广东省东莞市某中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

高 2013 届
一.选择题:

数学(理)期中考试试卷

1. 设集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R}, N ? {x | y ? 3 ? x 2 , x ? R} ,则 M ? N 等于

(

)
B.

A. [? 3, 3]

[?1, 3]

C. { 2

,1 } )

D.{ -

1 , 2 }

2

若 sin(

?
2

??) ?

1 ,则 cos 2? 的值为( 3
B. ?

1 1 C. 3 3 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?1,0) ,则 | a ? 2b |? (
A. ? A. 1 B. 2 C.

2 3

D. )

2 3

2

D. 4 )

4), 4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3, C (2, k ) ,若 ? B 为锐角,则实数 k 的取值范围是(
A. k ? 5 B. k ? 5
1 ? 2

C. 3 ? k ? 5 ,则有( )

D. k ? 3或3 ? k ? 5

5.已知 a ? 1g 0.8, b ? 1g11, c ? 2

A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b 6. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a3 ? a11 ? 6 ,那么 s9 ? ( A. 18 B. 8 C. 2 ) 7.已知函数 f ( x) ? x ? sin x 则 f ( x ) 的零点的个数为 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个

D. b ? c ? a ) D. 36

D.无数个

8.若函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题: ①函数 f ( x) 可以为一次函数; ②函数 f ( x) 的最小正周期一定为 6; ③若函数 f ( x) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个零点; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 , 则当且仅当 ? ? 2k? ? 足已知条件.其中错误的是 .. A.①② B.③④

?
3

(k ? Z ) 时, 函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满

C.①②③

D.①②④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分

1

9.

?

4

0

( x 2 ? 4)dx =

.

10.已知 | a |? 3,| b |? 4,(a ? b)? a ? 3b) ? 33 ,则 a 与 b 的夹角为______________ (
11.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (27,3) ,则 f (8) 的值是

?

?

? ?

?

?

?

?

4 的取值范围是_________________ x ?1 1 13. 已知 {an} 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? ,则 a1a2 ? a2a3 ? ?? anan?1(n ? N? ) 的值范 4
12 已知 2<x<4,则 f ( x ) ? x ?

围是_______________

14. 若直角坐标平面内 M、N 两点满足: ①点 M、N 都在函数 f(x)的图像上; ②点 M、N 关于原点对称,则称这两点 M、N 是函数 f(x)的一对“靓点” 。 已知函数 则函数 f(x)有 对“靓点” 。

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.
1 x 15.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? ( ) (?1 ? x ? 0) 的 2
值域为 B. (1)求 A? B ; (2)若 C ? {x | a ? x ? 2a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

? x ?? ? x ?? 16.已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? x ? ? ? . ?2 4? ? 2 4?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期;www. .com

2

(2) 若将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位得到函数 g (x) 的图象, 求函数 g (x) 6

在区间 ?0, ?? 上的最大值和最小值。

17.已知向量 m ? (sin A, sin B) ,n ? (cosB, cos A) ,m ? n ? sin 2C ,且 A 、B 、C 分别为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角。 (1)求角 C 的大小; ??? ??? ? ? (2)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? CB ? 18 ,求 c 边的长。

18.如图,两海上航线垂直相交于钓鱼岛 A,若已知 AB = 1OO 海里,甲渔船从 A 岛辙离,
沿 AC 方向以 50 海里/小时的速度行驶,同时乙巡航船从 B 码头出发,沿 BA 方向以 V 海里/小时的速度行驶,至 A 岛即停止前行(甲船仍继续行驶)(两船的船长忽略不计).

(1)

求甲、乙两船的最近距离(用含 v 的式子表示) ;

(2)若甲、乙两船开始行驶到甲、乙两船相距最近时所用时间为 T 小时,问 v 为何值时
“最大?

19.设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)设 Tn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? 3 3 3

n 2n 3 , n ? 1, 2,3,? ,证明: ? Ti ? 。 2 Sn i ?1

3

20.函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足: ①对于任意的 x, y ? R , f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f (1 ? x) f (1 ? y) ; ② f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递增. 求:(Ⅰ) f (0); (Ⅱ)不等式 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 的解集.

答 BBBDCAAD


) 1

16 3

1200

2

[5,6 )

[8,

15.解:(1)由题意得: A ? {x | x ? 2}

……………………………2 分

B ? { y | 1 ? y ? 2} A ? B ? {2}

……………………………………………………4 分 ……………………………………………………………6 分

(2)由(1)知: B ? { y | 1 ? y ? 2} ,又 C ? B (a)当 2a ? 1 ? a 时,a<1, C ? ? ,满足题意 (b)当 2a ?1 ? a 即 a ? 1 时,要使 C ? B ,则 ? 解得 1 ? a ? …………………8 分

?a ? 1 ? 2a ? 1 ? 2

…………10 分

3 2 3 2

………………………………………………………11 分 ………………………………………………12 分

综上, a ? (??, ] 16.解: (1) f ?x ? ?

?? ? 3 sin? x ? ? ? sin x 2? ?

? 3 cos x ? sin x ?????????2 分
4

= 2? sin x ?

?1 ?2 ?

? 3 ?? ? cos x ? ? 2 sin ? x ? ? ??????????????????4 分 ? 2 3? ? ?

所以 f ?x ? 的最小正周期为 2? ???????????????????????5 分 (2)∵将 f ?x ? 的图象向右平移 ∴ g ?x ? ? f ? x ?

? 个单位,得到函数 g ?x ? 的图象. 6

? ?

??

?? ?? ?? ?? ? ? ? 2 sin ?? x ? ? ? ? ? 2 sin? x ? ? ???????9 分 6? 6 ? 3? 6? ? ??

∵ x ? ?0, ? ? ,x ? 时

?

?? 7? ? ? ? , ? ??????????????????10 分 6 ?6 6 ?

∴当 x ?

?
6

?

?
2

,即x ?

?

?? ? 时, sin? x ? ? ? 1, g ?x ? 取得最大值 2.?????11 分 3 6? ?

当x?

?
6

?

7? ?? 1 ? ,即x ? ? 时sin ? x ? ? ? ? , g ? x ? 取得最小值—1.???12 分 6 6? 2 ?

17.解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) ????2 分 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.

????3 分

又? m ? n ? sin 2C ,

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

????7 分

, (2)由 sin A,sin C,sin B成等差数列 得2sin C ?sin A ?sin B ,
由正弦定理得 2c ? a ? b. ????9 分

??? ??? ? ? ?CA ? CB ? 18 ,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2 2

????12 分

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab, ????13 分

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,?c ? 6.

????14 分

5

4 1 2 a1 ? S1 ? a1 ? ? 22 ? 3 3 3 ,解得: a1 ? 2 19.解(I) 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3
所以数列

?a

n

? 2n ?

是公比为 4 的等比数列, 所以: (其中 n 为正整数)

an ? 2n ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1

n n 得: an ? 4 ? 2

4 1 2 4 1 2 2 Sn ? an ? ? 2n?1 ? ? ? 4n ? 2n ? ? ? 2n?1 ? ? ? 2n?1 ? 1?? 2n ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 (II)
Tn ? 2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n?1 ? ?? n ? n?1 ? n Sn 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以:

?T ? 2 ? ? 2 ?
i ?1 i

n

3 ? 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? 1 ?1 2 ?1 ? 2
1 ,??1 分 2

20 解: (Ⅰ)令 x ? 0, y ? 1 ,则 f (0) ? 2 f (0) f (1) ,所以 f (0) ? 0 或 f (1) ? 令 x ? 0, y ? 0 ,则 f (1) ? [ f (0)]2 ? [ f (1)]2 , 令x? y? 若 f (1) ?
1 1 ,则 f (1) ? 2[ f ( )]2 ,????????2 分 2 2

1 1 1 ,则 f (0) ? ? , f ( ) = 2 2 2

1 , 2

1 因为 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f (0) ? f ( ) ? f (1) ,矛盾! 2 因此 f (0) ? 0 ,??????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (1) ? [ f (1)]2 ,\

f (1) ? 1 .

6

令 y ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) f (0) ? f (1 ? x) f (1) ? f (1 ? x) . 所以 f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称。????????????5 分 令x?
1 3 1 3 1 1 , y ? ,所以 f (0) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f (? ) , 2 2 2 2 2 2

1 1 3 1 因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f (? ) ? ? f ( ) ? ? f ( ) , 2 2 2 2 令 y ? 2 ,有 f ( x ? 1) ? f ( x) f (2) ? f (1 ? x) f (?1) ,

对上式令 x ?

1 1 1 ,则 f (? ) ? f ( ) f (?1) ,所以 f (?1) ? ?1 . 2 2 2

????7 分

又因为 f (2) = f (0) = 0, 所以对任意的 x ? R ,恒有 f ( x ? 1) ? ? f (1 ? x) , 所以 f ( x ) 的图像关于原点对称。??????????9 分 所以对于任意 x ? R , f ( x) ? f (2 ? x) ? ? f ( x ? 2) ? ? f (4 ? x) ? f ( x ? 4) , 从而 f ( x) 的最小正周期为 4 . ????????11 分 这样可以大致描述 f ( x ) 的图像(如右)
1 2 1 2 令 x ? y ? , f ( ) ?2f( )f( ) , 3 3 3 3 2 1 1 5 1 因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f ( ) ? ,所以 f ( ) ? ,????????12 分 3 3 2 3 2

所以 2 f ( x + 1) - 1

0 ,可得到 f ( x + 1)

1 . 2

1 5 根据图像 ? 4k ? x ? 1 ? ? 4k , k ? Z , 3 3

2 2 所以不等式的解集是 {x | 4k ? ? x ? 4k ? , k ? Z} ??????14 分 3 3

7


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