挖掘题目隐含条件,寻找解题突破口——谈一道高考试题的探究历程_论文

投稿邮箱:sxjk@vip.163.com (中等教育) 数学教学通讯 试题研究 >试题探究 寻找解题突破口 挖掘题目隐含条件, —谈一道高考试题的探究历程对解题教学的启示 —— 周瑞明 福建泉州市安溪蓝溪中学 362441 中 多变到培养学生抓住问题本质的能力,进一步来巩固所学知识和提高其解题能力,充分发挥数学解 等 题 教学的价值,让数学解题教学取得更好的效果. 教 育 关键词:数学教学;解题 £ 摘 要:在数学解题教学中,教师要经常引导学生在解答完题目后进行再思考,从重视一 题多解、重视一题 函数的二轮复习中碰到了一道试题: 2009年山东数学理科卷16题. 为了提高 高三数学课堂复 习的效 率 , 对题 目 进 行 深入的挖掘是一种 很好的 途 径 ,特 别是 究 历 程 以 试 题 解 析 、 探究 拓 展 、 反思 回 原题呈现: (09 山东 数学理 科 卷 16) 在今 年 的高 三 复习 备 考中 ,笔者 在 y -8 -6 -4 -2 0 f(x)=m(m>0) 2 4 6 8x f(x)”,问题改成:则方程f(x)=m(m>0)在 区间[-8,8]上实根的个数为:________. 分析:根据条件变化可画出函数f(x) y 图1 的图象如下: 历年的高考试题. 本文将对该题目的探 函 数 f (x) 具 有 的性 质就 都 暴露 出 来 了 , 方 程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四 顾等环节展现出来,供同仁参考. 图象也 就 很 容 易 画 出 来 . 如图 1 所 示 , 个 不 同 的 根 x1, x2, x3, x4, 不 妨 设 x1 <x2 < x3<x4. 由 对 称 性 知 x1 +x2 =-12,x3 +x4 =4, 所 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 图2 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有 ___________. 4) =-f (x), 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x- 此时不难得到方程f(x)=m(m>0)在 区间 [-8,8] 上 实 根 的个数 情 况 :0 个 、4 个或8个. 探究二:弱化条件,提高问题难度 x2+x3+x4的 值 会 不 会 改 变 , 如 果 会 , 答 案 又是什么? 分析:当m>0时同上; 当m=0时,方程f(x)=m在区间[-8,8] 上有五个不同的根,不合题意; 当 m<0 时 , 方程 f (x) =m (m>0) 在 区 间 [-8,8] 上 的四个 不 同 根 分 别 关 于 直 线 x=-2 与 直 线 x=6 对 称 , 所以 x1+x2+x3+ x4=-4+12=8. 在问题中 若 将条件 m>0 去 掉 ,则 x1+ 以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= 【命题立意】 本 题综 合 考 查 了 函 数的奇偶性、单调性、对称性、周期性, 以及由函数图象解 答 方程 问 题 , 运用 数 形 结 合 的思 想 和 函 数与 方 程 的思 想 解 答问题. f(x-4)=-f(x),此式隐含如 下 条件: 函 数 f ( x ) 是定义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满足 ? 试题解析 图象关于直线x=-2对 称 且 f (0 ) =0 ; 又 由 f (x -4 ) = - f ( x ) 可 得 f ( x - 8 ) =f ( x ), 所以 函 数 f(x)是以8为周期的周期函数,这是 从条件 得 到的 另 一 个 隐含条件 . 这 时 探究一:改变条件,巩固相关知识 数 ”, “ f ( x - 4 ) = - f ( x )” 改 成 “ f ( x - 4 ) = 将 试 题 中的 “ 奇 函 数 ” 改 成 “ 偶 函 ? 探究拓展 53 试题研究 >试题探究 (中等教育) 数学教学通讯 说明:通过 改 编 ,变 式 2 涉 及的知 识 面 更 广 , 不 仅 有 抽 象 函 数的 性 质 , 还 与 数列的分组求和 紧密联 系起来 ,这 就对 学生分析问题、 解决 问题 的 能 力提出了 更高的要求,同时 还考 查 了 学 生运算 求 解能力. 投稿邮箱:sxjk@vip.163.com 综上得x1+x2+x3+x4=-8或8. 说明:去掉条件m>0后,题目不仅考 查了函数的相关 性质 , 还 涉及分 类 讨 论 的思想,思维 量增加,难 度加 深 ,更 能 考 查学生运用数学知识的能力. 探究三:增加条件,命制新题 问题的提问方式. 将问题改造为: 将 问 题 增 加一个 条件 ,就 可 以 改 变 变式 1 : 已知 定义 在 R 上 的 奇 函 数 即函数f(x)为偶函数. 数 , 且 满足 f (x+a) =-f (x),a∈R +, 则 f (x) 的图象关于直线x= f 性质4 若f(x)为定义在R上的奇函 a a 对称 ,即 f +x = 2 2 是增函 数 且 f (2 )=3 , 若方 程 f (x )=m 在 区 m的取值范围是________. f(x) 满足 f (x -4) =-f (x), 在 区 间 [0,2] 上 间 [-8,8]上恒有四个不 同 的 根 ,则 实 数 分 析 : 结 合问题 的 图形 不难 得到 实 数m的取值范围为(-3,0)∪(0,3). 说明 : 通过改 造 本 题不 仅综 合 考 查 -f (x) 得 到 函 数 关 于直 线 x=-2 对 称 是 非 目的已知条件:奇函数和关系式f(x-4)= 常关键 的一步 . 而 关 系 式f (x-4) =-f (x) 从问 题的 解 答 过程 可 以 看 到 ,由题 透析本质 ? 反思回顾, ( ) a -x .

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