高考数学专题复习-第六单元-三角函数的图象与性质-A卷

单元训练金卷?高三?数学卷(A)

第六单元 三角函数的图象与性质

封 座位号

注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。



考场号



一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

1.与 60? 终边相同的角为( )

A.120?

B. 240?

C. ?300?

D. 30?

【答案】C

【解析】120? 角的终边位于第二象限, 240? 角的终边位于第三象限,很明显 30? 角与 60? 角终边

不相同,而 ?300? ? 60? ? 360??1,故 ?300?的终边与 60? 的终边相同.故选 C.

2.函数 y ? lg ?2sin x ?1? 的定义域为( )



准考证号



A.

??x ?



?

π 6

?

x

?



?

5π 6

,k

?

Z?? ?

B.

??x ?



?

π 3

?

x

?



?

2π ,k 3

?

Z?? ?





姓名

C.

??x ?

2kπ

?

π 6

?

x

?

2kπ

?

5π 6

,k

?

Z?? ?

D.

? ? ?

x

2kπ

?

π 3

?

x

?

2kπ

?

2π 3

,k

?

Z?? ?

【答案】C 【解析】函数有意义,则 2sin x ?1? 0 ,?sin x ? 1 ,
2

求解三角不等式可得函数的定义域为

??x ?

2kπ

?

π 6

?

x

?

2kπ

?

5π ,k 6

?

Z?? ?

.故选

C.

3.已知角? 的终边过点 ?12,? 5? ,则 sin? ? 1 cos? 等于( )
2



班级

A. ? 1 13
【答案】B

B. 1 13

C. 1 12

D. ? 1 12

【解析】由点的坐标有: r ? 122 ? ??5?2 ? 13 ,

结合三角函数的定义可知 sin? ? ?5 ? ? 5 , cos? ? 12 ? 12 ,

r 13

r 13

则 sin? ? 1 cos? ? ? 5 ? 1 ? 12 ? 1 .故选 B.

2

13 2 13 13

4.已知扇形 OAB 的圆.周.角.为 4rad ,其面积是 8cm2 ,则该扇形的周.长.是(

) cm .

A.8

B.4

C.8 2

D. 4 2

【答案】A

【解析】由题意得,设扇形的半径为 r ,若扇形 OAB 的圆心角为 4rad ,则根据扇形的面积公式可 得 S ? 1 ? 4r2 ? 8 ,?r ? 2 ,所以扇形的周长是 2r ?1? 4 ? 8,故选 A.
2

5.函数

y

?

2sin

? ??

2x

?

π 3

? ??

的图像(



A.关于原点对称
C.关于 y 轴对称
【答案】B

B.关于点

? ??

?

π 6

,

0

? ??

对称

D.关于直线 x ? π 对称 6

【解析】由于函数

y

?

2sin

? ??

2x

?

π 3

? ??

无奇偶性,故可排除选项

A,C;

选项

B

中,当

x

?

?

π 6

时,

y

?

2 sin

???2 ? ???

?

π 6

? ??

?

π 3

? ??

?

0



所以点

? ??

?

π 6

,

0

? ??

是函数图象的对称中心,故

B

正确.

选项

D

中,当

x

?

π 6

时,

y

?

2 sin

? ??

2?

π 6

?

π 3

? ??

?

2 sin

2π 3



所以直线 x ? π 不是函数图象的对称轴,故 D 不正确.故选 B. 6

6.将函数

y

?

sin

? ??

x

?

π 3

? ??

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2

倍(纵坐标不变),再将所得的

图象向左平移 π 个单位,得到的图象对应的解析式是( ) 3

A. y ? sin 1 x 2

B.

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

π 2

? ??

C.

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

π 6

? ??

D.

y

?

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

【答案】C

【解析】将函数

y

?

sin

? ??

x

?

π 3

? ??

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2

倍(纵坐标不变),所得图

象对应的解析式为

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

π 3

? ??

;再将所得的图象向左平移

π 3

个单位,所得图象对应的解析式



y

?

sin

? ??

1 2

? ??

x

?

π 3

? ??

?

π 3

? ??

?

sin

? ??

1 2

x

?

π 6

? ??

.故选

C.

7.已知函数

y

?

Asin ??x ? ? ? ?

B

? ??

A

?

0,?

? 0, ?

?

π? 2 ??

的周期为 T

,如图为该函数的部分图象,则

正确的结论是( )

A. A ? 3,T ? 2π C. A ? 3 ,? ? π
6
【答案】D

B. B ? ?1,? ? 2 D.T ? 4π ,? ? ? π
6

【解析】由图知,

A

?

2 ? ??4?
2

?

3,

B

?

2 ? ??4?
2

?

?1 ,

T 2

?

4π 3

?

? ??

?

2π 3

? ??

?



,?T

?





把点

? ??

4π 3

,

2

? ??

代入

y

?

3sin

? ??

1 2

x

?

?

? ??

?

1



sin

? ??

2π 3

?

?

? ??

?

1

,?

2π 3

??

? 2kπ ?

π 2

,即?

? 2kπ ?

π ?k ? Z? ,又| ?
6

?

π, 2

?k ? 0时,? ? ? π ,故选 D. 6

8.若函数

f

?x?

?

cos 2?x??

?

0?

在区间

???0,π3

? ??

上为减函数,在区间

? ??

π 3

,π 2

? ??

上为增函数,则 ?

?

()

A.3 【答案】C

B.2

C. 3 2

【解析】由题意得当 x ? π 时,函数 f ? x? 取得最小值,
3

∴ 2π? ? π ? 2kπ , k ?Z ,∴? ? 3 ? 3k , k ?Z .

3

2

又由条件得函数的周期T ? 2π ? π ,解得 0 ? ? ? 2, 2? 2

∴? ? 3 ,故选 C. 2

9.化简

cos?180? ?? ?sin ?? ? 360??cos ??270? ?? ? sin ??? ?180??cos??180? ?? ?sin ?360? ?? ?

?



A.1 【答案】B

B. ?1

C. tan?

【解析】原式

?

?

? cos? sin ? sin ?
sin ? cos ? ??sin ?

?

?

?1,故选

B.

D. 2 3

D. ?tan?

10.已知函数

f

?x?

?

2cos

? ??

2x

?

π 6

? ??

,有下面四个结论:①

f

? x? 的一个周期为 π

;②

f

? x? 的图

像关于直线

x

?

5π 12

对称;③当

x

?

???0,

? 2

? ??

时,

f

?

x?

的值域是

???

3,

3 ??

;④

f

?

x

?



? ??

π 4

,

π 2

? ??



调递减,其中正确结论的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】函数周期 T

?

2π 2

?

π



f

? ??

5π 12

? ??

?

2cosπ

?

?2 ,故

x

?

5π 12

是函数的对称轴.

由于

f

? 5π ? ?? 12 ??

? 2cosπ

?

?2 ,故③错误.

f

? ??

π 3

? ??

?

f

? ??

π 2

? ??

?

?

3

,函数在

? ??

π 4

,

π 2

? ??

不单调.

故有 2 个结论正确.

11.函数 y ? cos2x ? sinx ?1 的值域为( )

A.

? ??

??

,

1 4

? ??

B.

???0,

1 4

? ??

C.

????2,

1 4

? ??

D. ??2, 0?

【答案】C

【解析】

y

?

?

sin2

x

?

sin

x

?

?

? ??

sin

x

?

1 2

?2 ??

?

1 4

,由于 sin

x

???1,1? ,故当 sin

x

?

1 2

时,函数

取得最大值为

1 4

,当 sin

x

?

?1时,函数取得最小值为

?2

,故函数的值域为

????2,

1 4

? ??



12.若函数 f ? x? ? a ? bcos x(b ? 0) 的最大值为 5 ,最小值为- 1 ,则 a ? 2b 的值为( )

2

2

A. 3

B.2

2

C. 5 2

D.4

【答案】D

【解析】当 cos x ? ?1时取最大值 a ? b ? 5 ,当 cos x ? 1时取最小值 a ? b ? ? 1 ,

2

2

?a ?1



? ???b

?

3 2

,则

a ? 2b

?

4 ,故选

D.

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上)

13.函数

y

?

3cos

? ??

2

x

?

π 6

? ??

的最小正周期为_____.

【答案】 π

【解析】根据周期公式可得,函数

y

?

3cos

? ??

2x

?

π 6

? ??

的最小正周期为 T

?

2π ?

?

2π 2

?

π

,故答案

为π.

14. sin ??1740?? =____________.

【答案】 3 2
【解析】根据三角函数的诱导公式可得, sin ??1740?? ? sin ??360?? 5 ? 60?? ? sin 60? ? 3 ,
2
故答案为 3 . 2
15.已知函数 f ? x? ? Asin ??x ???(其中 A ? 0 ,? ? π )的部分图象如下图所示,则 f ? x? 的
2
解析式为__________.

【答案】

f

?x?

?

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??

【解析】由图知, A ?1;又 T ? 7π ? π ? π ,∴ T ? π ,又T ? 2π ,

4 12 3 4

?

∴? ? 2 ;



f

?x?

?

Asin ?2x

???

经过

? ??

π 3

,

0

? ??

,且在该处为递减趋势,

∴ 2π ? ? ? π ? 2kπ , k ?Z ,∴∴? ? π ? 2kπ , k ?Z .由 ? ? π ,得? ? ?

3

3

2

3



f

?x?

的解析式为

f

?x?

?

sin

? ??

2

x

?

π 3

? ??

.故答案为

f

?x?

?

sin

? ??

2

x

?

π 3

? ??



16.将函数 f ? x? ? sin ? x ? ? ??0 ? ? ? π? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,

再将图象向右平移 π 个单位后,所得图象关于原点对称,则? 的值为______. 6
【答案】 π 12
【解析】将函数 f ? x? ? sin ? x ? ? ??0 ? ? ? π? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,

纵坐标不变得到

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

?

? ??

,再将图象向右平移

π 6

个单位,

得到

y

?

sin

? ? ?

1 2

? ??

x

?

π 6

? ??

?

?

? ? ?

,即

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

?

?

π 12

? ??

,其图象关于原点对称.

∴ ? ? π ? kπ , k ?Z , ? ? kπ ? π ,又 0 ? ? ? π ,∴? ? π ,故答案为 π .

12

12

12

12

三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)已知 π ? ? ? π , cos? ? ? 3 .

2

5

(1)求 sin? 的值;

(2)求

sin

??

?

π?

?

2

cos

? ??

π 2

?

?

? ??

的值.

sin ??? ? ? cos?π ? ? ?

【答案】(1) 4 ;(2)12. 5

【解析】(1)因为 π ? ? ? π , cos? ? ? 3 ,所以 sin? ? 1 ? cos2 ? ? 4 .

2

5

5

(2)

sin

??

?

π?

?

2

cos

? ??

π 2

?

?

? ??

sin ??? ? ? cos?π ? ? ?

?

sin? ? 2sin? ?sin? ? cos?

?

3 sin ? sin? ? cos?

?

3? 4 5
4?3

? 12 .

55

18.(12 分)已知函数 f ? x? ? 2sin ?2x ??? ( 0 ? ? ? π )

(1)若? ? π ,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数 f ? x? 在[0, π] 上的图象.
6

(2)若 f ? x? 偶函数,求? ; (3)在(2)的前提下,将函数 y ? f ? x? 的图象向右平移 π 个单位后,再将得到的图象上各点的
6
横坐标变为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x? 的图象,求 g ? x? 在?0, π?的单调递减区
间.

【答案】(1)见解析;(2) ?

?

π 2

;(3)

? 2π ?? 3

, π??? .

【解析】(1)当?

?

π 6

时,

f

?x?

?

2 sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

,列表:

函数 y ? f ? x? 在区间?0, π?上的图象是:

(2) f ? x? ? 3sin ?2x ??? 为偶函数,

∴ sin? ? 1,?? ? kπ ? π ,又 0 ? ? ? π ,?? ? π .

2

2

(3)由(2)知 f ?x ? ? 2sni 2 ???x ? π22???cos2?

x

,将

f

?

x?

的图象向右平移

π 6

个单位后,得到

f

? ??

x

?

π 6

? ??

的图象,再将横坐标变为原来的

4

倍,得到

g?x? ?

f

?x ?? 4

?

π? 6 ??



所以

g ? x?

?

f

? ??

x 4

?

π 6

? ??

?

2 cos ???

x 2

?

π 3

? ??



当 2kπ ? x ? π ? 2kπ ? π?k ?Z? ,即 4kπ + 2π ? x ? 4kπ ? 8π ?k ?Z? 时, g ? x? 的单调递减,

23

3

3

因此

g

?

x

?



?0,

π?

的单调递减区间

? ??

2π 3

,

π

? ??



19.(12

分)已知函数

f

?x?

?

Asin

??? ? x

?

? 6

? ??

?

A

?

0,?

?

0?

的部分图象如图所示.

(1)求 A ,? 的值及 f ? x? 的单调增区间;

(2)求

f

? x? 在区间

????

π 6

,

π? 4 ??

上的最大值和最小值.

【答案】(1)见解析;(2)最大值为 2,最小值为 ?1.

【解析】(1)由图象可得

A

? 1,最小正周期为T

?

2

? ??

2π 3

?

π 6

? ??

?

π



∴?

?

2π T

?

2

.∴

f

?x?

?

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

,k

?Z,

由 ? π ? 2kπ ? 2x ? π ? π ? 2kπ , k ?Z ,

2

62

得 ? π ? kπ ? x ? π ? kπ , k ?Z ,

3

6

所以函数

f

? x? 的单调递增区间为

????

π 3

?

kπ,π 6

?

kπ???

,k

?Z.

(2)∵ ? π ? x ? π ,∴ ? π ? 2x ? π ? 2π ,

6

4

6

63



?

1 2

?

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 ,∴

?1

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

2



∴函数

f

?

x?

在区间

????

π 6

,

π 4

? ??

上的最大值为

2,最小值为

?1.

20.(12 分)已知函数

f

? x? ? 2sin ??x ?? ?????

? 0, ?

?

π 2

? ??

的图像与直线

y

? 2 两相邻交点之间

的距离为 π ,且图像关于 x ? π 对称. 3
(1)求 y ? f ? x? 的解析式;

(2)先将函数 f ? x? 的图象向左平移 π 个单位,再将图像上所有横坐标伸长到原来的 2 倍,得到
6
函数 g ? x? 的图象.求 g ? x? 的单调递增区间以及 g ? x? ? 3 的 x 取值范围.

【答案】(1)

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

;(2)见解析.

【解析】(1)由已知可得T ? π , 2π ? π ,∴? ? 2 , ?

又 f ? x? 的图象关于 x ? π 对称,∴ 2 ? π ? ? ? kπ ? π ,∴? ? kπ ? π , k ?Z

3

3

2

6

∵?

π 2

?

?

?

π 2

,∴?

?

?

π 6

.所以,

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

(2)由(1)可得

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

,∴

g

?x?

?

2sin

? ??

x

?

π 6

? ??



由 2kπ ? π ? x ? π ? 2kπ ? π 得 2kπ ? 2π ? x ? 2kπ ? π ,

26

2

3

3

g

?

x

?

的单调递增区间为

???2kπ

?

2π 3

,

2kπ

?

π 3

? ??



k

?

Z





2sin

? ??

x

?

π 6

? ??

?

3

,∴

sin

? ??

x

?

π 6

? ??

?

3 ,∴ 2kπ ? π ? x ? π ? 2kπ ? 2π ,

2

3

6

3



? ?x

?

2kπ ?

π 6

?

x ? 2kπ ?

π ,k ?Z 2

? ?



?

21.(12 分)在已知函数 f ? x? ? Asin ??x ? ? ? ,x?R (其中 A ? 0 ,? ? 0 ,0 ? ? ? π )的图象与 x 轴
2

的交点中,相邻两个交点之间的距离为

π 2

,且图象上一个最低点为

M

? ??

2π 3

,?

2

? ??

(1)求 f ? x? 的解析式;

(2)当

x

?

?π ??12

,π 2

? ??

时,求

f

?x?

的值域;

(3)求

f

?x?



???0,π2

? ??

上的单调区间.

【答案】(1)

f

?

x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

;(2)??1, 2?

;(3)见解析.

【解析】(1)由最低点为

M

? ??

2π 3

,?

2

? ??



A

?

2

.由

x

轴上相邻两个交点之间的距离为

π 2



得 T ? π ,即T ? π ,∴ ? ? 2π ? 2π ? 2 .

22



由点

M

? ??

2π 3

,?

2 ???

在图象上得

2sin

? ??

2

?

2π 3

?

?

? ??

?

?2

,即

sin

? ??

4π 3

?

?

? ??

?

?1



故 4π +? ? 2kπ ? π ?k ?Z? ,∴? ? 2kπ ? 11π ?k ?Z? ,

3

2

6

又?

?

? ??

0,

π 2

? ??

,∴ ?

?

π 6

.故

f

?

x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??



(2)∵

x

?

?π ??12

,

π 2

? ??

,∴

2x

?

π 6

?

? ??

π 3

,

7π 6

? ??

当 2x ? π ? π ,即 x ? π 时, f ? x? 取得最大值 2;

62

6

当 2x ? π ? 7π ,即 x ? π 时, f ? x? 取得最小值 ?1,

66

2

故 f ? x? 的值域为??1, 2? .

(3)由

y

?

sinx

的单调性知

?

π 2

?

2x

?

π 6

?

π 2

,即

?

π 3

?

x

?

π 6

时,

f

?

x?

?

2sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

单调递增,

所以

f

?

x?



???0,

π 6

? ??

上单调递增,

结合该函数的最小正周期,在

? ??

π 6

,

π 2

? ??

上单调递减.

22.(12

分)已知

m

?

? ??

3cos

x ,sin 4

x 4

? ??



n

?

? ??

sin

x ,sin 4

x 4

? ??

,设函数

f

?x?

?

m

?

n



(1)求函数 f ? x? 的单调增区间;

(2)设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 a,b,c 成等比数列,求 f ?B? 的取值

范围.

【答案】(1)

???4kπ

?

2π 3

,4kπ

?

4π 3

? ??



k

?Z

;(2)

? ??

0,1 2

? ??



【解析】(1)

f

?x?

?

m

?

n

?

? ??

3cos

x 4

,sin

x 4

? ??

?

? ??

sin

x ,sin 4

x 4

? ??

?

sin

? ??

x 2

?

π 6

? ??

?

1 2



令 2kπ ? π ? x ? π ? 2kπ ? π ,则 4kπ ? 2π ? x ? 4kπ ? 4π , k ?Z ,

226

2

3

3

所以函数

f

?

x?

的单调递增区间为

???4kπ

?

2π ,4kπ 3

?

4π 3

? ??



k

?Z



(2)由 b2 ? ac 可知 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? 1 ,(当且仅当 a ? c 时取等号),

2ac

2ac

2ac 2

所以 0 ? B ? π , ? π ? B ? π ? 0 , 0 ? f ? B? ? 1 ,

3 626

2

综上,

f

?B?

的取值范围为

? ??

0,1 2

? ??




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