新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体练习 理

第 1 讲 空间几何体
1.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积 为( )

A.13+23π

B.13+

2 3π

C.13+

2 6π

D.1+

2 6π

答案 C

解析 由三视图知,半球的半径 R= 22,四棱锥是底面边长为 1,高为 1 的正四棱锥,∴V

=13×1×1×1+12×43π

×???

22???3=13+

2 6π

,故选

C.

2.(2016·课标全国丙)在封闭的直三棱柱 ABC—A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB⊥BC,

AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( )

A.4π B.9π2 C.6π D.323π

答案 B 解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3,所以球的最大直径为 3,V 的最大值为9π2 .

3.(2015·山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC=π2 ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD

所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.43π C.53π D.2π

1

答案 C

解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋

转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半

径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π ·AB2·BC-

1 3·π

·CE2·DE=π

×12×2-13π

×12×1=53π

,故选

C.

4.(2016·浙江)如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= 5,∠ADC=90°, 沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD′,直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是________.

答案

6 6

解析 设直线 AC 与 BD′所成角为 θ ,平面 ACD 翻折的角度为 α ,设点 O 是 AC 的中点,由

已知得 AC= 6,如图,

以 OB 为 x 轴,OA 为 y 轴,过点 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,

由 A???0, 26,0???,B??? 230,0,0???,C???0,- 26,0???,作 DH⊥AC 于点 H,翻折过程中,D′H 始

终与

AC

垂直,CH=CCDA2=

1= 6

66,则

OH=

36,DH=1×6

5=

630,

2

因此可设 D′???- 630cos α ,- 36, 630sin α ???,

则—BD—′→=???- 630cos α - 230,- 36, 630sin α ???,与C→A平行的单位向量为 n=(0,1,0),

6

所以 cos θ =|cos〈—B—D′→,n〉|=????|—B—BD—D—′→′→|··n|n|????=

3 ,
9+5cos α

所以 cos α =-1 时,cos θ 取最大值 66.

1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一 三视图与直观图 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图 的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、 宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体. 例 1 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体 的表面积为( )

A.20π B.24π C.28π D.32π (2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
3

答案 (1)C (2)D

解析 (1)由三视图可知,组合体的底面圆的面积和周长均为 4π ,圆锥的母线长 l=

3

2+22=4,所以圆锥的侧面积为

S

1 锥侧=2×4π

×4=8π

,圆柱的侧面积

S

柱侧=4π

×4

=16π ,所以组合体的表面积 S=8π +16π +4π =28π ,故选 C.

(2)所得几何体的轮廓线中,除长方体原有的棱外,有两条是原长方体的面对角线,它们在侧

视图中落在矩形的两条边上,另一条是原长方体的体对角线,在侧视图中体现为矩形的自左

下至右上的一条对角线,因不可见,故用虚线表示,由以上分析可知,应选 D.

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到

的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底

面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、

面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.

跟踪演练 1 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
4

答案 (1)D (2)B 解析 (1)由俯视图,易知答案为 D. (2)由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合.从上往下看,外层轮廓线 是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个三角形. 热点二 几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握 各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割 成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例 2 (1)(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.16 B.13 C.12 D.1 (2)如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 C1D1 与 C1B1 上,且 C1E=4, C1F=3,连接 EF,FB,DE,BD,则几何体 EFC1-DBC 的体积为( )
5

A.66

B.68

C.70

D.72

答案 (1)A (2)A

解析 (1)由三视图知,三棱锥如图所示:

由侧视图得高 h=1, 又底面积 S=12×1×1=12. 所以体积 V=13Sh=16. (2)如图,连接 DF,DC1,

那么几何体 EFC1-DBC 被分割成三棱锥 D-EFC1 及四棱锥 D-CBFC1,那么几何体 EFC1-DBC 的 体积为 V=13×12×3×4×6+13×12×(3+6)×6×6=12+54=66. 故所求几何体 EFC1-DBC 的体积为 66. 思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和.(2)求 体积时可以把空间几何体进行分解,把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积 的和或差.求解时注意不要多算也不要少算. 跟踪演练 2 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

答案

45 2

解析 由三视图可知,该几何体为如图所示的多面体 ABCDEF(置于长方体 ABCD—MNFG 中去观

察),且点 E 为 DG 的中点,可得 AB=BC=GE=DE=3,连接 AG,所以多面体 ABCDEF 的体积为

6

V

多面体

V = ABCDEF

三棱柱

-V ADG—BCF

三棱锥

1

11

45

A—GEF=2×(3+3)×3×3-3×(2×3×3)×3= 2 .

热点三 多面体与球

与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接

点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为

正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球

面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,

球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.

例 3 (1)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB

=1,AC=2,∠BAC=60°,则球 O 的表面积为( )

A.4π C.16π

B.12π D.64π

(2)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,

再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体

积为( )

A.5030π cm3

C.1

372π 3

cm3

答案 (1)C (2)A

解析 (1)在△ABC 中,

B.8636π cm3

D.2

048π 3

cm3

7

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3, ∴AC2=AB2+BC2, 即 AB⊥BC, 又 SA⊥平面 ABC,

∴三棱锥 S-ABC 可补成分别以 AB=1,BC= 3,SA=2 3为长、宽、高的长方体,

∴球 O 的直径= 12+ 3 2+

3 2=4,

故球 O 的表面积为 4π ×22=16π .

(2)过球心与正方体中点的截面如图,

设球心为点 O,球半径为 R cm,正方体上底面中心为点 A,上底面一边的中点为点 B,

在 Rt△OAB 中,OA=(R-2)cm,

AB=4 cm,

OB=R cm,

由 R2=(R-2)2+42,得 R=5,

∴V

4 球=3π

R3=5300π

(cm3).故选

A.

思维升华 三棱锥 P-ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形:

(1)点 P 可作为长方体上底面的一个顶点,点 A、B、C 可作为下底面的三个顶点;

(2)P-ABC 为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.

跟踪演练 3 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积

分别为 22, 23, 26,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为________.

答案 6π 解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球恰为三棱锥

8

的外接球,

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.

?AB·AC= 2, ? 据题意 AC·AD= 3,
?AB·AD= 6,

?AB= 2, ? 解得 AC=1,
?AD= 3,

∴长方体的体对角线长为 AB2+AC2+AD2= 6, ∴三棱锥外接球的半径为 26. ∴三棱锥外接球的体积为 V=43π ·( 26)3= 6π .

1.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.16

B.8 2+8

C.2 2+2 6+8

D.4 2+4 6+8

押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一,也是高考命题的热

点.此类题常以三视图为载体,给出几何体的特征,求几何体的表面积或体积.

答案 D

解析 由三视图知,

该几何体是底面边长为 22+22=2 2的正方形,高 PD=2 的四棱锥 P-ABCD,因为 PD⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 是正方形,
9

易得 BC⊥PC,BA⊥PA,

又 PC= PD2+CD2= 22+

2 2=2 3,

所以 S△PCD=S△PAD=12×2×2 2=2 2,

S△PAB=S△PBC=12×2 2×2 3=2 6.

所以几何体的表面积为 4 6+4 2+8.

2.在正三棱锥 S-ABC 中,点 M 是 SC 的中点,且 AM⊥SB,底面边长 AB=2 2,则正三棱锥

S-ABC 的外接球的表面积为( )

A.6π

B.12π

C.32π

D.36π

押题依据 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决,解法灵活,是高考的热点.

答案 B

解析 因为三棱锥 S-ABC 为正三棱锥,所以 SB⊥AC,又 AM⊥SB,AC∩AM=A,所以 SB⊥平

面 SAC,所以 SB⊥SA,SB⊥SC,同理,SA⊥SC,即 SA,SB,SC 三线两两垂直,且 AB=2 2, 所以 SA=SB=SC=2,所以(2R)2=3×22=12,所以球的表面积 S=4π R2=12π ,故选 B.

3.已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的体积与圆柱的体积的

比值为________. 押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一,也是高考的热点问题之一,主

要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱,来考查球与圆柱的 体积计算,设问角度新颖,值得关注.

答案

42 3

解析 如图所示,

设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r , 则 圆 柱 的 侧 面 积 为 S = 2π r×2 1-r2 = 4π r 1-r2
10

r2+ ≤4π ×

-r2 2

=2π (当且仅当 r2=1-r2,即 r= 22时取等号).

所以当 r= 22时,

VV圆球柱= π

4π 3

×13

2 2



=4 3 2. 2

A 组 专题通关 1.如图所示,将图(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图(2)中的几何体,则该几何体的侧 视图为( )

答案 B 解析 由所截几何体可知,FC1 被平面 AD1E 遮挡,可得 B 图. 2.下图是棱长为 2 的正方体的表面展开图,则多面体 ABCDE 的体积为( )

2

A.2

B.3

C.43

D.83

答案 D

解析 多面体 ABCDE 为四棱锥(如图),利用割补法可得其体积 V=4-43=83,选 D.

11

3.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )

A.8-2π

B.8-π

C.8-π2

D.8-π4

答案 B

解析 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为 2 的正方体切去两个四分之一圆柱而成,所

以该几何体的体积为 V=(22-2×14×π ×12)×2=8-π .

4.(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该

几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r 等于

()

A.1 B.2 C.4 D.8 答案 B 解析 如图,
12

该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,圆柱的底面半径为 r,高为 2r, 则表面积 S=12×4π r2+π r2+4r2+π r·2r=(5π +4)r2.又 S=16+20π , ∴(5π +4)r2=16+20π ,∴r2=4,r=2,故选 B. 5.如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折 成四面体 A′BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′BCD 的顶点在同一个球面上,则该 球的体积为( )

A.

3 2π

C.

2 3π

答案 A 解析 如图所示,

B.3π D.2π

取 BD 的中点 E,BC 的中点 O,连接 A′E,EO,A′O,OD.因为平面 A′BD⊥平面 BCD,A′E⊥BD, 平面 A′BD∩平面 BCD=BD, A′E? 平面 A′BD, 所以 A′E⊥平面 BCD. 因为 A′B=A′D=CD=1,BD= 2, 所以 A′E= 22,EO=12,所以 OA′= 23. 在 Rt△BCD 中,OB=OC=OD=12BC= 23,
13

所以四面体

A′BCD

的外接球的球心为

O,球的半径为

23,所以

V

4 球=3π

(

23)3=

3 2π

.故选

A.

6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),

∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.

答案

2+

2 2

解析 如图,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E,

则在

Rt△ABE

中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=

2 2.

而四边形 AECD 为矩形,AD=1,

∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC= 22+1.

由此可还原原图形如图.

在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=

2 2 +1,

且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, ∴这块菜地的面积为 S=12(A′D′+B′C′)·A′B′

=12×(1+1+ 22)×2=2+ 22. 7.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2, 体积是________cm3.

14

答案 72 32 解析 由三视图可知,该几何体为两个相同长方体的组合,长方体的长、宽、高分别为 4 cm、 2 cm、2 cm,其直观图如下:

其体积 V=2×2×2×4=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形,所以 表面积为 S=2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=2×(8+32)-8=72(cm2). 8.如图所示,从棱长为 6 cm 的正方体铁皮箱 ABCD—A1B1C1D1 中分离出来由三个正方形面板组 成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛的水的体积为________ cm3.

答案 36

解析 最多能盛多少水,实际上是求三棱锥 C1—CD1B1 的体积.

V =V 又 三棱锥C1—CD1B1

三棱锥C —B1C1D1

=13×(12×6×6)×6=36(cm3),

所以用图示中这样一个装置来盛水,最多能盛 36 cm3 体积的水.

9.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的

最大球的半径等于____________.

15

答案 2 解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.
由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半径 最大,故其半径 r=12×(6+8-10)=2. 10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三 角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的投影是矩形中心的四 棱锥 E-ABCD.
(1)V=13×(8×6)×4=64. (2)四棱锥 E-ABCD 的两个侧面 EAD,EBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高 h1=
16

42+

8 2

2=4 2;

另两个侧面 EAB,ECD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高 h2=

42+

6 2

2=5.

因此 S=2×(12×6×4 2+12×8×5)=40+24 2.

B 组 能力提高

11.(2015·湖南)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能

大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为

(材料利用率=新 原工 工件 件的 的体 体积 积)(

)

A.98π

B.91π6

2- 3 C.
π

2- 3 D.
π

答案 A

解析 设三视图对应的几何体为底面半径为 1,高为 2 的圆锥.如图,

设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,上、下底面中心分别为 O1,O2,上方截得的小圆锥 的高为 h,底面半径为 r,则 a2+b2=4r2.由三角形相似,得SSOO21=OO12AB, 即h2=r1,则 h=2r.长方体的体积为 V=abc=ab(2-2r)≤a2+2 b2×(2-2r)=2r2(2-2r)=4r2
17

-4r3(当且仅当 a=b 时取等号,且 0<r<1). 设 y=4r2-4r3(0<r<1),则 y′=8r-12r2.由 y′=0,得 r=0 或 r=23.由 y′>0,得 0<r<23;

由 y′<0,得23<r<1.故当 r=23时,ymax=4×???23???2-4×???23???3=1267,即 Vmax=2176.

16

27

8

∴原工件材料的利用率为1 3π

×12×2=9π

,故选

A.

12.已知在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB=AC=PA=2,且在△ABC 中,∠BAC=120°, 则三棱锥 P—ABC 的外接球的体积为________.

答案

20 5π 3

解析 由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,

∴BC2=22+22-2×2×2×(-12)=12,

∴BC=2 3.设平面 ABC 截球所得截面圆半径为 r,则 2r=sin2 1230°=4,所以 r=2.由 PA

=2 且 PA⊥平面 ABC 知球心到平面 ABC 的距离为 1,所以球的半径为 R= 12+22= 5,所以

V

4 球=3π

R3=20

5π 3

.

13.如图,侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点 A 作截 面△AEF,则截面△AEF 的周长的最小值为____________.

答案 6 解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V-ABC 展开在一个平面内,如图,
则 AA′即为截面△AEF 周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°. 在△VAA′中,由余弦定理可得 AA′=6,故答案为 6. 14.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F,
18

将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与点 P 重合),使得∠PEB=30°.

(1)求证:EF⊥PB;

(2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB

的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB,

∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.

又 BE∩PE=E,∴EF⊥平面 PBE,

又 PB? 平面 PBE,∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4.

∴S△PEB=12BE·PE·sin∠PEB

=14xy≤14???x+2 y???2=1.

当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2.

由(1)知 EF⊥平面 PBE,∴平面 PBE⊥平面 EFCB,

在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于点 O,

又平面 PBE∩平面 EFCB=BE,

∴PO⊥平面 EFCB.

即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高.

又 PO=PE·sin

1 30°=2×2=1,

SEFCB=12×(2+4)×2=6,

∴VP—BCFE=13×6×1=2.

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