ? m ? 4 , ? 0 ? m ? 1 或 2 ? m ? 4 ,综上: x ?1 t t x ?1
2? m? 4.
?

?n 20、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n ( n ? N ) ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 3 ? an .

(1)求证:数列

?bn ? 是等差数列;

(2)设 S n

?

a a1 a2 a3 S 1 1 ? ? ? ? ? n ,求满足不等式 ? n ? 的所有正整数 n 的值. 3 4 5 n?2 128 S2 n 4

(1)由 bn

? 3?n an 得 an ? 3n bn ,则 an?1 ? 3n?1 bn?1 ,代入 an?1 ? 3an ? 3n 中,得 3n?1bn?1 ? 3n?1bn ? 3n ,即得
1 ,所以数列 ?bn ? 是等差数列; 3

bn ?1 ? bn ?

(2)因为数列

?bn ? 是首项为 b1 ? 3?1 a1 ? 1,公差为 3 等差数列,则 bn ? 1 ? 3 (n ? 1) ?
36

1

1

n?2 ,则 3

an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n?1 ,从而有
Sn ?

an ? 3n ?1 ,故 n?2

a a1 a2 a3 1 ? 3n 3n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? ? , 3 4 5 n?2 1? 3 2

1 1 1 S Sn 1 1 3n ? 1 1 ? n ? ,即 3 ? 3n ? 127 ,得 1 ? n ? 4 , 则 ? n ? ,得 ? 2n ? n ,由 128 3 ? 1 4 128 S2 n 4 S2 n 3 ? 1 3 ? 1
故满足不等式

S 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值为 2 、 3 、 4 . 128 S2 n 4

37

2013 届高三数学寒假作业(13) (附加题部分)
1、如图, PA 与 ? O 相切于点 A , D 为 PA 的中点,过点 D 引割线交 ? O 于 B , C 两点.
求证: ?DPB ? ?DCP . 【解析】因为 PA 与圆相切于

P D A B O ·

A ,所以 DA ? DB ? DC ,因为 D 为
2

PA 中点,所以 DP ? DA ,所以 DP 2 ? DB ? DC 即

PD DB . ? DC PD

因为 ?BDP ? ?PDC ,所以 ?BDP ∽ ?PDC ,所以 ?DPB ? ?DCP .

C 2、如图, AB 是 ? O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE 、 CFD 、 CGE 都是 ? O 的割线,已知 AC ? AB .
求证: FG 【解析】因为

// AC .
2

AB 为切线, AE 为割线,所以 AB ? AD ? AE ,
2

G O

C

AD AC ? 又 AC ? AB ,所以 AC ? AD ? AE ,所以 ,又因为 AC AE ?EAC ? ?DAC ,所以 ?ADC ∽ ?ACE ,所以 ?ADC ? ?ACE , 又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?ACE ? ?EGF ,所以 GF ? AC .

F
D A

E
B

3、过 ? O 外一点 P 作 ? O 的切线 PA ,切点为 A ,连接 OP 与 ? O 交于点 C ,
过C 作

AP 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 12cm , PC ? 6cm ,求 CD 的长.
2

A D
2

【解析】连接 AO , PA 为圆的切线,∴ ?PAO 为直角三角形, 12 所以 r

? r ? (r ? 6)
2



? 9 ,又 CD ? PA ,于是

PC CD 18 ? ,? CD ? . PO AO 5

· O

C

P

4、如图,在 ?ABC 中, D 是 AC 中点, E 是 BD 三等分点,

A

AE 的延长线交 BC 于 F
【解析】过 D 点作 DM ∥ 所以

,求

S?BEF S四边形DEFC

的值.

D

AF

交 BC 于 M ,因为 DM ∥ ,所以

AF



BF BE 1 ? ? ,因为 EF ∥ DM BM BD 3

S?BEF 1 ? , S?BDM 9

E B F C

即 S?BDM

? 9S?BEF ,又
?

2 S ?DMC 2 ? ,即 S?DMC ? S?BDM ? 6S?BEF ,所以 S四边形DEFC ? 14S?BEF , 3 S ?BDM 3

因此

S?BEF S四边形DEFC

1 . 14
相交于点 G ,若 B , C , F ,

5、如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,点 E , F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF

E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE .
38

A G E

D
C

F
A O

E

B

D

B

C

F

(题 5 图)

(题 6 图)

? 【解析】连结 EF .∵ B 、 C 、 F 、 E 四点共圆,∴ ?ABC ? ∠EFD .∵ AD ∥ BC ,∴ ?BAD ? ?ABC ? 180 ,

∴ ?BAD ? ?EFD ? 180 .∴

?

A、D、F

、 E 四点共圆.∵ ED 交 AF 于点 G ,∴ AG ? GF ? DG ? GE .

6、 如图, AB 是 ? O 的直径,C 、 F 是 ? O 上的两点,OC ⊥ AB ,过点 F 作 ? O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .
连结 CF 交
2

AB 于点 E .

求证: DE ? DB ? DA . 【解析】连结 OF .因为 DF 切 ? 所以 ?OCF

O于F

,所以 ?OFD ? 90 ,所以 ?OFC

?

? ?CFD ? 90? .因为 OC ? FO ,

? ?OFC .因为 CO ? AB 于 O ,所以 ?OCF ? ?CEO ? 90? ,所以 ?CFD ? ?CEO ?

? DEF ,所以 DF ? DE .因为 DF 是 ? O 的切线,所以 DF 2 ? DB ? DA ,所以 DE 2 ? DB ? DA .
7、如图, ? O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为 ? O 上一点, AE ? AC , DE 交 AB 于
点 F .求证: ?PDF ∽ ?POC . 【解析】∵ AE

E A · O F B D P

? AC , ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ? P ? ? PDF ,


?AOC ? ?P ? ?OCP ,从而 ?PDF ? ?OCP .在 ?PDF ?POC 中, ?P ? ?P 、 ?PDF ? ?OCP ,故 ?PDF
AB 于 E .
(1)求证: E 是

C 8、如图, ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的 ? O 交于点 F ,延长 CF 交
A

∽ ?POC .

AB 的中点;

(2)求线段 BF 的长.

D

【解析】 (1)利用 △CDO

? △BCE ,可证: EB ? OC ?

1 AB ; 2

E

F

(2)由 ?FEB ∽ ?BEC 得

BF CB ? BE CE

,∴ BF

?

5 a. 5

B

O

C

39

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 9、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【解析】 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? ? 2? sin ? ,又 x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ? 、所以曲线 C 的
2 2 2 2

直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ;
2 2

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ?

4 ( x ? 2) ,令 y ? 0 得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为 (2, 0) ,又曲线 C 3

为圆,圆 C 的圆心坐标为 (1, 0) ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 ,所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 .

10、已知曲线 C 的方程 y 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,设 y ? tx , t 为参数,求曲线 C 的参数方程.
2 2 3 3 2 2 【解析】将 y ? tx 代入 y ? 3x ? 2 x ,得 t x ? 3x ? 2 x ,即 2 x ? (3 ? t ) x .当 x
2 2 2 3

? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时,

? ? 3 ? t2 3 ? t2 , ?x ? ?x ? 3?t 3t ? t ? 2 ,∴曲线 C 的参数方程为 ? 2 ( 为参数) x? ,从而 y ? .∵原点 (0, 0) 也满足 ? . t ? 3 3 2 2 ? y ? 3t ? t ? y ? 3t ? t ? ? ? 2 ? 2
2 3

? 11、已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1 : ? cos(? ? ) ? 2 2 与曲线 4
? x ? 4t 2 ( t ? R )交于 A 、 B 两点.求证: OA ? OB . C2 : ? ? y ? 4t
【解析】曲线 C1 的直角坐标方程 x ? 将这两个方程联立,消去 x 得

y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 .

??? ??? ? ? ? x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 ,∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

12、在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?
曲线 C 的参数方程为 ?

?
3

? ? ? R ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. ? y ? 1 ? cos 2?
?

【解析】因为直线 l 的极坐标方程为 ?

?
3

? ? ? R ? ,所以直线 l 的普通方程为 y ?

3x ,又因为曲线 C 的参数方程为

? x ? 2cos ? , ? x ? 0, 1 2 ( ? 为参数) ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x ? x ? ? ?2, 2?? ,联立解方程组得 ? ? 2 ? y ? 1 ? cos 2? ? y ? 0,
或?

? x ? 2 3, ? , ?y ? 6 ?

根据 x 的范围应舍去 ?

? x ? 2 3, ? 故 P 点的直角坐标为 (0, 0) . ?y ? 6 ?
40

13、已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

,点 F , F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程为 1

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ( 为参数, t ? R ) . t ? 2 ? ?y ? 2 t ?
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F , F2 到直线 l 的距离之和. 1

【解析】(Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ,曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 ? ?1; 4 3

(Ⅱ) ∵ F (?1,0) , F2 (1,0) ,∴点 F 到直线 l 的距离 d1 1 1

?

?1 ? 0 ? 2 2

?

3 2 ,点 F2 到直线 l 的距离 2

d2 ?

1? 0 ? 2 2

?

2 2

,∴ d1 ? d2

?2 2.
2 ? r cos ? 2 (? 2 ? r sin ? 2

? ?x ? ? ? 14、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin(?

为参数, r

? 0 ) O 为极点, x 轴正 ,以

? ) ? 1 ,若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值. 4

?

? ?x ? ? ? 【解析】圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
所以圆心 C ( ?

2 ? r cos? , 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? r 2 (r ? 0) , ( ? 为参数, r ? 0 ) ,消去参数得 ( x ? 2 2 2 ? r sin ? 2

2 2 ? ,? ) ,半径为 r ,因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,圆 2 2 4

?
心 C 到直线 x ?

y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,即

d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .
15、甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 、 、p, 且他们是否破译出密
码互不影响,若三人中只有甲破译出密码的概率为

1 1 2 3

1 4

. (Ⅱ)求

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;

p 的值;

(Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

41

【解析】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A 、 1

A2 、 A3 ,依题意有 P ( A1 ) ?

1 1 、 P ( A2 ) ? 、 2 3

P( A3 ) ? p 且 A1 、 A2 、 A3 相互独立.
1 2 2 ? 1? ? ? ; 2 3 3 1 2 1? p (Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有 P( B) ? P( A ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? , 1 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? ; 所以 4 3 4 1 (Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,所以 P ( X ? 0) ? , 4 1 1 1 3 1 2 1 11 P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 = P ( A ? A2 ? A3 ) = ? ? ? , X 分布列为: 1 2 3 4 24 0 3 X 1 2 1 11 1 1 P 4 24 4 24 1 11 1 1 13 ? 2 ? ? 3? ? . 所以 E ( X ) ? 0 ? ? 1? 4 24 4 24 12 16、某电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 1 ? P( A ? A2 ) 1 二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分.现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为

1 1 、 、 2 3

1 ,记该参加者闯三关所得总分为 ? . 4
(1)求该参加者有资格闯第三关的概率;

(2)求 ? 的分布列和数学期望.

【解析】⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 第三关为事件

p1 ?

1 1 1 、 p 2 ? 、 p3 ? ,该参加者有资格闯 2 3 4

A .则 P( A) ? p1 (1 ? p2 ) ? (1 ? p1 ) p2 ? p1 p2 ?

2 ; 3

(2)由题意可知, ? 的可能取值为 0 、 3 、 6 、 7 、 10 , P (?

? 0) ? (1 ? p1 )(1 ? p 2 ) ?

1 , 3

1 1 3 1 ? ? , P(? ? 6) ? p1 p2 (1 ? p3 ) ? , 4 8 8 8 1 1 1 1 P(? ? 7) ? p1 (1 ? p2 ) p3 ? (1 ? p1 ) p2 p3 ? ? ? , P(? ? 10) ? p1 p2 p3 ? , 12 24 8 24 P(? ? 3) ? p1 (1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? (1 ? p1 ) p2 (1 ? p3 ) ?
所以 ? 的分布列为

42

?
p

0

3

6

7

10

1 3

3 8

1 8

1 8

1 24

所以 ? 的数学期望 E?

1 3 1 1 1 1 ? 0 ? ? 3 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 10 ? ? 3 . 3 8 8 8 24 6

17、为了评估天气对大运会的影响,制定相应预案,深圳市气象局通过对最近 50 多年的气象数据资料的统计分析,发现 8 月
份是我市雷电天气高峰期,在 31 天中平均发生雷电 14.57 天(如图) .如果用频率作为概率的估计值,并假定每一天发 生雷电的概率均相等,且相互独立. (1)求在大运会开幕( 8 月 12 日)后的前 3 天比赛中,恰好有 2 天发生雷电天气的概率(精确到 0.01 ) ; (2)设大运会期间( 8 月 12 日至 23 日,共 12 天) ,发生雷电天气的天数为 X ,求 X 的数学期望和方差. 【解析】 (1)设 8 月份一天中发生雷电天气的概率为 由已知

p,
雷电天数

14.57 ? 0.47 .因为每一天发生雷电的概率均相等, 31 且相互独立,所以,在大运会开幕后的前 3 天比赛中,恰好有 2 天 p?
发生雷电天气的概率 P

16

? C ? 0.47 ? (1 ? 0.47) ? 0.351231
2 3 2

14 12
10
8 6

?
? ? ? ?

?

? 0.35 .
(2)由已知 X ~ B(12 ,

0.47) .所以, X 的数学期望

4 2
O

E ( X ) ? 12 ? 0.47 ? 5.64 . X 的方差

?
1

?
2

?
3

?
4
5 6 7 8

?

?

D( X ) ? 12 ? 0.47 ? 1-0.47 ( )=2.9892.

9 10 11 12 月份

18、甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 0.5 、 a 、 a (0 ? a ? 1) ,三人各射击一次,击中目标的次数记为 ?
(1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(?

? i) ( i ? 0 、 1 、 2 、 3 )中,若 P(? ? 1) 的值最大,求实数 a 的取值范围;

【解析】(1) P (? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,

1? 1 0? P(? ? 0) ? C1 ?1 ? ? C0 (1 ? a)2 ? (1 ? a)2 、 2 2? 2 ?

1 1? 1 0? P(? ? 1) ? C1 ? C0 (1 ? a) 2 ? C1 ?1 ? ? C1 a(1 ? a) ? (1 ? a 2 ) 、 1 2 2 2 2? 2 ?
1 1? 2 1 0? P(? ? 2) ? C1 ? C1 a(1 ? a) ? C1 ?1 ? ? C2 a 2 ? (2a ? a 2 ) 、 1 2 2 2? 2 ?

P (? ? 3) ? C1 ? C 2 a 2 ? 1 2
2

1

a2 2
43

所以 ? 的分布列为

?

0
1 2
1 2

1
1 2

2
1 2

3

P
?
的数学期望为 E (? ) ? 0 ?

(1 ? a)2

(1 ? a 2 )

(2a ? a2 )
1

a2 2 a2
2

(1 ? a) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ?
2 2

1

?

4a ? 1 . 2

(2) P(? ? 1) ? P(? ? 0) ?

1 ??1 ? a2 ? ? (1 ? a)2 ? ? a(1 ? a) , ? 2? 1 1 ? 2a , P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ?(1 ? a2 ) ? (2a ? a2 ) ? ? ? ? 2 2 ? ? a (1 ? a ) ? 0 ? 1 1 ? 2a 2 1 ? 1 ? 2a P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? ?(1 ? a 2 ) ? a 2 ? ? ? 0 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? . ,由 ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? 1 ? 2a 2 ?0 ? ? 2

19、 某工厂在试验阶段大量生产一种零件. 这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响. 若
项技术指标达标的概率为

3 4

, B 项技术指标达标的概率为

8 ,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 9

(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率; (2)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 ? 分布列及 E (? ) .

【解析】 (1)设 M : 一个零件经过检测至少一项技术指标达标,则 M : 故 P( M )

A 、 B 都不达标;

3 8 1 ? 1 ? P( M ) ? 1 ? ? ? ; 4 9 3 2 1 4 1 8 1 2 1 1 3 (2)依题意知: ? ~ B(4, ) , P (? ? 0) ? ( ) ? , P(? ? 1) ? C4 ( ) ( ) ? , 3 3 81 3 3 81 1 24 32 2 4 16 2 2 3 2 3 1 1 P (? ? 2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? , P (? ? 3) ? C4 ( ) ( ) ? , P (? ? 4) ? ( ) ? 3 3 81 3 3 81 3 81
?

0

1

2

3

4

P

1 81

8 81

24 8 ? 81 27

32 81

16 81

E (? ) ? 4 ?

2 8 ? 3 3

20、已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且
每球取到的机会均等) 3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求

X

的分布列; 44

(Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) .

【解析】(Ⅰ)

X

的可能取值有: 3 、 4 、 5 、 6 .

P ( X ? 3) ?

3 C5 C 2 C1 20 C1C 2 15 C3 5 2 ? 、 P( X ? 4) ? 5 3 4 ? 、 P ( X ? 5) ? 5 3 4 ? 、 P ( X ? 6) ? 4 ? . 3 3 42 42 C9 42 C9 C9 C9 42

故所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E ( X ) 为: E ( X ) ? 3 ?

5 10 5 1 13 ? 4? ? 5? ? 6? ? . 42 21 14 21 3

21、一个袋中装有黑球,白球和红球共 n(n ? N ? ) 个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到
黑球的概率是 (1)若 n

2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5

? 15 ,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是

4 ,设 ? 表示摸出的 2 个球中红球的个数,求随机变 7

量 ? 的概率分布及数学期望 E (? ) ; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少? 【解析】 (1) 设袋中黑球的个数为 x (个), “从袋中任意摸出一个球, 记 得到黑球” 为事件

A ,则 P( A) ?

x 2 ? .∴ x ? 6 . 15 5
2 C15? y 2 C15

设袋中白球的个数为

y (个),记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B ,则 P( B) ? 1 ?

?

4 , 7

∴ y ? 29 y ? 120 ? 0 ,∴ y ? 5 或 y ? 24 (舍).∴红球的个数为 15 ? 6 ? 5 ? 4 (个).∴随机变量 ? 的取值为 0 、 1 、 2 ,
2

分布列是

?

0
11 21

1
44 105

2
2 35

P

? 的数学期望 E(? ) ?

11 44 2 56 . ?0? ?1 ? ? 2 ? 21 105 35 105

2 (2)设袋中有黑球 z 个,则 z ? n(n ? 5,10,15, …) .设“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑球”为事件 C , 5
2 C3

则 P(C ) ? 1 ?

C

n 5 2 n

?

16 6 1 7 ? ? ,当 n ? 5 时, P (C ) 最大,最大值为 . 25 25 n ? 1 10

A1 B1

C1 F

22、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90o , AB ? AC ? a , AA1 ? b ,
点 E 、 F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 BE ?

1 1 b BB1 , C1F ? CC1 .设 ? ? . 3 3 a
E C B

A
45

(1)当 ?

? 3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小;

(2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . (1)设 a

? 1 ,则 AB ? AC ? 1 , AA1 ? 3,所以 A(0,0,0) , E (1,0,1) , A1 (0,0,3) , F (0,1, 2) .

??? ? ???? ? ??? ???? ? ? ??? ? ???? ? AE ? (1,0,1) , A1F ? (0,1, ?1) .∵ AE ? A1 F ? 2 , AE ? A1 F ? ?1 ,

??? ???? ? ? ??? ???? ? ? AE ? A1 F ?1 1 ∴ cos AE , A1 F ? ??? ???? ? ? ? .∴向量 AE 和 A1 F 所成的角 ? ? 2 2? 2 AE A1 F ?? ??? ?
为 120 ,∴异面直线 AE 与 A1 F 所成角为 60 . (2)∵ E (a,0, ) , F (0, a,
o 0

z A1 B1 C 1 F

??? ? ? 2b b ??? 2b ) ,∴ AE ? (a,0, ), AF ? (0, a, ) . 3 3 3 ??? ? ??? ? 设平面 AEF 的法向量为 n1 ( x, y, z ) ,则 n1 ? AE ? 0 ,且 n1 ? AF ? 0 .

b 3

A B

E C x y

即 ax ?

bz 2bz b 2b ? 0 ,且 ay ? ? 0 .令 z ? 1 ,则 x ? ? , y ? ? . 3 3 3a 3a b 2b ? 2? , ? ,1) = (? , ? ,1) 是平面 AEF 的一个法向量. 3a 3a 3 3 2b b 2? ? , ,1) = ( , ,1) 是平面 A1 EF 的一个法向量.∵平面 AEF ⊥平面 3a 3a 3 3

∴ n1 ? (?

同理, n2 ? (

A1 EF ,∴ n1 ? n2 ? 0 .∴ ?

3 3 2? 2 2? 2 ? ? 1 ? 0 .解得 ? ? .∴当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时, ? ? . 2 2 9 9

23、如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA 、 OB 、 OC 两两垂直,且 OA ? 2 、 OB ? 3 、 OC ? 4 , E 是 OC
的中点. (1)求异面直线 BE 与 (2)求二面角

AC 所成角的余弦值;

A ? BE ? C 的余弦值.

【解析】 (I)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、

y 、 z 轴建立空间直角坐标系.则有 A(0, 0, 2) 、 B(3, 0, 0) 、
所以,

??? ? ??? ? C (0, 4,0) 、 E(0, 2,0) . BE ? (?3, 2,0) AC ? (0, 4, ?2) ,

??? ??? ? ? cos ? EB, AC ? ?
所成角的余弦值是

8 13 ? 20

?

4 65

?

4 65 . 由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角, 所以, 异面直线 BE 与 AC 65

4 65 . 65

46

(II) AB ? (3,, 2) , AE ? (0,, 2) ,设平面 0 ? 2 ? 则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得 ?

??? ?

??? ?

ABE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,

??

?? ?

??? ?

?? ?

??? ?

?? ? 3x ? 2 z ? 0 ,取 n1 ? (2,3,3) ,又因为 OA ? 平面 OBC , 所以平面 BEC 的一个法向 ?2 y ? 2 z ? 0
?? ?? ? n1 ? n2 3 3 22 ? ? . 由于二面角 A ? BE ? C 的平面角是 n1 与 n2 的 | n1 | ? | n2 | 22 22
3 22 . 22

量为 n2

?? ?

? (0,0,1) , 所以 cos ? n1,n2 ??

夹角的补角,所以,二面角

A ? BE ? C 余弦值是 ?

24、如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC , ?ABC ? 90 , PA ? 平面 ABCD ,
P

?

AB ? BC ? 2 AD ,若平面 PDC 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为

PA 6 ,求 AD 3

的值.

A

D

B
【解析】 以点

C

A 为坐标原点, 以 AB 、AD 、AP 分别为 x 、y 、z 轴, 建立如图空间直角坐标系, 不妨设 AD ? 1 、PA ? a ,



??? ? ???? ?? P(0,0, a) 、D(0,1, 0) 、 (2, 2,0) , PD ? (0,1,0) 、DC ? (2,1,0) , C 所以 设平面 SDC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , ??? ?? ? ?? ???? ?? y ? az ? 0 、 DC ? m ? 2x ? y ? 0 ,不妨设 z ? 2 ,则 y ? 2a 、 x ? ?a 即 m ? (?a, 2a, 2) ,

则 PD ? m ? 又因为 PA

? 平面 ABCD ,所以 DA ? PA ,又因为 AD ∥ BC , ?ABC ? 90? ,所以 DA ? AB ,故 DA ? 平面

???? ??? ? ?? ???? PAB , AD 是平面 PAB 的一个法向量, AD ? (0,1,0) , cos ? m, AD ?? 即 且 所以
因此

2a 4 ? 5a 2

?

6 , 解得 a ? 2 , 3

PA ?2. AD
1

25、 如图, 在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,AB ? AC , 顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B , A ? 且 B A A C ? B 1 1
(1)求棱

? 2.
A1

AA1 与 BC 所成的角的大小;
AP ? 14 ,并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角余弦值.
C1 B1

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P ,使 【解析】 (1)如图,以

A 为原点建立空间直角坐标系,则 C (2,0,0) 、 B(0, 2, 0) 、 A1 (0, 2, 2) 、
C C1 P B1 A1 Bz A

???? ??? ???? ? ? B1 (0, 4, 2) 、 AA1 ? (0, 2, 2) 、 BC ? B1C1 ? (2, ?2,0) .
???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ? ?? , ? 2 8? 8 AA1 ? BC

x 47 C B A

y



AA1 与 BC 所成的角是 60? .
???? ????? 2 ? ? B1 P ? ? B C ?? 2 ? ?2 ? 0 , 则 P ? 2?,4? 2 , 2 . 于 是 AP ? 4? 2 ? ? 4? 2 ? ? 4? , ,? ? 1 1

(2)设 (?

14 ? ? ?

?? 3 舍去) ,则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P(1,3, 2) . 设平面 P ? AB ? A 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 1 2 ??? ? ?? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ?? ? ?? ?? 则? ,故 n1 ? (?2,0,1) .而平面 ABA 的法向量是 n2 ? (1,0,0) , ??? ? 1 ?2 y ? 0. ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 ?
?
则 cos? n1 , n2 ? ?

1 2

2 5 n1 ? n2 ?2 2 5 ,故二面角 P ? AB ? A 的平面角的余弦值是 . ? ?? 1 5 n1 ? n2 5 5

26、试求使不等式:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立的最小自然数 t 的值,并用数 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1

学归纳法加以证明. 【解析】设

1 1 1 1 ? ? ?? ? , n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? )?( ? ??? ) ∵ f (n ? 1) ? f (n) ? ( n?2 n?3 3n ? 4 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ? 1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3 6n ? 6 2(3n ? 3) 6n ? 6 2(3n ? 3) ? ? ? 2 ? 2 ?0 2 (3n ? 2)(3n ? 4) (3n ? 3) 9n ? 18n ? 8 9n ? 18n ? 9 1 1 1 13 ∴ f ( n) 递增,∴ f ( n) 最小为 f (1) ? ? ? ? ,∵ f (n) ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立,∴ 2 3 4 12 13 5 ? 2t ? ,∴自然数 t ? 2 ,∴自然数 t 的最小值为 2 . 12 1 1 1 1 ? ? ??? ?1 下面用数学归纳法证明 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 13 ? 1 ,∴ n ? 1 时成立; (1)当 n ? 1 时,左边 ? ? ? ? 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1, (2)假设当 n ? k 时成立,即 k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ? ? ??? 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ? k ?2 k ?3 k ?4 3k ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 1 1 1 1 2 ? 1? ? ? ? ? 1? ?1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 (3k ? 2)(3k ? 4)(3k ? 3) ∴ n ? k ? 1 时也成立 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 成立. 根据(1) (2)可知 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 注:第(1)小题也可归纳猜想得出自然数 t 的最小值为 2 . f ( n) ?

48

27、设数列 ?an ? 满足 a1 ? a 、 an?1 ? an 2 ? a1 , M ? ?a ? R n ? N*, an | ≤ 2? . |
(1)当 a ? (??, ?2) 时,求证: a ? M ; (2)当 a ? (0, (3)当 a ? (

1 ] 时,求证: a ? M 4

; 的关系,并证明你的结论.

1 , ??) 时,判断元素 a 与集合 M 4

【解析】 (1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M . (2) 当 0 ? a ≤

1 1 1 时, an ≤ ( ?n ? 1 ) .事实上,①当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 4 2 2
?

②设 n ? k 时成立 k ? N ) 则当 n ( ,

? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ? a ?( )2 ? ?
2

1 2

1 4

1 ? , 由①、 ②可知, 对任意 n ? N , 2

| an | ?

1 ? 2 ,所以 a ? M 2


2 ? an ? a .对于任意 n ? 1 ,

(3)当 a ?

1 1 时, a ? M .证明如下:对于任意 n ? 1 , an ? a ? ,且 an?1 4 4

1 1 1 1 1 2 an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ? a ? ,则 an?1 ? an ? a ? ,所以, an?1 ? a ? an?1 ? a1 ? n(a ? ) . 2 4 4 4 4
当n ?

2?a 1 时, an?1 ? n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M . 1 4 a? 4

28、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? ?an 2 ? pan ( p ? R) ,且 a1 ? (0, 2) ,试猜想 p 的最小值,使得 an ? (0, 2) 对

n ? N * 恒成立,并给出证明. 2 【解析】当 n ? 1 时, a2 ? ?a1 ? pa1 ? a1 (?a1 ? p) ,因为 a1 ? (0, 2) ,所以欲 a2 ? (0, 2) 恒成立,

? p ? a1 ? 则要 ? 2 恒成立,解得 2 ? p ? 2 2 ,由此猜想 p 的最小值为 2 .因为 p ? 2 ,所以要证该猜想成立,只 p ? a1 ? ? a1 ? * 要证:当 p ? 2 时, an ? (0, 2) 对 n ? N 恒成立.
现用数学归纳法证明之

? 1 时结论显然成立; ②假设当 n ? k 时结论成立,即 ak ? (0, 2) ,
①当 n 则当 n

? k ? 1 时, ak ?1 ? ?ak 2 ? 2ak ? ak (2 ? ak ) ,一方面 ak ?1 ? ak (2 ? ak ) ? 0 成立,

另一方面, ak ?1

? ?ak 2 ? 2ak ? ?(ak ?1)2 ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 ak ?1 ? (0, 2) ,即当 n ? k ? 1 时结论也成立.

p 的最小值为 2 . 1 2 1 * 29、已知数列 {a n } 满足 an ?1 ? an ? nan ? 1(n ? N ) 且 a1 ? 3. 2 2
由①、②可知,猜想成立,即 ①计算 a2 、 a3 、 a4 的值,由此猜想数列 ②求证:当 n 【解析】⑴ a2

?an ? 的通项公式,并给出证明;

?2

n 时, a n

? 4n .
n

? 4 、 a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .
49

①当 n ? 1 时, a1

? 3 ,结论成立;
*

②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N 则当 n ? k + 1 时, ak ?1

) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,

1 2 1 1 1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 , 2 2 2 2
? n + 2(n ? N*) .

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ⑵原不等式等价于 (1 +

2 n ) ≥ 4 .证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; n 2 n 0 1 2 2 2 2 n 2 n 0 1 2 2 2 2 3 2 3 当 n ? 2 时, (1 ? ) ? Cn ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ≥ Cn ? Cn ? Cn ( ) ? Cn ( ) n n n n n n n 2 2 2 2 2 > C0 ? C1 ? Cn ( ) ? 5 ? ? 4 , n n n n n
综上所述,当 n ≥ 2 时, an
n

≥ 4nn .
?

30、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 、 a2 ? 2 , a3 ? 3 , an?2 ? an?1 ? 2an ? t ( n ? N ) .
(1)求实数 t 值; (2)由 a1 ? a2 、 a2 (3)数列

? a3 、 a3 ? a4 的值,归纳出 an ? an?1 与 n 的关系式,并证明你的猜想;
1

?bn ? 满足: b1 ? 2 , b2 ? 4 , bn? 2 ? 2 bn?1bn 2 ,与(2)的结论进行类比,请写出 bnbn?1 与 n 的关系式
? a2 ? 2a1 ? t

(不必证明) ) . 【解析】(1)由题意 a3

?t ? ?1
(2) 由题意 a1 猜想: an

? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 5, a3 ? a4 ? 9

? an?1 ? 2n ?1 .

下面用数学归纳法证明 ①当 n

? 1 时,由以上知命题成立.

②假设 n

? k ( k ? N ? )时,命题成立即 ak ? ak ?1 ? 2 k ? 1,

又? a n ? 2

? an?1 ? 2an ? t ,? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ? 1

? ak ?1 ? ak ? 2 ? 2(ak ?1 ? ak ) ? 1 ? 2 ? 2k ? 1? ? 1 ? 2 k ?1 ? 1 ,

? 当 n ? k ? 1 时命题成立.
综合以上知 an (3) 由题意 b1

? an?1 ? 2n ?1 对任意 n ? N ? 都成立;

? 2 , b2 ? 4 , b3 ? 8 ,? b1b2 ? 8 ? 23 , b2b3 ? 25 ? 32, b3b4 ? 29 ,

50

猜想: bnbn ?1

? 22

n

?1



31、如图已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A( x1 , y1 )( y1 ? 0) 、 B( x2 , y2 ) 两点,

T

为抛物线的准线与 x 轴的交点,若 TA ? TB

??? ???

? 1.

y A

①求直线 l 的斜率; ②求 ? ATF 的最大值.

T
O

F B

x

【解析】⑴因为抛物线

y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0? , T (?1,0) .
??? ???
??? ??? ? 1 矛盾,所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入

当 l ? x 轴时, A(1, 2) , B(1, ?2) ,此时 TA ? TB ? 0 ,与 TA ?TB

y 2 ? 4 x ,得 k 2 x2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 ,则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 2 2 , x1 x2 ? 1 ……①,所以 y1 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 2 k

??? ??? y1 y2 ? ?4 ……②,因为 TA ? TB ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得 k 2 ? 4 ,所以 k ? ?2 ;
⑵因为

y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ?

y y1 y 1 1 ? 21 ? ? 1 ,当且仅当 1 ? 即 y1 ? 2 时,取等号,所以 y1 1 4 y1 x1 ? 1 y1 ? ?1 4 y1 4

?ATF ?

? ? ,所以 ?ATF 的最大值为 . 4 4
2

32、如图,已知抛物线 M : x ? 4 py ( p ? 0) 的准线为 l , N 为 l 上的一个动点,过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切
点分别为

A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂足分别为 C , D . AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标;

(1)求证:直线

(2)若 ?ACN , ?BDN , ?ANB 的面积依次构成等差数列,求此时点 N 的坐标.

y

B

A C
【解析】解法一: (1)因为抛物线的准线 l 的方程为

x O N D
、 A 、 B 的坐标分别为 (m, ? p) 、 ( x1,1 ) , y

y ? ? p ,所以可设点 N

51

y

B

2 ( x2,2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 ,由 x2 ? 4 py ,得 y ? y

x2 4p

,求导数得

y? ?

y ? p x1 x ,于是 1 , ? 2p x1 ? m 2 p



x12 ?p x 4p ? 1 ,化简得 x12 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 , x1 ? m 2 p
2

同理可得 x2

? 2mx2 ? 4 p2 ? 0 ,所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程

x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 两个实数根,所以 x1,2 ? m ? m 2 ? 4 p 2 , y ? y1 2 且 x1 x2 ? ?4 p .在直线 AB 的方程 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) 中, x2 ? x1 y ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx 令 x ? 0 ,得 y ? y1 ? 2 x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q(0,p ) ,即抛物线的焦点. (2)由(1)知 x1 ? x2 ? 2m ,所以 N 为线段 CD 的中点,取线段 AB 的中点 E ,因为 Q 是抛物线的焦点,所以 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 AC ? BD ? AB ,所以 S?ANB ? S?ANE ? S?BNE 1 1 1 AC ? BD AB ? CN ? EN ? CN ? EN ? DN ? EN ? (CN ? DN ) ? EN ? CN ? ? CN ? , 2 2 2 2 2 AC ? CN AQ ? CN BD ? DN BQ ? CN AQ ? CN BQ ? CN AB ? CN ? ? 又因为 S ?ACN ? , S ?BDN ? ,所以 , , 2 2 2 2 2 2 2 成等差数列, AQ,BQ,AB 成等差数列, 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列, 即 即 所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ,x2 ? ?2 x1 ,
所以 x1 x2

? ?2 x12 ? (m ? m 2 ? 4 p 2 )(m ? m 2 ? 4 p 2 ) ? ?4 p 2 , x1 ? ? 2 p , x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p ,

x1 ? x2 x ?x 2 2 p ,所以所求点 N 的坐标为 ?? p , x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ? 1 2 ? 2 2 2 2 2 . (? p,? p) 2 解法二: (1)因为已知抛物线的准线 l 的方程为 y ? ? p ,所以可设点 N 、 A 、 B 的坐标分别为 (m, ? p) , ( x1,1 ) , y m?
2 ( x2,2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 ,设过 N y

点与抛物线相切的直线方程为 y ?

p ? k ( x ? m) ,与抛物线方程

x2 ? 4 py 联立,消去 y 得 x2 ? 4 pkx ? 4 pmk ? 4 p2 ? 0 ,因为直线与抛物线相切,所以 ? ? 16 p2k 2 ?16( pmk ? p2 ) ? 0 ,即 pk 2 ? mk ? p ? 0 ,解得 k1, ? 2
为 x1, 2

m ? m2 ? 4 p 2 2p

,此时两切点横坐标分别

? 2 pk ? m ? m 2 ? 4 p 2

,在直线

AB 的方程 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中,令 x ? 0 得 x2 ? x1

y ? y1 ?

y2 ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值,所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p

Q(0,p ) ,即抛物线的焦点.

m ? m2 ? 4 p 2 (2) (1) 由 知两切线的斜率分别为 k1, ? , k1 ? k2 ? ?1 , 则 所以 AN ? BN , 连接 QN , 则直线 QN 2 2p 2 2p y ? y1 x2 ? x12 x ? x 2m m 斜率为 kQN ? ? ,又因为直线 AB 的斜率 k AB ? 2 ,所以 ? ? 2 1? ? m x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 4p 2p

52

2p m ? ? ?1 ,所以 QN ? AB ,又因为 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 ?ACN ? ?AQN 、 m 2p ?BDN≌?BQN ,所以 ?AQN,?BQN 和 ?ANB 的面积成等差数列,所以 AQ,BQ,AB 成等差数列,所以 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , x2 ? ?2x1 , kQN ? k AB ? ?
所以 x1 x2

? ?2 x12 ? (m ? m 2 ? 4 p 2 )(m ? m 2 ? 4 p 2 ) ? ?4 p 2 , x1 ? ? 2 p , x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p ,
的坐标为

x1 ? x2 2 x ?x 2 ?? p , x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ? 1 2 ? p ,所以所求点 N 2 2 2 2 2 . (? p,? p) 2 m?
33、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x ?
2

y2 ? 1在第一象限的部分为曲线 C ,曲线 C 在其上动点 P( x0 , y0 ) 处的切线 4 ???? ??? ??? ? ? ? l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A 、 B ,且向量 OM ? OA ? OB . (Ⅰ)求切线 l 的方程(用 x0 表示).; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程. 2 1 2x 2 【解析】 (Ⅰ)因为 y ? 2 1 ? x ,所以 y? ? ? ,故切线 l 的方程为 ? (?2 x) ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2 2 x0 2 x0 2 ; y ? 2 1 ? x02 ? ? ( x ? x0 ) 即 y ? ? x? 2 2 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x02 2 x0 1 2 (Ⅱ)设 A( x1 ,0), B(0, y2 ) 、 M ( x, y ) 是轨迹上任一点,在 y ? ? 中令 y ? 0 ,得 x1 ? , x? 2 2 x0 1 ? x0 1 ? x0
? 0 ,得 y2 ?

令x

2 1 ? x02

1 ? ? x? x ???? ??? ??? ? ? ? ? 0 ,则由 OM ? OA ? OB 得 ? 2 ?y ? ? 1 ? x0 2 ?

消去 x0 ,得动点 M 的轨迹方程为

1 4 ? 2 ? 1( x ? 1) . 2 x y
34、已知动圆 P 过点 F (0, ) 且与直线 y ? ?
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 点.求证: MN ? x 轴.

1 4

1 相切. 4


A 、 B 两点,轨迹 C

A 、 B 两点处的切线相交于点 N

, M 为线段 AB 的中

y

F· P ·

O

x

53

【解析】 (1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x

(2) 证明:设 A( x1, x ) 、 B( x2 , x2 ) ,∵ y ? x ,
2 1 2
2

? y; ∴ y? ? 2 x ,∴ AN 、 BN
2

y

的斜率分别为 2x1 、 2x2 ,故
2 2

AN 的方程为 y ? x12 ? 2x1 ( x ? x1 ) ,
F· ,两式相减 P ·

? y ? 2 x1 x ? x12 ? BN 的方程为 y ? x ? 2x2 ( x ? x2 ) 即 ? 2 ? y ? 2 x2 x ? x2 ?
x1 ? x2 得 xN ? 2 x1 ? x2 ,又 xM ? ,∴ M 2

O

x

、 N 的横坐标相等,于是 MN

? x.

35、已知抛物线 L 的方程为 x2 ? 2 py? p ? 0? ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 .
⑴求

p 的值; A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.

⑵抛物线 L 上是否存在异于点

若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由 ?

?y ? x
2 ? x ? 2 py

解得

A(0,0), B(2 p,2 p)

∴4

2 ? AB ? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,∴ p ? 2
2

⑵由⑴得 x

? 4 y, A(0,0), B(4,4)

t2 假设抛物线 L 上存在异于点 A 、 B 的点 C (t , ) ( t ? 0 、 t ? 4 ) ,使得经过 A 、 B 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相 4
?a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? NA ? NB ? 同的切线,令圆的圆心为 N ( a, b) ,则由 ? 得? t2 ? NA ? NC ?a 2 ? b 2 ? (a ? t ) 2 ? (b ? ) 2 4 ?
? t 2 ? 4t a?? ?a ? b ? 4 ? t ? ? 8 得? , ∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y? |x ?t ? (t ? 0) , 又该切线与 NC 垂 1 2?? 2 2 ?4a ? tb ? 2t ? 8 t ?b ? t ? 4t ? 32 ? ? 8 ?

t2 2 2 4 ? t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 , 2 ? (? t ? 4t ) ? t ? t ? 4t ? 32 ? 2t ? 1 t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 , 直, ∴ ∴ 8 8 4 a ?t 2 4 b?
∵t

? 0 、 t ? 4 ,∴ t ? ?2 ,故存在点 C 且坐标为 (?2,1) .

36、已知 (1 ?

1 n x ) 展开式的各项按 x 的次数从低到高依次记为 a1 ( x) 、 a2 ( x) 、 a3 ( x) 、……、 an ( x) 、 an?1 ( x) . 2

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ?1)an?1 ( x) .

54

(Ⅰ)若 a1 ( x) 、 a2 ( x) 、 a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (Ⅱ)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 【解析】(Ⅰ)依题意 ak ( x )
n?1

(n ? 2) ?1 .

1 k 0 ? Cn ?1 ( x) k ?1 , k ? 1 、 2 、3 、……、 n ? 1 , a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 Cn ? 1 , 2 n 1 n(n ? 1) 1 1 2 C n ? ? , Cn ? ( ) 2 ? ,解得 n ? 8 ; 2 2 2 8

(Ⅱ)

F ( x) ? a1( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3( x), ?? nan( x) ?( n ?1) an?1( x)

1 0 1 1 2 1 n n 1 ? Cn ? 2Cn ( x) ? 3Cn ( x) 2 ? ? nCn ?1 ( x) n ?1 ? (n ? 1)Cn ( x) n 2 2 2 2
0 1 2 n n 0 1 2 n n F (2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ?? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn ,设 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ?? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn , n n 2 1 0 k n ? (n ?1)Cn ? nCn ?1 ?? 3Cn ? 2Cn ? Cn ,考虑到 Cn ? Cn ?k ,将以上两式相加得:

则 Sn

0 1 2 n n 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ?? Cn ?1 ? Cn )

所以 Sn

? (n ? 2)2n?1 ,又当 x ? [0, 2] 时, F '( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x) 是 [0, 2] 上的单调递增函数,所以对任意

x1 , x2 ?[0, 2] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? (n ? 2)2n?1 ?1 .
35、函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 的定义域为 [?2, t ] ( t ? ?2 ) ,设 f (?2) ? m 、 f (t ) ? n .
(1)求证: n ? m ; (2)求证:存在 x0 ? ? ?2, t ? ,满足 f ( x0 ) ?
/

n?m ;并确定这样的 x 0 的个数. t?2

【解析】 (1)设 h(t ) ? n ? m ,则 h ? t ? ?
2

t 3 ? 6t 2 ? 32 ? (t ? 2)(t ? 4)2 ? 0 ,所以 n ? m .
n?m 2 ? ? t ? 4? .又∵ f ' ? x ? ? 3x2 ? 12 x , 我们只要证明方程 t?2

(2)由(1)知 n ? m ? (t ? 2)(t ? 4) ,∴
2

3x2 ? 12x ? ?t ? 4? ? 0 ??? 在 ? ?2,t ? 内有解即可.记 g ( x) ? 3x2 ? 12 x ? (t ? 4)2 ,
则 g ? ?2? ? 36 ? ?t ? 4? ? ? ?t ? 2??t ? 10? , g ? t ? ? 3t ? 12t ? ?t ? 4? ? 2 ?t ? 2??t ? 4? ,
2 2 2

① ?2 ? t 当 ② t 当

? 4 时, g (?2) ? 0 , g (t ) ? 0 ,方程 ??? 在 ? ?2,t ? 内有且只有一解;

? 4 时, g ? x ? ? 3x2 ? 12x ? 3x( x ? 4) ,方程 ??? 在 ? ?2,t ? 内有且只有一解 x ? 0 ; ? 10 时, g ? ?2? ? ? ? t ? 2?? t ? 10? ? 0 , g ? t ? ? 2 ?t ? 2??t ? 4? ? 0 ,
2

③ 4?t 当

又 g ? 2? ? ?12 ? ? t ? 4? ? 0 ,∴ 方程 ? ?? 在 ? ?2,2? , ? 2,t ? 内分别各有一解,方程 ? ?? 在 ? ?2,t ? 内两解;

55

④ t 当 ⑤t

? 10 时,方程 g ? x ? ? 3x2 ? 12x ? 36 ? 3? x ? 2?? x ? 6? ? 0 在 ? ?2,10 ? 内有且只有一解 x ? 6 .
时, g (?2) ? 0 、 g (t ) ? 0 ,方程 ? ?? 在 ? ?2,t ? 内有且只有一解.

? 10

综上, 对于任意的 t ? ? 2 , 总存在 x0 ? ? ?2, t ? , 满足 f ' ? x0 ? ?

n?m . t ? ? 2 ? 1,? ? 当 ? , ? 0 ? 4 t?2

满足 ? 时, f ' ? x0 ? ?

n?m , t?2

x0 ? ? ?2, t ? 的 x0 有且只有一个;当 t ? ? 4,10 ? 时,满足 f ' ? x0 ? ?

n?m , x0 ? ? ?2, t ? 的 x 0 恰有两个. t?2

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