高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版选修2_2

数学归纳法 【学习目标】 :能用数学归纳法证明不等式、整除、平面几何等问题. 【重\难点】 :掌握数学归纳法证题的 思路和特点,理解数学归纳法中“归纳-猜想-证明”的思想. 【自主学习】 : 1. 运用数学归纳法证明时, 两个步骤缺一不可, 步骤(1)是证明的归纳基础, 步骤(2)是证明的主体, 它反映了无限递推关系.第一步中验证 n 的初始值至关重要, 它是递推的基础, 但 n 的初始值不一定 是 1,而是 n 的取值范围内的最小值. 2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析 p(k)与 p(k+1)的差异与联系, 利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从 p(k+1)中分离出 p(k)再进行局部调整. 3.在研究探索性问题时,由特例归纳猜想的结论不一定是真命题,这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是:归纳—猜想—证明. 【自我检测】 * 1.在平面内有 n n ? N , n ≥ 3) 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, ? 若这 n 条直线把平面分成 f ? n ? 个平面区域,则 f ? 6 ? 等于 C. 22 2.观察以下不等式 D. 18 A. 32 B. 24 1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 ?????? 1? 可以归纳出对大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式 1 ? 1 1 ? ? 22 32 1 ? f (n) ,则不等式右端 n2 f (n) 的表达式 应为 3.凸 n 边形的 对角线的条数 f (n) ? _____________ 4. 用数学归纳法证明 1 ? 式是 5.若 f (k ) ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? , 第一步应验证 的左 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ,则 f (k ? 1) ? f (k ) ? 2 3 4 2k ? 1 2k 【自研自悟】 bn ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · ? ? ? · · · · · · 例 1.用数学归纳法证明不等式 b1 b2 bn 2 4 6 2n ? 1 ? n ? 1成立,其中 n ? N * 2n 例 2、设 n ? N * , n ? 1 ,求证 : 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? n 2 3 n 【自练自提】 1.用数学归纳法证明不等式 不等式左边( ). 1 k+1 1 1 1 B.增加了两项 和 2k+1 2k+2 1 1 1 13 + +…+ > (n≥2)的过程中,由 n=k 递推到 n=k+1 时 n+1 n+2 2n 24 A.增加了一项 2 C.增加了 B 中的两项但减少了一项 k+1 D.以上均不正确 2.设 f(k)是定义在正整数集上的函数,且 f(k)满足:当“f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k +1) 成立.”那么 下列命题 总成立的是( ). 2 2 2 A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5 时,均有 f(k)≥k 成立 C.若 f(7) ? 49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k) ? k 成立 2 2 D.若 f(4)=25 成立,则当 k ≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 1 1 1 3. 用数学归纳法证明 1+ + +…+ <n(n∈N+,且 n>1)时,第一步即证下述哪个不等式成 2 3 2n-1 立 A.1<2 1 B.1+ <2 2 1 1 C.1+ + <2 2 3 1 D.1+ <2 3 2 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, 且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9(n ? N * ) (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2) 由(1)猜想 {an } 的通项公式 an ; (3)用数学归纳法证明(2)的结果

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