玉泉区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

玉泉区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题

一、选择题

1.已知 a ? ?2,若圆 O1 :x 2 ? y 2 ? 2x ? 2ay ? 8a ?15 ? 0 ,圆 O2 :x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0

恒有公共点,则 a 的取值范围为( ).

A. (?2,?1] ? [3,??)

B. (? 5 ,?1) ? (3,??) C.[? 5 ,?1] ? [3,??)

3

3

D. (?2,?1) ? (3,??)

2. 设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =(



A.2 B.4 C. D.

3. 在等比数列{an}中,已知 a1=9,q=﹣ ,an= ,则 n=(

A.4

B.5

C.6

4. 复数

的虚部为( )

A.﹣2 B.﹣2i C.2 D.2i

) D.7

5.

已知函数

f

(

x)

?

? ??

x

?

?

???3x2

1 , x ?[0, 1

2

2

, x ?[1 ,1] 2

)

,若存在常数使得方程

f (x) ? t 有两个不等的实根 x1, x2

( x1 ? x2 ),那么 x1 ? f (x2 ) 的取值范围为(



A.[ 3 ,1) 4

B.[1 , 3 ) 86

C.[ 3 , 1) 16 2

D.[3 , 3) 8

6. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是

()

A.60° B.45° C.90° D.120°

7. 已知双曲线

的渐近线与圆 x2+(y﹣2)2=1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(



A.( ,+∞) B.(1, ) C.(2.+∞) D.(1,2)

8.

已知直线

l



y

?

kx

?

2

过椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F ,且被圆

x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为 L ,若 L ? 4 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是(



5

(A)

????

0, 5 5

?
? ?



B



? ???

0,2

5

5

?
? ?

(C)

????

0,3

5 5

?
? ?

(D)

????

0,4

5 5

?
? ?

9. 平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0),| |=1,则| +2 |=( )

A.

B.

C.4

D.12

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10.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( )

A.1

B.

C.

D.

11.由直线
A B1

与曲线

所围成的封闭图形的面积为( )

C

D

12.函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点(



A.(0,1)

B.(0,3)

C.(1,0)

D.(3,0)

二、填空题

13.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为



14.若实数 a,b,c, d 满足 b ? a2 ? 4ln a ? 2c ? d ? 2 ? 0 ,则 ?a ? c?2 ? ?b ? d ?2 的最小值为 ▲ .

15.设 m 是实数,若 x∈R 时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,则 m 的取值范围是



16.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分.已知 P(400

<X<450)=0.3,则 P(550<X<600)=



17.向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ ,则 x﹣y=



18.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一

个红球的概率为



三、解答题

19.如图,在几何体 SABCD 中,AD⊥平面 SCD,BC⊥平面 SCD,AD=DC=2,BC=1,又 SD=2,∠SDC=120°.

(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值;

(2)求平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值.

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20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,﹣2). (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的
距离等于 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)求下列函数的定义域:

(1) f ? x? ? (2) f ? x? ?

2? x?3 ; x ?1
?x2 ? 3x ? 4
.
x2 ?5x ? 6

22.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温.

气温(℃)

14 12 8 6

用电量(度) 22 26 34 38

(1)求线性回归方程;(



(2)根据(1)的回归方程估计当气温为 10℃时的用电量.

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附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =

, =﹣ .

23.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面 PAB⊥平面 ABCD, (Ⅰ)求证:平面 PED⊥平面 PAC;

(Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

,求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值.

24.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积.
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玉泉区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

【解析】由已知,圆 O1 的标准方程为 (x ?1)2 ? ( y ? a)2 ? (a ? 4)2 ,圆 O2 的标准方程为

(x ? a)2 ? ( y ? a2) ? (a ? 2,2 )∵ a ? ?2,要使两圆恒有公共点,则 2 ?| O1O2 |? 2a ? 6 ,即

2

?|

a

?

1

|?

2a

?

6

,解得

a

?

3



?

5 3

?

a

?

?1

,故答案选

C

2. 【答案】C

【解析】解:由于 q=2,







故选:C.

3. 【答案】B

【解析】解:由等比数列的性质可知,
∴ ∴n=5 故选 B 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用,属于基础试题

4. 【答案】C

【解析】解:复数

=

=

=1+2i 的虚部为 2.

故选;C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.

5. 【答案】C

【解析】

试题分析:由图可知存在常数,使得方程 f ? x? ? t 有两上不等的实根,则 3 ? t ? 1,由 x ? 1 ? 3 ,可得 x ? 1 ,

4

24

4

由1 ? 3x2 ,可得 x ?

3 3

(负舍),即有

1 4

?

x1

?

1 2

,

1 2

?

x2

?

3 3

,即

1 4

?

x22

?

1 3

,则

x1

f

?

x2

?

?

3x1

?

3x22

?

?3 ??16

,

1 2

? ??

.故本题答案选

C.

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考点:数形结合. 【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个 常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对 数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

6. 【答案】A

【解析】解:如图所示,设 AB=2, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(2,2,1). ∴ =(﹣2,0,2), =(0,1,1),



=

=

=,



=60°.

∴异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 60°. 故选:A.

【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7. 【答案】C 【解析】解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆 x2+(y﹣2)2=1 相交
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∴圆心到渐近线的距离小于半径,即

<1

∴3a2<b2, ∴c2=a2+b2>4a2,
∴e= >2

故选:C. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形 结合的思想的运用.

8. 【答案】 B

【解析】依题意, b ? 2,kc ? 2.

设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 L ? 2

4 ? d2

?

4 5 , 解得 d 2 5

?

16 5



又因为 d ?

1 1? k2

,所以 1 1? k2

? 16 , 解得 k 2 5

?

1 4。

于是 e2

?

c2 a2

?

c2 b2 ? c2

1 ?
1? k2

,所以 0 ? e2

?

4 5

,

解得

0

?

e

?

2 5 . 故选 5

B.

9. 【答案】B

【解析】解:由已知|a|=2, |a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= . 故选:B. 【点评】本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,根据和的模两边平方,注意要求 的结果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦 的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定.

10.【答案】C 【解析】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大 为. 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为


因此可知:A,B,D 皆有可能,而

<1,故 C 不可能.

故选 C. 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为

是解题的关键.

11.【答案】D

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【解析】由定积分知识可得

,故选 D。

12.【答案】B

【解析】解:由于函数 y=ax (a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1),故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定

过点(0,3),

故选 B.

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 ( 1,±2 ) .

【解析】解:设点 P 坐标为( a2,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2

a2+2=

,求得 a=±2

∴点 P 的坐标为( 1,±2 ) 故答案为:( 1,±2 ). 【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题.

14.【答案】5 【解析】



点:利用导数求最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第 二步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比 较极值同端点值的大小. 15.【答案】 [0,2] .
【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得 0≤m≤2, 故答案为:[0,2].
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【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想, 属于基础题.
16.【答案】 0.3 .

【解析】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】确定正态分布曲线的对称轴为 x=500,根据对称性,可得 P(550<ξ<600). 【解答】解:∵某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分, ∴正态分布曲线的对称轴为 x=500, ∵P(400<ξ<450)=0.3, ∴根据对称性,可得 P(550<ξ<600)=0.3. 故答案为:0.3. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,正确运用正态分布曲线的对称性是关键. 17.【答案】 ﹣12 .

【解析】解:∵向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ ,
∴ == ,
解得 x=﹣6,y=6, x﹣y=﹣6﹣6=﹣12. 故答案为:﹣12. 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目.

18.【答案】 8 9









【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较
复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时,(x, y) 可以看成是有序的,如 ?1, 2? 与 ?2,1? 不同;有
时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P( A) ? 1 ? P( A) 求解较好.
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三、解答题
19.【答案】

【解析】解:如图,过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E,以 D 为原点,

分别以 DC,DE,DA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

∵∠SDC=120°,

∴∠SDE=30°,

又 SD=2,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离为 .

则有 D(0,0,0),

,A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1).

(1)设平面 SAB 的法向量为 ∵

则有

,取





,又

设 SC 与平面 SAB 所成角为 θ,



, .
, ,

故 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值为 .

(2)设平面 SAD 的法向量为 ∵

, ,

则有

,取

,得







故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值是 .

【点评】本题是中档题,考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法,考查空间想象能力,计算能力,熟练 掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键.
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20.【答案】

【解析】解:(I)将(1,﹣2)代入抛物线方程 y2=2px, 得 4=2p,p=2 ∴抛物线 C 的方程为:y2=4x,其准线方程为 x=﹣1 (II)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=﹣2x+t,



得 y2+2y﹣2t=0,

∵直线 l 与抛物线有公共点, ∴△=4+8t≥0,解得 t≥﹣ 又∵直线 OA 与 L 的距离 d= = ,求得 t=±1

∵t≥﹣ ∴t=1 ∴符合题意的直线 l 存在,方程为 2x+y﹣1=0 【点评】本题小题主要考查了直线,抛物线等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查函数与方程 思想,数形结合的思想,化归与转化思想,分类讨论与整合思想.

21.【答案】(1) ???, ?1? ?1, ??? ;(2)??1, 2? ?3, 4? .
【解析】

考 点:函数的定义域. 1 【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的 求解、集合的交集运算等综合考查,着重考查了学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确把 握函数的定义域,列出相应的不等式或不等式组是解答的关键,同时理解函数的定义域的概念,也是解答的一 个重要一环. 22.【答案】

【解析】解:(1)由表可得:



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∴线性回归方程为:



(2)根据回归方程:当 x=10 时,y=﹣2×10+50=30; ∴估计当气温为 10℃时的用电量为 30 度.

【点评】考查回归直线的概念,以及线性回归方程的求法,直线的斜截式方程.

23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,AB⊥PA

∴PA⊥平面 ABCD

结合 AB⊥AD,可得

分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz,如图所示…

可得 A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),

P(0,0,λ ) (λ >0)













∴DE⊥AC 且 DE⊥AP,

∵AC、AP 是平面 PAC 内的相交直线,∴ED⊥平面 PAC.

∵ED?平面 PED∴平面 PED⊥平面 PAC

(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面 PAC 的一个法向量是



设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 θ ,



得 λ =±2

∵λ >0,∴λ =2,可得 P 的坐标为(0,0,2)

设平面 PCD 的一个法向量为 =(x0,y0,z0),







,得到



令 x0=1,可得 y0=z0=﹣1,得 ∴cos< ,

=(1,﹣1,﹣1)

由图形可得二面角 A﹣PC﹣D 的平面角是锐角,

∴二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值为



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,解之

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直,并且在线面所成角的正弦情况下求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.着 重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法,属于中 档题.

24.【答案】

【解析】解:四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的

几何体,如右图:

S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面= πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=

=

=

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