第一中学(经典1-1)高一数学上学期第一次月考试题

德州一中 2018—2019 学年第一学期高一年级月考 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题(共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分. 第 1 题至第 10 题每小题给出的四个选项中只有一项符合题目 要求;第.1.1.题.至.第.1.3.题.每.小.题.给.出.的.选.项.中.有.多.项.符.合.题.目.要.求.,全部选对得 4 分,多选或错选得 0 分,部分 选对得 2 分)

1、给出下列关系式: 3 ? R , 1 ? Q , ? 3? Z , 0 ?? ,其中正确的个数是( ) 2

A.0

B.1

C.2

D.3

2、已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5}, B ? {1, 2, 4, 6} ,若 P ? A ? B ,则集合 P 的子集个数为( )

A.8

B.7

C.4

D.3

3、一次函数 y ? x ? 1的图象与 x 轴的交点构成的集合为( )

A.{0 ,1}

B. {(0 ,1)}

C. {?1, 0} D.{(?1, 0)}

4、设集合 A ? {0,1, 2},则集合 B ? {x ? y | x ? A, y ? A}中元素的个数为( )

A.6

B.5

C.4

D.3

5、函数 f (x) ? x ? 2 ? (x ? 2)0 的定义域为( ) x?3

A.[?2, ? ?)

B. (?2, ? ?) C.[?2,3) ? (3, ? ?) D. (?2,3) ? (3, ? ?)

6、下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )

A. y ?| x |

B. y ? 3 ? x

C. y ? 1 x

D. y ? ?x 2 ? 4

7、已知函数 f (x) 为偶函数,且当 x ? 0时 f (x) ? x 2 ? 2x ?1 ,则 f (?1) 的值为( )

-1-

A.-2

B.0

C.1

D.2

8、函数 f (x) ? 1 ? 2x 的图象关于( )对称 x

A.y 轴

B.直线 x=1

C.坐标原点

D.直线 y ? x

9、已知 f (x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (?2) ? f (4) ,则( )

A. f (1) ? c ? f (?1) B. f (1) ? c ? f (?1) C. c ? f (?1) ? f (1) D. c ? f (?1) ? f (1)

10、已知定义在(-2,2)上的奇函数 f (x) 在[0,2)上单调递减,若 f (2m ?1) ? f (1? m) ? 0 ,则实数 m 的取
值范围为( )

A. m ? 0

B. 0 ? m ? 3 2

C. ?1 ? m ? 3

11、下列各组函数中是同一函数的是( )

D. ? 1 ? m ? 3

2

2

A. f (x) ? x 与 g(x) ? x2

B.

f

(x)

?

|

x x

|



g

(x)

?

? 1 ,(x ? 0) ???1,(x ? 0)

C. f (x) ? x ?1与 g(x) ? x 2 ? 1 x ?1

D. f (x) ? x 2 ? 1与 g(t) ? t 2 ? 1

12、二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c 的图象如右图所示,

则下列结论中正确的是( )

A. b ? 2a

B. a ? b ? c ? 0

C. a ? b ? c ? 0

D. abc ? 0

13、定义在 R 上的奇函数 f (x) 为减函数,偶函数 g(x) 在区间[0 , ? ?)上的图象与 f (x) 的图象重合,设 a ? b ? 0 ,
则下列不等式中成立为( )

A. f (b) ? f (?a) ? g(a) ? g(?b)

B. f (b) ? f (?a) ? g(a) ? g(?b)

C. f (a) ? f (?b) ? g(b) ? g(?a)

D. f (a) ? f (?b) ? g(b) ? g(?a)

-2-

第Ⅱ卷

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
14、已知 ? 3 ?{x ? 2, 2x2 ? 5x ,12} ,则 x 的值为_______ 15、已知 f (x) ? x 2 ? 2(a ? 1)x ? 1在区间 (??, ?1) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为________

16、设

f

(x)

?

?? ?

1 , x ?1 x

,则 f ( f (2)) ? ______, f (x) 的值域为_________

??x ? 2 , x ? 1

17、函数

f

(x)

?

?? (x ?1)2 ? 2a ? ? (1 ? a)x ? 5 ,

, x ?1 x ?1

满足对任意

x1

?

x2 都有

f

(x1) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0 成立,则实数 a 的取值范围

为________

三、解答题(共 6 个题,每题 13 分,共 78 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

18、已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 7} , B ? {x | ?3 ? x ? 5} . (1)求 A ? B , A ? B ; (2) (CR A) ? B .

19、已知 A ? {x | x ? ?1或x ? 3}, B ? {x | a ? x ? 2a ?1},若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

-3-

20、(1)已知函数 f (x ? 1) ? 2x2 ? x ? 1,求 f (x) 的解析式; (2)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f (x) ? x 2 ? x ,求 f (x) 的解析式.

21、某公司生产一种电子仪器的固定成本为 2 万元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数

g

(x)

?

??400x ?

?

1 2

x

2

(0 ? x ? 400) (单位:元),其中 x 是仪器的月生产量.

?? 80000 (x ? 400)

(1)将利润表示为月生产量的函数 f (x) ;

(2)当月生产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

22、已知函数 f (x) ? xm ? 2 ,且 f (2) ? 1. x
(1)求 m 的值; (2)判断 f (x) 的奇偶性; (3)判断 f (x) 在 (0, ? ?) 上的单调性,并给予证明.

23、已知二次函数 f (x) 的图象顶点为 A(1,-9),且图象在 x 轴上截得的线段长为 6. (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)当 x ?[0 , 2] 时,函数 g(x) ? f (x) ? 2tx ? 9 的图象恒在 x 轴的上方,求实数 t 的取值范围.
-4-

德州一中 2018—2019 学年第一学期高一年级月考

数学试题参考答案

一、选择题:

1~5:C A D B D

6~10:A D C B B 11、BD

12、ABCD 13、AC

二、填空题:

14、 ? 3 2

15、 a ? ?2

三、解答题:

16、 5 , (?? , 3] 2

17、1 ? a ? 2

18、解(1)∵ A ? {x | ?2 ? x ? 7} , B ? {x | ?3 ? x ? 5}

∴ A ? B ? {x | ?2 ? x ? 5} ------------------------------3 分

A ? B ? {x | ?3 ? x ? 7}

------------------------------6 分

(2)∵ A ? {x | ?2 ? x ? 7}

∴ CR A ? {x | x ? ?2或x ? 7}

-------------------------------9 分

∴ (CR A) ? B ? {x | ?3 ? x ? ?2} ----------------------------13 分

19、解:∵ A ? B ? A

∴B? A

----------------2 分

①若 B ? ? , 则 a ? 2a ?1,解得 a ? 1 --------------5 分

②若 B ? ? ,



? ??2a

a ?

?1 1?

?1

,无解

---------------8 分



?a ??a

? ?

1 3

,得 a ? 3

---------------11 分

综上得 a 的取值范围为 a ? 1或a ? 3

----------------13 分

20、解:(1)令 t ? x ?1 ,则 x ? t ?1

-5-

∴ f (t) ? 2(t ?1)2 ? (t ?1) ? 1 ? 2t 2 ? 5t ? 4

∴ f (x) ? 2x2 ? 5x ? 4

----------------------6 分

(2)设 x ? 0,则 ? x ? 0

∴ f (?x) ? (?x)2 ? (?x) ? x2 ? x

------------------8 分

∵ f (x) 是奇函数

∴ f (?x) ? ? f (x)

∴ x ? 0时 ? f (x) ? x2 ? x ,即 f (x) ? ?x 2 ? x --------------11 分



f

(x)

?

? x2 ? x , x ? 0

? ??

x2

?

x

,

x

?

0

------------------13 分

21、解(1) 0 ? x ? 400时, f (x) ? g(x) ? 20000 ?100x

? ? 1 x2 ? 300x ? 20000 2
x ? 400 时, f (x) ? g(x) ? 20000 ?100x ? 60000?100x



f

(x)

?

??? ?

1 2

x2

?

300x

?

20000 ,

0

?

x

?

400

??

60000 ?100x , x ? 400

---------------6 分

(2)当 0 ? x ? 400 时, f (x) ? ? 1 x2 ? 300x ? 20000 ? ? 1 (x ? 300)2 ? 25000

2

2

由二次函数的性质得 x ? 300时 f (x) 取得最大值 25000

由一次函数的性质得当 x ? 400 时, f (x) ? 60000?100x ? 20000

综上得 x ? 300时 f (x)max ? 25000

----------------------12 分

∴月生产 300 台时,公司所获利润最大,最大利润为 25000 元.--------13 分

22(1)由 f (2) ? 2m ?1 ? 1 , 得 m ? 1

-------------------------2 分

-6-

(2)由(1)得 f (x) ? x ? 2 x
∵ f (x) 的定义域为{x | x ? 0}

------------------------------3 分

且 f (?x) ? ?x ? 2 ? ?x ? 2 ? ? f (x) ---------------6 分

?x

x

∴ f (x) ? x ? 2 为奇函数 x

---------------7 分

(3) f (x) 在 (0, ? ?) 上单调递增

-----------------8 分

证明:设任意 x1 , x2 ? (0, ? ?) 且 x1 ? x2



f

(x1 ) ?

f

(x2 )

?

x1

?

2 x1

? (x2

?

2 x2

)

?

( x1

?

x2

)

?

(

2 x2

?

2 )
x1

?

( x1

?

x2 )(1 ?

2 x1 x2

)

--------------11 分

∵ x1 , x2 ? (0, ? ?) 且 x1 ? x2

∴1 ?

2 x1 x2

? 0 , x1

? x2

?0

∴ f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 即 f (x1) ? f (x2 )

∴ f (x) 在 (0, ? ?) 上单调递增

--------------------13 分

23、解(1)∵二次函数 f (x) 的图象顶点为 A(1,-9)

∴设 f (x) ? a(x ?1)2 ? 9 (a ? 0)

又二次函数 f (x) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 6

∴ f (x) 的图象与 x 轴的交点为(-2,0)和(4,0)

由 f (?2) ? 0 得 a ? 1
-7-

∴ f (x) ? (x ?1)2 ? 9 ? x2 ? 2x ? 8 ---------------5 分

(2)由(1)得 g(x) ? x2 ? 2(1 ? t)x ? 1

∵ x ?[0 , 2] 时,函数 g(x) 的图象恒在 x 轴的上方

∴ x ?[0 , 2] 时, g(x)min ? 0 g(x) 的图象开口向上,对称轴为 x ? 1? t

------------------------6 分

①1? t ? 0 即 t ? 1时 g(x) 在[0,2]上单调递增

∴ g(x)min ? g(0) ? 1 ? 0 恒成立,∴ t ? 1

------------------8 分

②1? t ? 2 即 t ? ?1时 g(x) 在[0,2]上单调递减



g ( x) m in

?

g(2)

?

4t

?1?

0 ,解得 t

?

?

1 4



∴无解

----------------10 分

③ 0 ? 1? t ? 2即 ?1 ? t ? 1时 g(x) 在[0,1-t]上单减,在[1-t,2]上单增

∴ g(x)min ? g(1 ? t) ? ?(1 ? t)2 ? 1 ? 0 ,解得 0 ? t ? 2,∴ 0 ? t ? 1 -------12 分

综上得 t 的取值范围为 t ? 0

-----------------------13 分

-8-


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