2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:3.2.2函数模型应用举例课堂导学案

3.2.2 函数模型应用举例

课堂导学

三点剖析

一、函数模型的确定

【例 1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表:

身高/cm

60

70

80

90

100

110

体重/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

身高 cm

120

130

140

150

160

170

体重/kg

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

(1)根据表中提供的数据,能否从我们已学过的函数 y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx 中选择一

种函数,使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重 y 关于身高 x 的函数关系?试求出这

个函数的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么该地区某

中学一男生身高为 175 cm,体重为 78 kg,他的体重是否正常?

思路分析:可先根据表中的数据,描点画出函数图象(散点图),再根据散点图的形状判断

应当选择哪种函数关系,然后根据已知数据求出所选式子的待定常数,最后将表中的身高数

据代入求得的解析式,看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.

解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图,如右图.根据点的 分布特征可考虑用函数 y=a·bx 反映上述数据之间的对应关系.

把 x=70,y=7.90 和 x=170,y=55.05 两组数据分别代入 y=a·bx,



??7.90 ? a ? b70 ,

? ??55.05

?

a

?

b170

,

解得 a≈2,b≈1.02, 故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为 y=2×1.02x.

将已知数据代入所得函数解析式,可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与 身高的关系.
(2)把 x=175 代入 y=2×1.02x, 得 y=2×1.02175≈63.98.

∵78÷63.98≈1.22>1.2,∴这名男生体重偏胖. 二、数学模型的应用

【例 2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:

月份 1 2 3

用气量 4 m3 25 m3 35 m3

煤气费 4元 14 元 19 元

该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量 A m3,那 么只付基本费 3 元和每户每月的定额保险费 C 元;若用气量超过 A m3,那么超出部分付超额费, 每立方米为 B 元,又知保险费 C 不超过 5 元,试根据上述条件及数据求 A、B 的值. 思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系,这显然是一分段函数. 解:设月用气量为 x m3,支付的煤气费为 y 元,依题意有,

?3 ? C, ??3 ? B(x ? A) ? C,

(0 ? x ? A) (x ? A)

∵0<C≤5, ∴3<3+C≤8. ∴二、三月份煤气费满足

?14 ? 3 ? B(25 ? A) ? C, ??19 ? 3 ? B(35 ? A) ? C,

?B ? 0.5,

? ?

A

?

3

?

2C.

若一月份用气超过 A m3,则 4>A,

∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.

∴4=3+C,C=1,B= 1 ,A=5. 2
温馨提示

解决实际问题,首先在审清题意的基础上,将实际问题转化成相应的函数来解决.函数

模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型.并利

用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测,在用函数模型解决实际问题的过

程中,涉及复杂的数据处理,要注意充分发挥信息技术的作用,简化过程、减小计算量.

各个击破

类题演练 1

我国 1990—2000 年的国内生产总值如下表所示:

年份

1990

1991

1992

1993

产值/亿元

18 598.4

21 662.5

26 651.9

34 560.5

年份

1994

1995

1996

1997

产值/亿元

46 670.0

57 494.9

66 850.5

73 142.7

年份

1998

1999

2000

产值/亿元

76 967.1

80 422.8

89 404.0

(1)描点画出 1990—2000 年国内生产总值的图象;

(2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并画出其图象;

(3)根据所建立的函数模型,预测 2004 年的国内生产总值.

解析:(1)取自变量 x 为 0,1,…,10,对应年份为 1990,1991,…,2000 得函数图象,

如下图:

(2)根据图象,取函数模型 y=a·bx. 取 2 组数据: (2,26 651.9),(8,76 967.1).

代入

y=a·bx



??26651.9 ? ??76967.1

? ?

a a

? ?

b2, b8 ,

解得 a≈18 715.5,b≈1.19,得函数模型: y=18 715.5×1.19x. 将其他数据代入上述函数解析式,基本吻合.

(3)令 x=14 得 y≈213 726.8(亿元), 根据所建函数模型预测 2004 年的国内生产总值为 213 726.8 亿元.

类题演练 2 已知某企业的原有产品,每年投入 x 万元,可获得的年利润可表示为函数:P(x)

=- 1 ·(x-30)2+8(万元).现开发一个回报率高、科技含量高的新产品,据预测,新产 100

品每年投入 x 万元,可获得年利润 Q(x)=- 99 (100-x)2+ 257 (100-x)(万元).新产品

100

5

开发从“十五”计划的第一年开始,用两年时间完成.这两年,每年从 100 万元的生产准备

金中,拿出 80 万元来投入新产品开发.从第三年开始这 100 万元全部用于新旧两种产品的生

产投入. (1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款 1 000 万元,利率为 5.5%(不计复利),第

五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元?

(2)从新产品投产的第三年开始,从 100 万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多

少万元,才能使年利润最大?

(3)从新旧产品的五年总利润中最高拿出 70%来,能否还清对银行的欠款?

解析:(1)五年利息是 1 000×0.055×5=275(万元),本利和为 1 275 万元.

(2)设从第三年年初起每年旧产品投入 x 万元,新产品投入(100-x)万元,于是每年的利

润 是 W=P ( x ) +Q(100-x)= [ - 1 ( x-30 ) 2+8 ] +{- 99 [ 100-(100-x) ] 2+ 257

100

100

5

[100-(100-x)]}=(- 1 x2+ 3 x-1)+(- 99 x2+ 257 x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.

100 5

100 5

∴投入旧产品 26 万元,新产品 74 万元时,每年可获得最大的利润,最大利润是 675

万元. (3)因为 P(x)在(0,30]上是增函数,所以在 100 万元的生产准备金中除用于新

产品开发外,剩余的 20 万元全部投入即可得到最大利润.于是,头 2 年的利润是 W1=2×P(20) =14(万元);后 3 年的利润是 W2=3×[P(26)+Q(74)]=3×675=2 025(万元),故 5 年的 总利润是 W=W1+W2=2 039 万元,又 2 039×70%=1 427.3>1 275,所以从新旧产品的五年总 利润中拿出 70%来,能够还清对银行的欠款.


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