【 解析】北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学

2014~2015 学年度第一学期期中考试

高 二 数 学 试 卷 2014.11
(考试时间:100 分钟 总分:100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡中相应的位置上 ) ................
1.下列说法正确的是( A.三点确定一个平面 C.梯形一定是平面图形 ) B.四边形一定是平面图形 D.平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 )

2.一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积是( A. 16 ? B. 16

16? 3 16 D. 3
C. 3.圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与圆 C2 :
2 2

4
主(正)视图

4
左(侧)视图

x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 4 ? 0 的位置关系是(
A.相交 C.内切 B.外切 D.相离

? ) 4
俯视图

4

4.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面, 则下列命题正确的是( ) B.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? D.若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m
2

A.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m C.若 l ∥ ? , m ? ? ,则 l ∥ m
2

5. 过点 P(? 3, ?1) 的直线 l 与圆 x ? y ? 1有公共点, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( A. (0, ]



π 6

B. (0, ]

π 3

C. [0, ]

π 6

D. [0, ]

π 3

x2 y 2 3 6.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F2 的直线 l a b 3
交椭圆 C 于 A, B 两点.若△ AF1 B 的周长为 4 3 ,则椭圆 C 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 3 2 x2 y 2 ? ?1 12 8

B.

x2 ? y2 ? 1 3 x2 y 2 ? ?1 12 4


C.

D.

7.设 A, B, C , D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是( ...

A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC D.若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC 8. 如图, 定点 A ,B 都在平面 ? 内, 定点 P ? ? ,PB ? ? ,

P

C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC .那么,动点 C
在平面 ? 内的轨迹是( )

A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点

A α C

B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在答题卡中相 ........... 应的位置上 ) .....
9.毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里” .又知地球的体积大约是火星的 8 倍, 那么火星的大圆周长约为______________万里.

10.如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 (底面是正方形的直棱柱) 的底面边长为 2,高为 4,那么异面直线 BD1 与


AD 所成角的正切值______________.
1 1

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的一个焦点是 11.已知椭圆 m 3

2
正视图

2
侧视图

2 2
俯视图

(0,1) ,则 m ?

; 若椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 , F2 构成的三角形 PF 1F 2 的面

积为 2 ,则点 P 的坐标是________. 12 .直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相等的四段弧,则

a 2 ? b 2 ? ________.
13.某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积是 14.已知点 A(? .

1 1 , 0) ,点 B 是圆 F: ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂 2 2

直平分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为______________.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.请把答案填在答题卡中相应的 位置上 ) ............. ...
15.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,
P

AB ? AC ,PA ? 平面 ABCD , 且 PA ?AB , 点 E 是 PD
的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)若 PA ? 4 ,求点 E 到平面 ABCD 的距离.
D C E A B

16.已知圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点.
2 2

(Ⅰ)若直线 l 过点 M ? 4,0? ,且 AB ? 2 5 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1 ,且以弦 AB 为直径的圆经过原点,求直线 l 的方程.

17.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 AAC 1 1C 是边长 为 4 的正方形,平面 ABC ⊥平面 AAC 1 1C , AB ? 3, BC ? 5 . (Ⅰ)求证: AA1 ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)若点 D 是线段 BC 的中点,请问在线段 AB1 是否存在点

A1 C1

B1

E ,使得 DE / / 面 AAC E 的位置,若 1 1C ?若存在,请说明点

A D C

B

不存在,请说明理由; (Ⅲ) (本小问 只 理科学生做 )求二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的大小. ... . .....

18.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右 顶点为 D(2, 0) ,设点 A(1, ) . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值.

1 2

参考答案 【答案】C 【解析】 试题分析:不共线的三点确定一个平面,故 A 错;空间四边形不是平面图形,故 B 错;平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点,则平面 ? 和平面 ? 重合,故 D 错 考点:平面及其定理 【答案】C 【解析】 试题分析:由三视图知该几何体是一个圆锥,底面半径为 2,故

1 16 V ? ? ? 22 ? 4 ? ? 3 3

考点:三视图及圆锥体积公式 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ; 圆 C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 , 故 圆 心 距

C1C 2 ? 32 ? 4 3 ? 5 ,又 r1 ? r2 ? 5 ,故两圆外切
考点:圆与圆的位置关系 【答案】A 【解析】 试题分析: l ? ? ,则 l 垂直 ? 内所有直线,故 A 正确;B 错, l 可能在 ? 内;C 错, l 与 m 可 能异面,D 错, l 与 m 可能相交. 考点:线面的位置关系 【答案】D 【解析】

试 题 分 析 : 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 一 定 存 在 , 故 设 方 程 为 y ? 1 ? k ( x ? 3) 即 由圆心到直线的距离小于等于半径得: kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 , 故直线 l 的倾斜角的取值范围是 [0, ] 考点:直线与圆的位置关系 【答案】A 【解析】 试题分析: △ AF1 B 的周长为 4 3 , 所以 4a ? 4 3 ,a ? 又离心率为 3,

3k ? 1 k 2 ?1

解得 0 ? k ? 3 , ? 1,

π 3

3 c 3 , 故 ? , 3 a 3

c ? 1 , b ? 2 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2

考点:椭圆方程 【答案】C 【解析】 试题分析:据共面定义知 A 正确;对 B,若 AD 与 BC 不是异面直线,则 AD 与 BC 共面,从而 AC 与 BD 共面,这与已知条件 AC 与 BD 是异面直线矛盾;对于 C,如图所示,虽然 AB=AC,DB=DC,但 BC

与 AD 的长无关系;D 正确,容易证明 BC ? 面AOD ,故 AD ? BC

考点:直线与直线、直线与平面的位置关系 【答案】B 【解析】 试题分析: 因为 PB ? ? , 所以 PB ? AC , 又 PC ? AC , 所以 AC ? 面PBC , 故 CB ? AC , 则 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆,又 C 是 ? 内异于 A 和 B 的点,故要去掉. 考点:动点轨迹 【答案】4 【解析】 试 题分 析:设 地球体 积为 V1 ?

4 3 4 3 ?R1 , 火 星体积 为 V2 ? ?R2 ,由 题意 V1 ? 8V2 , 所 以 3 3 1 R1 ? 2 R2 ,所以 C 2 ? 2?R2 ? ?R1 ? C1 ? 4 2

考点:球的体积公式 【答案】10 【解析】 试题分析: 因 BC // AD ,故 BD1 与 BC 所成角或补角为异面直线 BD1 与 AD 所成角, 连接 CD1 , 则 tan? ?

D1C 22 ? 42 ? ? 10 CB 2

考点:异面直线所成的角 【答案】 2 ; (? 2, 0 ) 【解析】
2 2 2 2 2 试题分析:由题意知焦点在 y 轴上,所以 a ? 3, b ? m ,由 b ? a ? c ? 2 ,得 m ?

2;

由S?

1 F1 F1 ? x P ? 2 , 得 xP ? ? 2 , 代 入 椭 圆 方 程 得 y P ? 0 , 故 点 P 的 坐 标 是 2

(? 2, 0 )
考点:椭圆方程 【答案】2 【解析】

试题分析:由题意每段弧所对的圆心角为 90 °,则圆心到每条直线的距离均为

2 ,故 2

a 2

?

b 2

?

2 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2 2

考点:直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式 【答案】16 【解析】 试题分析:由三视图知该几何体的侧面由 4 个直角梯形构成,注意底面边长为 2 ,所以

S ? 2?(

(1 ? 2) ? 2 (2 ? 3) ? 2 ? ) ? 16 2 2
4 2 y ?1 3

考点:空间几何体的侧面积
2 【答案】 x ?

【解析】

试 题 分 析 : 由 题 意 作 出 辅 助 图 , 知

PB ? PA , 所 以

PA ? PF ? PB ? PF ? BF ? 2 ? AF ? 1,故 P 的轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆,且
a ? 1, c ?
4 2 1 1 3 2 2 ,所以 b ? 1 ? ? ,故 P 的轨迹方程为 x ? y ? 1 3 2 4 4

考点:轨迹方程、椭圆定义 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)2 【解析】 试题分析: (Ⅰ) (Ⅱ)利用判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条与已知直线平 行的直线,解题时可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形 的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等;要证线线垂直,可通过征到线面 垂直得到. (Ⅲ)因 PA ? 平面 ABCD ,故过 E 作 PA 的平行线即可找到 E 到平面 ABCD 的距 离 试题解析: (Ⅰ)由 PA ? 平面 ABCD 可得 PA AC, 又 AB ? AC ,所以 AC 平面 PAB, 所以 AC ? PB . 4分 (Ⅱ)连 BD 交 AC 于点 O,连 EO, 则 EO 是△PDB 的中位线,

所以 EO // PB. 又因为 PB ? 面 AEC , EO ? 面 AEC , 所以 PB // 平面 AEC . 8分 (Ⅲ)取 AD 中点 F ,连接 EF . 因为点 E 是 PD 的中点,所以 EF / /

1 PA . 2

又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 EF ? 平面 ABCD . 所以线段 EF 的长度就是点 E 到平面 ABCD 的距离. 又因为 PA ? 4 ,所以 EF ? 2 . 所以点 E 到平面 ABCD 的距离为 2 . 12 分 考点:线面平行、线面垂直的判定与性质 【答案】 (Ⅰ) y ? 0 或 12 x ? 5 y ? 48 ? 0 (Ⅱ) y ? x ? 1 或 y ? x ? 4 【解析】 试题分析: (Ⅰ)解决直线与圆位置关系的综合问题时,要充分考虑平面几何知识的运用,不 要单纯地依靠代数运算,这样简单又不易出错.由题意知 l 的斜率必然存在,可设出直线的方 程 y ? k ? x ? 4? ,.其中 r 为圆的半径,d 为弦心距,l 为弦长即可解决; (Ⅱ)采用设而不求, 利 用 直 线 与 圆 的 方 程 联 立 的 关 于 x 的 二 次 方 程 , 由 OA ? OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

2x1x 2 ? b ? x 1? x 2 ? ? b2 ? 0 ,再利用韦达定理即可.
试题解析: (Ⅰ)由题设知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? k ? x ? 4? ,即 kx ? y ? 4k ? 0 . 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 ,
2 2

圆心 C ?1, ?2? ,半径为 3 . 由 AB ? 2 5 ,知圆心到直线 l 的距离为 9 ? 于是

? 5?

2

?2,

k ? 2 ? 4k k ?1
2

? 2 ,即 2 ? 3k ? 2 k 2 ? 1 ,
12 . 5
5分

2 整理得 5k ? 12k ? 0 ,解得, k ? 0 或 k ?

所以直线 l 的方程为 y ? 0 或 12 x ? 5 y ? 48 ? 0 .

(Ⅱ)由直线 l 的斜率为 1 ,设直线 l 的方程为 y ? x ? b . 由?

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ?y ? x ? b
2 2



得 2x ? 2 ?b ?1? x ? b ? 4b ? 4 ? 0 .

令 ? ? 4 ? b ? 1? ? 8 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 ?3 ? 3 2 ? b ? ?3 ? 3 2 . (1)
2 2

?

?

设 A? x1 , y1 ? ,??B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? ?b ? 1? , x1 x2 ? 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB . 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2x1x2 ? b ? x1 ? x2 ? ? b ? 0 .
2

b 2 ? 4b ? 4 . 2

代入得 b2 ? 3b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? ?4 ,满足(1) . 故直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? x ? 4 . 10 分

考点:直线与圆的位置关系的综合 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明直线和平面垂直的常用方法:(1)利用判定定理.(2)利用判定定理的推 论.(3)利用面面平行的性质.(4)利用面面垂直的性质. (Ⅱ)立体几何中的探索性问题主要 是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究.解决这类问题时一 般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在假设下进行推理,若得到合乎 情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设. (Ⅲ)由(Ⅰ)易知 ?C1 AC 是二面角 1

C ? A1B1 ? C1 的平面角.
试题解析: (Ⅰ)因为四边形 AAC 1 1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, 且平面 ABC 平面 AAC 1 1C ? AC , 4 分(文 6 分)

所以 AA1⊥平面 ABC.

(Ⅱ)当点 E 是线段 AB1 的中点时,有 DE / / 面 AAC 1 1C .

E ,连结 DE . 连结 A 1B 交 AB1 于点 D 是线段 BC 的中点, 因为点 E 是 A 1B 中点,点
所以 DE / / AC . 1 又因为 DE ? 面 AAC ? 面 AAC 1 1C , AC 1 1 1C , 所以 DE / / 面 AAC 1 1C . 8 分(文 12 分)

(Ⅲ)因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥ AB . 又因为 AC⊥ AB ,所以 AB ? 面 AAC 1 1C .

所以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C . 所以 A1B1 ? AC 1 1, A 1B 1 ? AC 1 . 所以 ?C1 AC 1 是二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的平面角. 易得 tan ?C1 A1C ?

C1C ?1. C1 A1
12 分

45 ? . 所以二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的平面角为
考点:线面垂直、线面平行、面面角 【答案】 (Ⅰ)

x2 ? y 2 ? 1 (Ⅱ) 2 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体解法是先确定焦点的位置, 然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组. (Ⅱ)与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较 强,解决的思路有两种:一是由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中 Δ 的范围,方程中变量的范围,角度的大小等;二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数 式等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值,在解题 过程中注意向量,不等式的应用. 试题解析: (Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 . 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

4分

(Ⅱ)当直线 BC 垂直于 x 轴时, BC ? 2 ,因此 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1 .

x2 ? y2 ? 1, 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y ? kx ,代入 4
解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

) ,C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k 2 ? 1
k? 1 2

) ,

则 BC ? 4

1? k

2

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d ?

1? k 2



∴△ABC 的面积 S?ABC ?

2k ? 1 1 . BC ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S?ABC ?

4k 2 ? 4k ? 1 4k . ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1



1 4k 4 ? ? ?1 ,得 S?ABC ? 2 ,其中当 k ? ? 时,等号成立. 2 2 4k ? 1 4k ? 1 k
10 分

∴ S?ABC 的最大值是 2 . 考点:椭圆方程及综合问题


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