复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:集合与逻辑

单元训练:集合与逻辑 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.在下列四个结论中,正确的有( (1) x
2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 )

? 4是x 3 ? ?8 的必要非充分条件;

(2) ?ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的充要条件; (3) x ?

y ? 3是x ? 1或y ? 2 的充分非必要条件;

(4) sin x ? tan x是 cot x ? 0 的充要条件. A .(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 2.设集合 A={1,2,3,4}, B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)的元素个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.设 a?R,则 a>1 是

1 <1 的( a

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题中的假命题是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 B. ?x ? R, tan x ? 1 C. ?x ? R, x
3

)

?0 ?0
)

D. ?x ? R, 2 5.集合 A ?

x

?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为(

A .1 B.2 C.3 D. 4 2 2 6.已知 p:存在 x∈R,mx +1≤0;q:对任意 x∈R,x +mx+1>0,若 p 或 q 为假,则实数 m 的 取值范围为( ) A.m≤-2 B.m≥2 C.m≥2 或 m≤-2 D.-2≤m≤2 7.对于集合 A,B, “A∩B=A∪B”是“A=B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知命题 p :

?x ??0,1?, a ? ex ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 4x ? a ? 0 ,若命题 p, q 均是真命
C. [e, 4] D. (??,1]

题,则实数 a 的取值范围是( ) A. [4, ??) B. [1, 4] 9. 给出下列个两个命题: 命题 p1 : y

? ln?(1 ? x)(1 ? x)? 为偶函数;命题 p 2 :函数 y ? ln
1

1? x 1? x

是奇函数,则下列命题是假命题的是( A. p1 ? p 2 B. p1 ? ?p 2

) C. p1 ? p 2 ) B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 ) C.非 p 且 q D.非 p 或 q D.

p1 ? ?p 2

10.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则( A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 的函数.则下列复合命题中的真命题是( A.p 且 q 12.集合 A ? {( x, y ) y ? 是( ) B. 2 个 B.p 或 q

11.给出两个命题:p:|x|=x 的充要条件是 x 为正实数;q:存在反函数的函数一定是单调递增

2 2 x ? 0} , B ? {( x, y ) x ? y ? 1} ,C= A ? B ,则 C 中元素的个数

A. 1 个

C. 3 个 共 90 分)

D. 4 个

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.命题“对任何 x ? R,

x ? 2 ? x ? 4 ? 3 ”的否定是

14.以下四个命题,是真命题的有 (把你认为是真命题的序号都填上). ①若 p:f(x)=lnx-2+x 在区间(1,2)上有一个零点; q:e0.2>e0.3,则 p∧q 为假命题; ②当 x>1 时,f(x)=x ,g(x)= x ,h(x)=x 的大小关系是 h(x)<g(x)<f(x); ③若 f′(x0)=0,则 f(x)在 x=x0 处取得极值; ④若不等式 2-3x-2x >0 的解集为 P,函数 y= x+2+ 1-2x的定义域为 Q,则“x ∈P”是 “x∈Q”的充分不必要条件. 15.集合 A ?
2 2

1 2

-2

?0,2, a? , B ? ?1, a 2 ? ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为

.

16.集合 A ? x ? R| x ? 2 ? 5 中最小整数位

?

?

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知命题 p:方程

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:双曲线 ? ?1 2m m ? 1 5 m

的离心率 e ? (1,2) ,若 p、q 有且只有一个为真,求 m 的取值范围。 18.已知命题 p : 任意实数 m ?

??1,1? 恒成立;命题 q:

x1和x2 是方程 x 2 ? m x? 2 ? 0 的两个实根,不等式 a2 ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 对
方程 a
2 2

x ? ax ? 2 ? 0在[?1,1] 上有解.


若命题 p 是假命题且命题 q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

1 ∈A,a≠1 且 1-a (1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)A 能否为单元素集合?请说明理由.
19.设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

2

(3)若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

20.已知集合 A ? {x | 的取值范围.

2x 2 ? mx ? 1 ? 0}, B ? {x |

( x ? 6)(x ? 8) 2 ? 0} ,若 B ? A, 求 m ( x ? 4) 3

2?
21.函数 f(x)= 函数 g(x)= (1)求 A;

x?3 x ? 1 的定义域为 A,
的定义域为 B。

lg ?? x ? a ? 1?? 2a ? x ? ? ? ?

(2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围。 2 2 2 22.已知 P: “直线 x+y?m=0 与圆(x?1) +y =1 相交” “m -4m<0”若 p∪q 为真命题,错误! ,q: 未找到引用源。 错误!未指定书签。p 为真命题,求 m 的取值范围。

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

【答案】D 【答案】C 【答案】A 【答案】C 【答案】D 【答案】B 【答案】C 【答案】C 【答案】D

10. 【答案】C 11. 【答案】B 12. 【答案】A 13. 【答案】 14. 【答案】①②④ 15. 【答案】4 16. 【答案】 ? 3 17. 【答案】由命题 P 得: 0 ? m ?

1 3

1 ? m ? 15 3 2 18. 【答案】∵ x1 , x2 是方程 x ? m x ? 2 ? 0 的两个实根,
由命题 Q 得:0<m<15 故 m 的取值范围是 ∴? ∴

? x1 ? x2 ? m, ? x1 x2 ? ?2,
x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? m 2 ? 8 ,
3

∴当 m?

??1,1? 时, x1 ? x2 max ? 3 ,
2
2 2

由不等式 a
2

? 5a ? 3 ? x1 ? x2 对任意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立,

x ? ax ? 2 ? 0在[?1,1] 上有解为真命题,则 ?ax ? 2??ax ? 1? ? 0 2 1 2 1 ? x ? ?? 1,1? ? ? ? 1或 ? 1 ? a ? 1 显然 a ? 0 ,? x ? ? 或x ? a a a a ? a ? 1或a ? ?1 因为命题 p 是假命题且命题 q 是真命题, ?? 1 ? a ? 6 ?1 ? a ? 6 ?? ?a ? 1或a ? ?1
若命题 q :方程 a 19. 【答案】(1)∵ 2∈A, ∴ ∴ ∴

可得 a ? 5a ? 3 ? 3 ,∴ a ? 6 或 a ? ?1 ,∴命题 p 为真命题时 a ? 6 或 a ? ?1 ;

1 1 = =-1∈A; 1-a 1-2 1 1 1 = = ∈A; 1-a 1+1 2

1 1 = =2∈A. 1-a 1- 1 2
1 . 2

因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 (2)如果 A 为单元素集合,则 a= 内,A 不可能是单元素集. (3)证明: a∈A?

1 2 ,整理得 a -a+1=0,该方程无实数解,故在实数范围 1-a

1-a 1 1 1 ∈A? ∈A? ∈A,即 1- ∈A. 1 a 1-a 1-a+1 1- 1-a

20. 【答案】

( x ? 6)(x ? 8) 2 ? 0 得 B= (4,6) ( x ? 4) 3
2

2 ? ? f (4) ? 2 ? 4 ? 4m ? 1 ? 0 设函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 1, 由 B ? A, 可知 ? ? f (6) ? 2 ? 6 2 ? 6m ? 1 ? 0 ?

解得 m ? ?

71 . 6

21. 【答案】 (1)A:x<-1 或 x≥1; (2)B: (x-a-1) (x-2a)<0?

∵φ ≠B ? A,∴①

?a ? 1? 2a ? ?2a ? ?1或a ? 1 ? 1

∴a>1

或②

?a ? 1? 2a ? ?a?!? ?1或2a ? 1

1 ∴a≤-2 或 2 ≤a<1;

4

1 ∴a>1 或 a≤-2 或 2 ≤a<1;
22. 【答案】∵P∪q 为真命题, p 为假命题,所以 p 假 q 真 x+y-m=0 由 2 2 (x?1) +y =1 2 2 若 p 为假,则 ?=4(1+m) -4?2?m ≤0 ∴m≥1+ 2或 m≤1- 2 2 若 q 为真,m -4m<0,则 0<m<4 ∴p 假 q 真时,1+ 2≤m<4 ∴m 的取值范围是 1+ 2, 4)

5


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