推荐K12学习高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学

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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

三点剖析 一、有关系数和的问题

课堂导学

【例 1】设(2 ? 3 x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值:

(1)a0; (2)a1+a2+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.
解:(1)由(2 ? 3 x)100 展开式中的常数项为 C1000 ·2100,即 a0=2100,或令 x=0,则展开式可
化为 a0=2100. (2)令 x=1,可得

a0+a1+a2+…+a100=(2 ? 3 )100,①

∴a1+a2+…+a100=(2 ? 3 )100-2100.
(3)令 x=-1,可得
a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3 )100.②
与 x=1 所得到的①联立相减可得,
a1+a3+…+a99= (2 ? 3)100 ? (2 ? 3)100 . 2
(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)
=(2- 3 )100(2+ 3 )100=1.
温馨提示 本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)
展开式各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…= f (1) ? f (?1) ,偶数项系数 2
之和为 a1+a3+a5+…= f (1) ? f (?1) . 2
二、系数最大项问题
【例 2】已知在( x - 1 3 x )n 的展开式中,只有第 6 项的二项式系数最大. 2
(1)求 n; (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项. 解析:(1)因为展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,所以 n 是偶数,第 6 项即为中间 项,

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∴ n +1=6,得 n=10. 2
30?r
(2)展开式的通项是 Tr+1= C1r0 (-1)r·2-r· x 6 ,系数的绝对值是 C1r0 ·2-r,若它最大则

??C1r0 ???C1r0

? 2?r 2?r ?

?

C r?1 10

?

2 ?(r?1)

C r?1 10

?

2 ?(r?1)



?

? r ?1 ??10 ? r ??11 ? r ?? r

? ?

1 2
2

,

?

8 3

≤r≤

11 3

.

∵r∈N*,∴r=3,

9

∴系数绝对值最大的项是第

4

项,即

?

C130

·2-3·

x

9 2

=

? 15 x

2

.

系数最大的项应在项数为奇数的项之内,即 r 取偶数 0,2,4,6,8 时,各项系数分别



C100

=1, C120

·2-2=

45 4

.

C140

·2-4=

105 8

,

C160

·2-6=

105 32

,

C180

·2-n=

45 256

,

∴系数最大的项是第 5 项,即 105

13
x3 .

8

温馨提示 注意“系数”与“二项式系数”在概念上的区别,否则会得出“系数最大的项为 T4,而
系数最小的项为 T1 和 T7”的错误结论. 一系列数的大小比较问题,其数学模型就是数列中各项的大小比较问题,而数列{an}的
各项大小排队方法无外乎单调性法、作差法、作商法等.本题用了作商与 1 比较的方法. 三、二项式定理性质的综合应用 【例 3】试证明下列组合恒等式:

(1)

Cmm

+

C

m m ?1

+

Cmm?

2

+…+

C

m 2m

=

C

m ?1 2 m ?1

;

(2)若

an

为等差数列,d

为公差,求证:a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+…+an+1

C

n n

=(2a1+nd)2n-1.

思路分析:(1)将

Cmm

写成

C m?1 m ?1

后,连续使用组合数性质:

C

r n ?1

+

C r ?1 n ?1

=

Cnr

可得结果.

(2)本质上是一个求和问题,用“逆序求和”思想可得结果.

解:(1)

Cmm

+

Cmm?1

+…+

Cm m? 2

=

C

m ?1 m ?1

+

C

m m ?1

+

Cmm?

2

+…+

C

m 2m

=

C m?1 m?2

+

Cmm?

2

+…+

C

m 2m

=…=

C

m ?1 2 m ?1

.

(2)令

S=a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+…+an+1

Cnn

.



S=an+1

Cnn

+an

C

n ?1 n

+…+a1

C

0 n

.

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C

k n

=

C n?k n

,

∴将以上两式相加,得

2S=

C

0 n

(a1+an+1)+

C

1 n

(a2+an)+…+

C

n n

(an+1+a1).

又∵{an}是等差数列, ∴a1+an+1 =a2+an =a3+a n-1 =…=an+1+a1.

∴2S=(a1+an+1)(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

Cnn

),

∴2S=(2a1+nd)·2n, ∴S=(2a1+nd)·2n-1. 温馨提示

(1)不要误写为

C

m ?1 2m

;(2)不要误写为(2a1+nd)·2n,像

C

m m

改写成

C

m?1 m ?1

后出现的连

锁反应一样. 各个击破
类题演练 1 设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5; (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2. 解析:设 f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则 f(1)=a0 +a1+a2+…+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. (1)∵a5=25=32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),
∴a1+a3+a5= 244 =122. 2
(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=-243. 变式提升 1 求(1+2x+x2)10(1-x)5 展开式中各项系数的和. 解:(1+2x+x2)10(1-x)5=(1+x)20·(1-x)5

=(

C

0 20

+

C210

x+

C 220

x2+…+

C

20 20

x20)[

C50

+

C

1 5

(-x)1+…+

C

5 5

(-x)5]

=A0+A1x+A2x2+A3x3+…+A25x25, 对于 x 取任意给定的数,等式左右两边的值总相等,令 x=1,则 0=A0+A1+A2+A3+…+A 25, ∴展开式中各项系数的和为 0. 类题演练 2

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(1+2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数 最大的项. 解析:根据已知条件可求出 n,再根据 n 的奇偶性,确定出二项式系数最大的项.

T6=

C

5 n

(2x)5,T7=

C

6 n

(2x)6,依题意有

C

5 n

25=

C

6 n

·26

?

n=8.

∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为

T5= C84 ·(2x)4=1 120x4.

设第 r+1 项系数最大,则有

??C ? ??C

'8 '8

?2' ?2'

? ?

C8r C8r

?1 ?1

? ?

2 r ?1 , 2 r ?1 ,

∴r=5,或 r=6(∵r∈{0,1,2,…,8}). ∴系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6. 变式提升 2 求(2+x)10 展开式系数最大的项. 解析:设第 r+1 项的系数最大,

则有

??C ? ??C

'8 '8

?2' ?2'

? ?

C8r C8r

?1 ?1

? ?

2r 2r

?1 ?1

, ,



? ?? ? ?

10! r!(10 ?
10!

r

)!

? ?

210?r 210?r

? ?

10!

? 211?r ,

(r ?1)!(11? r)!

10!

? 29?r ,

??r!(10 ? r)!

(r ? 1)!(9 ? r)!



?1 ?? r

?

2 11 ?

? ?

2

??10 ?

r

?

r r

,
1 ?


. 1

???r ? ???r

? ?

11 3 8, 3

,

∴r=3 时,T4= C130 ·27·x3 为所求的系数最大的项.

类题演练 3 设(a+b)20 的展开式的第 4r 项的系数与第 r+2 项的系数相等,求 r 的值.

解析:设(a+b)20

的展开式的第

4r

项系数为

C 4r?1 20

,第

r+2

项系数为

C 4r?1 20

,

依题意得

C 4r 20

?1

=

C 4r 20

?1

,

∴4r-1=r+1,或 4r-1+r+1=20.
解得 r= 2 (舍去),r=4. 3
∴r=4 即为所求. 变式提升 3

(1)求

C

1 n

+

2Cn2

+

2C

3 n

+…+

nC

n n

的值;

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(2)求

C

1 n

+

2Cn2

+

2C

3 n

+…+

2n?1Cnn 的值.

解析:(1)设原式为

S,则

S=

0C

0 n

+1

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+(n-1)

C

n ?1 n

+n

C

n n

.

将上式倒序写出并考虑到

C

r n

=

C n?r n

,得

S=

nC

0 n

+(n-1)C

1 n

+(n-2)

C

2 n

+…+1

C

n n

?1

+0

C

n n

,

两 式 相 加 并 考 虑 到 n+0= ( n-1 ) +1= ( n-2 ) +2=…=1+ ( n-1 ) =0+n=n, 得 2S=n

(C0n+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

)=n·2n,



C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n·2n-1.

(2)原式可写成

S=

C

1 n

+

C

2 n

21+

C

3 n

22+…+

C

n n

2n-1,考虑(1+2)n=

C

0 n

+

C

1 n

21+

C

2 n

22+

C

3 n

23+

…+

C

n n

2n,显然有

2S=

C

1 n

21+

C

2 n

22+

C

3 n

23+…+

C

n n

2n=3n-1,于是

S=

3n ?1 2

.

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