复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:概率

单元训练:概率 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.从 2010 名学生中选 50 人组成参观团,先用简单随机抽样方法剔除 10 人,再将其余 2000 人 按系统抽样方法选取,则每人入选的概率( A.不全相等 B 均不相等 ) C.都是 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

5 201

D.都是

1 40

2.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的 两个事件是( ) B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 D.至少有 1 个白球,都是红球 A.至少有 1 个白球,都是白球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球

3.某游戏中,一个珠子从如右图所示的通道(图中的斜线)由上至下滑下,从最大面的六个出 口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口 3 出来,那么你取胜的 概率为( )

A.

5 16

B.

5 32

C.

1 6

D.以上都不对 )

4.设随机变量 X 的分布列为 P ( X ? i ) ? A.

1 9

B.

1 6

i , i ? 1,2,3 ,则 P(X ? 2) ? ( 2a 1 1 C. D. 3 4

5.若随机变量 X 的概率分布密度函数是

f ( x) ?

1 2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)



E (2 X ? 1) 的值是(
A.5

) B.9 C.3 D.2

6.设 是一个离散型随机变量,其分布列为:

?

则 等于( A.1

q

) B.1± 2 2 C.1- 2 2 D.1+ 2 2

7.下列事件:①一个口袋内装有 5 个红球,从中任取一球是红球;②抛掷两枚骰子,所得点数 之和为 9;③ x2 ? 0 ( x ? R) ;④方程 x2 ? 3x ? 5 ? 0 有两个不相等的实数根;⑤巴西足球队会

1

在下届世界杯足球赛中夺得冠军。其中,随机事件的个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4 )

8.随机变量 X 服从二项分布 X~ B A.

?n, p ?,且 EX ? 300, DX ? 200, 则 p 等于(
C. 1
2

2 3

B.

1 3

D. 0 )

9.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, ? ) P( X ? 4) ? 0.8 ,则 P(X ? 0) ? ( , A. 10.从 ( 4 0.4 B.0.2 C.0.6 D.0.8 )

x?

1 20 ) 的展开式中任取一项,则取到有理项的概率为( x
B.

A.

5 21

2 7

C.

3 10

D.

3 7
)

11.某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中,从 3 道文史题和 4 道理科题中,不放回地 抽取 2 道题,第一次抽到文史题,第二次也抽到文史题的概率是( A.

1 ;B. 6 ;C. 3 ;D. 9 ; 14 7 49 49
)

12.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并且以线段 AM 为边的正方形,则这正方形的面积介 于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为( 1 A. 4 1 B. 3

4 C. 27
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

12 D. 45

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.随机变量ξ 的分布列为

则ξ 为奇数的概率为 . 14.某渔船要对下月是否出海做出决策,如出海后遇到好天气,可得收益 6000 元,如出海后天 气变坏将损失 8000 元,若不出海,无论天气如何都将承担 1000 元损失费,据气象部门的预 测下月好天的概率为 0.6,天气变坏的概率为 0.4,则该渔船应选择_____________(填“出 海”或“不出海”. ) 15.在 12 个正整数(其中 10 个偶数,2 个奇数)中,随机抽取 3 个的必然事件是 ___________________. 16.设

f ( x)与g(x)都是定义在 R 上的函数,且 g ( x) ? 0, f ( x) ? a x g ( x),

f (1) f (?1) 5 ? ? . g (1) g (?1) 2

在数列 {

f ( n) 15 }(n ? 1, 2,?,10) 中,任取前 k 项相加,则前 k 项和大于 的概率为 16 g ( n)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2

17.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月 份是我降雨量 X(单位:毫米)有关,据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5.已 知近 20 年 X 的值为:140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表

(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率,求 今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 18.某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯 是否符合低碳观念的调查, 若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族” 否则称为 , “非低碳族” , 得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (2)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动,其 ... 中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的分布列和期 望 EX . 19.为了解今年某校高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画 出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第

2 小组的频数为 12 .

3

频率/组距

0.037

0.013 50 55 60 65 70 75 体重

(1)求该校报考清华大学的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华大学的同学中任选三人, 设 ? 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 ? 的分布列及数学期望. 20.已知关于 x 的一元二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a ? 0) ,设集合 P ? {1,2,3}, Q ? {?1,1,2,3,4} ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到的数对 ( a, b) . (1)列举出所有的数对 ( a, b) , 并求函数 y ? f ( x ) 有零点的概率; [ (2)求函数 y ? f ( x)在区间1,??) 上是增函数的概率.

21.用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出 100 个逐个进行直径检验,结果如下:

从这 100 个螺母中,任意抽取 1 个,求事件 A(6.92<d≤6.94) 事件 B(6.90<d≤6.96) 、事件 C(d>6.96) 、事件 D(d≤6.89)的频率. 22. 某社区举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有 10 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” (世博会吉祥物)图案. 参加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖. (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人笑说:我只知道若从盒中抽 两张都不是“海宝”卡的概率是

1 .求抽奖者获奖的概率; 3

(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽.用 ? 表示获奖的人数.求 ? 的分布列 及 E? , D? .

4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

【答案】C 【答案】C 【答案】A 【答案】C 【答案】C 【答案】C 【答案】B 【答案】B 【答案】B

10. 【答案】B 11. 【答案】A 12. 【答案】A 13. 【答案】 8 15

14. 【答案】出海 15. 【答案】至少有一个是偶数 16. 【答案】

3 5

17. 【答案】 (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为

(II)P( “发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时” )

? P(Y ? 490或Y ? 530) ? P ( X ? 130或X ? 210) ? P( X ? 70) ? P ( X ? 110) ? P ( X ? 220) 1 3 2 3 ? ? ? ? . 20 20 20 10
故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 (万千瓦时) 或超过 530 (万千瓦时) 的概率为

3 . 10

18. 【答案】 (1)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

5

第一组的人数为

120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2

由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 ,所以

p?

195 ? 0.65 . 300

第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . (2)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为

60 : 30 ? 2 :1 , [40, [45,50) 岁中有 6 人.随 所以采用分层抽样法抽取 18 人, 45) 岁中有 12 人,
机变量 X 服从超几何分布.

P( X ? 0) ?

0 3 C12C6 C1 C 2 15 5 , P( X ? 1) ? 12 3 6 ? , ? 3 C18 204 C18 68

2 1 3 0 C12C6 33 C12C6 55 , P( X ? 3) ? . P( X ? 2) ? 3 ? ? 3 C18 68 C18 204

所以随机变量 X 的分布列为

∴数学期望 EX ? 0 ?

5 15 33 55 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2. 204 68 68 204

19. 【答案】1) ( 设报考清华大学的人数为 n ,前三小组的频率分别为

p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

? p 2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p 2 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1

p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375 12 又因为 p 2 ? 0.25 ? ,故 n ? 48 n
解得 (2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为
6

p ? p3 ? (0.037 ? 0.013 ) ? 5 ?
·

5 8

所以 x 服从二项分布, p ( x ? k ) ? C 3 ( ) ( )
k k

5 8

3 8

3? k

随机变量 x 的分布列为:

则 Ex ? 0 ?

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8

或: Ex ? 3 ?

5 15 ? 8 8

20. 【答案】 (1) (a, b)共有(1,?1), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,?1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),

(3,?1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4) ,15 种情况
函数

y ? f ( x)有零点 ? ? b 2 ? 4a ? 0 , ,

有(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共 6 种情况 , , , , , 所以函数 y ? f ( x)有零点的概率为

6 2 ? 15 5 b , (2)函数 y ? f ( x)的对称轴为 x ? 2a b ? 1, 在区间1,??) 上是增函数则有 [ 2a
(1,—1)(1,1)(1,2)(2,—1)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) , , , , , , , ,

(3,—1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) , , , , ,共 13 种情况满足条件 所以函数 y ? f ( x)在区间[1,?? )上是增函数的概率为 21. 【答案】事件 A 的频率 P(A)=

13 . 15

17 ? 26 =0.43,事件 B 的频率 100 10 ? 17 ? 17 ? 26 ? 15 ? 8 2?2 P(B)= =0.93,事件 C 的频率 P(C)= =0.04, 100 100 1 事件 D 的频率 P(D)= =0.01. 100
2 Cn 1 22. 【答案】 (Ⅰ)设“世博会会徽”卡有 n 张,由 2 ? ,得 n =6. C10 3 2 C4 2 ? . 2 C10 15

故“海宝”卡有 4 张. 抽奖者获奖的概率为

(Ⅱ) ? ? B (4, 或

2 ), 15

13 k k 2 ? 的分布列为 p(? ? k ) ? C4 ( ) k ( ) 4?(k=0,1,2,3,4) 15 15

7

? E? ? 4 ?

2 8 ? , 15 15

D? ? 4 ?

2 2 104 ? (1 ? ) ? 15 15 225

8


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