高中数学知识点(经典总结必修+选修)

高中数学知识点 必修选修(全) 第一章:集合与函数概念 § 1.1.1 集合 1.把研究的对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素: 确定性、 互异性、 无序性. 2.只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等. 3.常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合: Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R . 4.集合的表示方法:列举法、描述法. § 1.1.2 集合间的基本关系 1.一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集 合 A 是集合 B 的子集.记作 A ? B . 2.如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作: A B. 3.把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? .并规定:空集合是任何集合的子集. 4.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集, 2 ? 1 个真子集. n n § 1.1.3 集合间的基本运算 1.一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A? B. 2.一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A? B. 3.全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } § 1.2.1 函数的概念 1.设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ?x ?, x ? A . 2.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应 关系完全一致,则称这两个函数相等. § 1.2.2 函数的表示法 1.函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 单调性与最大(小)值 1.注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =… (2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. § 1.3.2 奇偶性 1.一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2.一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函 数 f ?x ? 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1.函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 2.几种常见函数的导数 n ' n?1 ' ' ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ; ' x ' x x ' x ⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ? ' 1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x 3.导数的运算法则 ' ' ' ' ' ' (1) (u ? v) ? u ? v .(2) (uv) ? u v ? uv .(3) ( ) ? ' u v u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2 4.复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5.函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) > f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极小值. (2)判别方法: ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6.求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值(极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极 小值. 注: 极值是在局部对函数值进行比较 (局部性质) ; 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整 体性质). 第二章:基本初等函数(Ⅰ) § 2.1.1 指数与指数幂的运算 1.一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.其中

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