高中数学——三角函数图像和性质讲义

【讲义课题 】 : 三角函数图像和性质 【考点及考试要求 】

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5 2 -4 -7 2 -3 -2 -3 2 2

y 1 o -1
2 3 2 2 5 2 3 7 2 4

x

y=cosx
-3 -4 -7 2 -5 2 -2 -3 2 2

y 1 o -1
2 3 2 2 5 2 3 7 2 4

x

y

y

y=tanx

y=cotx

3 2

-

-

o
2 2

3 2

x

-

-

o
2 2

3 2

2

x

2.三角函数的单调区间:

y

sin x 的递增区间是

2k

2

, 2k

2 3 2 (k (k

(k

Z) ,

递减区间是

2k

2

, 2k

(k

Z) ;

y

cos x 的递增区间是
递减区间是

2k 2k , 2k

, 2k

Z) , Z) ,

y

tan x 的递增区间是

k

2

,k

2

(k

Z) ,

3.函数 y 最大值是 A

A sin( x

)

B(其中 A

0, 2

0 )
,频率是 f ,相位是

B, 最小值是 B

A ,周期是 T

x

2



1

初相是

;其图象的对称轴是直线

x

k

2

(k

Z ) ,凡是该图象与直线

y

B的

交点都是该图象的对称中心。 4.由 y= sin x 的图象变换出 两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 形,请切记每一个变换总是对字母 变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换 先将 y= sin x 的图象向左 ( 的横坐标变为原来的 ( 伸缩变换 ) > 0) 或向右 ( < 0=平移| |个单位,再将图象上各点 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变

y= sin( ω x+

) 的图象一般有两个途径,只有区别开这

x 而言, 即图象变换要看 “变量” 起多大变化, 而不是“角

1

倍 ( ω > 0) ,便得 y = sin( ω x + ( 伸缩变换 ) 再平移变换。

) 的图象。

途径二:先周期变换

先将 y = sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 或向右 ( < 0=平移

1

倍 ( ω > 0) ,再沿 x 轴向左 ( ) 的图象。

> 0)

|

|

个单位,便得

y = sin( ω x+

5.由 y= Asin( ω x + 给出图象确定解析式

) 的图象求其函数式: ,

y =Asin (ω x+ )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-

0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 ..第一个零点的位置。 6 .对称轴与对称中心:

y y

sin x 的对称轴为 x

k

2

,对称中心为 ( k ,0)

k

Z;
对称轴与最

cos x 的对称轴为 x k ,对称中心为 (k 2 ,0) ; A sin( x ) 和 y A cos( x ) 来说, 对称中心与零点相联系, 对于 y

值点联系。 7 .求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数 , 并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y A sin( x ) 、 y A cos( x ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y =Asin ( ω x+ 五点取法是设 再描点作图。 )的简图: π 2 、 π、 3π 2 、 2 π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,

x=ω x + ,由 x 取 0、

题型 1 :三角函数的图象
2

例 1. ( 2000 全国, 5)函数 y=- xc os x 的部分图象是(



解析:因为函数 ∈( 0,

y=- xc osx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除

A、 C ,当 x

)时, y =- xc os x < 0 。答案为 D。

2
例 2. ( 2002 上海, 15)函数 y =x +sin| x| , x ∈[- π , π ]的大致图象是( )

解析:由奇偶性定义可知函数

y =x +sin| x| , x∈[- π , π]为非奇非偶函数。选
这样既有利于掌握函数的图象与性质, 又能

项 A、 D 为奇函数, B 为偶函数, C 为非奇非偶函数。 点评: 利用函数的性质来描绘函数的图象, 熟练地运用数形结合的思想方法。 题型 2 :三角函数图象的变换 例 3 . 试述如何由 y= 解析: y = 1 3
横坐标扩大为原来的 纵坐标不变 图象向右平移 π 个单位 3 纵坐标不变 纵坐标扩大到原来的 横坐标不变 3倍

1 3 π 3

sin ( 2x + )

π 3

)的图象得到

y =sin x 的图象。

sin ( 2x+

2倍

y

1 (x sin 3
1 3 sin x

π ) 3

y

y

sin x

另法答案: ( 1)先将 y = ( 2)再将 y = 的图象; ( 3)再将 y = 1 sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 1 3 1 3 sin ( 2 x+ π 3 )的图象向右平移 π 6 个单位,得 y= 1 3 2 倍(纵坐标不变) ,得 y = 1 3 sin x sin2 x 的图象;

sin2 x 上各点的横坐标扩大为原来的

y=sin x 的图象。
3

例 4 . 把曲线 ycos x+2 y- 1=0 先沿 x 轴向右平移

个单位,再沿

y 轴向下平移 1 个单

2
位,得到的曲线方程是( . ( y+1) sin x+2y +1=0 C )

A. ( 1- y) sin x+2y- 3=0

B. ( y- 1 ) sin x+2y - 3=0
D.- ( y+1)sin x+2y +1=0

解析:将原方程整理为:

y=

1 2 cos x 1

,因为要将原曲线向右、向下分别移动

2

个单

位和 1 个单位,因此可得

y=

- 1 为所求方程 . 整理得( y+1 ) sin x +2y +1=0.

2 cos(x

2

)
如果对平移有深刻理

点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 解,可直接化为: ( y +1) c os ( x -

2

) +2 ( y+1)- 1=0,即得 C 选项。

题型 3 :三角函数图象的应用
例 5.( 1)已知函数

f ( x)=Asin ( ω x +

) ( A>0,ω >0, 求直线 y =

x∈ R)在一个周期内的图象如图所示,
函数 f ( x)图象的所有交点的坐标。

3与


解析:根据图象得

A=2, T=

7 π -(- 2 2
) ,

) =4π,

∴ω=

1 2

,∴ y =2sin (

x 2

+

又由图象可得相位移为-

,∴-

2

1 2

=-

,∴

=

. 即 y=2sin (

1 2

x+

) 。

2

4

4

根据条件 ( k ∈ Z) , ∴ x=4kπ +

3 =2sin



1 2

x

4

) ,∴

1 2

x

4

=2kπ +

3

( k ∈ Z) 或

1 2

x

4

=2kπ +

2 π 3

( k ∈ Z)或 x =4k π +

5 6

6
∴所有交点坐标为( 4 kπ +

π ( k∈ Z) 。

, 3 )或( 4 kπ + 6

5 6

, 3) ( k ∈ Z) 。

4

点评:本题主要考查三角函数的基本知识,

考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。

( 2) ( 2002 全国文 5 )在( 0 , 2 π )内,使 sin x > cos x 成立的 x 取值范围为(



A. (



)∪( π,

5 4



B. (

,π)

4
. ( C ,

2 5 4


4
D . ( , π)∪(

5 4



3 2



4
解析: C;

4

解法一:作出在( 0, 2π ) 区间上正弦和余弦函数的图象, 由图 1 可得 C 答案。

解出两交点的横坐标



5 4



4

图 1 题型 4 :三角函数的定义域、值域

图 2

解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选

C 。 (如图 2 )

例 7. ( 1)已知 f ( x )的定义域为[ 0 , 1] ,求 f ( c os x)的定义域; ( 2)求函数 y =lgsin ( cos x )的定义域; 分析: 求函数的定义域: ( 1 )要使 0≤ c os x≤ 1, ( 2)要使 sin ( cos x )> 0 ,这里的 c os x 以它的值充当角。 解析: ( 1) 0 ≤ cos x< 1 ∴所求函数的定义域为 2k π - π 2 { x | x ∈[ 2 kπ - π , 2k π + ≤ x≤ 2 kπ + π 2 π ]且 x≠ 2 k π, k∈ Z} 。 ,且 x ≠ 2k π ( k ∈ Z) 。

( 2)由 sin ( cos x )> 0

2 2 2 k π < cos x< 2 kπ +π ( k∈ Z) 。 π 2 π 2

又∵- 1 ≤ cos x≤ 1 ,∴ 0< cos x≤ 1 。 故所求定义域为 { x | x ∈( 2k π - , 2k π + ) , k∈ Z} 。

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角 函数线。

例 8. 已知函数 f ( x) = 性,并求其值域。

6 cos x 5cos x 1 cos2 x

4

2

,求 f ( x )的定义域,判断它的奇偶

5

解析:由 cos2 x≠ 0 得 2x ≠ kπ +

,解得 x≠

k 2 4

, k∈ Z,所以 f ( x )的定义域为

2
{ x| x ∈ R 且 x≠

k 2 4

, k∈ Z} ,

因为 f ( x)的定义域关于原点对称, 且 f (- x) =

6cos ( x)

4

5 cos ( x) 1

2

6 cos x 5 cos x 1 cos 2 x

4

2

=f ( x ) 。

cos( 2x)
所以 f ( x)是偶函数。 又当 x≠

k 2
4

( k∈ Z)时,

4
2

f ( x)=

6 cos x 5 cos x 1 cos 2 x

( 2 cos x 1)( 3 cos x 1) cos 2 x 1 1 或 <y ≤ 2} 。 2 2

2

2

3cos x 1 。

2

所以 f ( x)的值域为 { y| - 1 ≤ y<

点评:本题主要考查三角函数的基本知识, 题型 5 :三角函数的单调性 例 9 .求下列函数的单调区间: ( 1) y = 1 2 sin ( π 4 - 2x 3 1 2 ( 2)可画出 y =- |sin ( x+ 解: ( 1) y = 故由 2kπ - 3 kπ - 由 2 kπ + 3 kπ + 1 2 π 2 3π 8 ≤ 2x 3 - π 4 21 π 8 3π 8 递增区间为[ 3kπ + 9π 8 , 3 kπ + 21 π 8 , 3 kπ + 9π 8 ] , ≤ 2x 3 sin ( π 4 - π 4 9π 8 ≤ 2k π + 3π 2 。 - 2x 3 ≤ 2kπ + π 4 ) =- 1 2 π 2 。 sin ( sin ( 2 3

考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。

) ; ( 2 ) y=-| sin ( x+

π 4

)|。

分析: ( 1)要将原函数化为 y =-

x-

π 4

)再求之。

) | 的图象。 2x 3 - π 4 ) 。

≤ x ≤ 3 kπ +

( k ∈ Z) ,为单调减区间;

π 2

9π 8

≤ x ≤ 3k π +

( k ∈ Z) ,为单调增区间。

∴递减区间为[ 3k π -

] ( k ∈ Z) 。

6

( 2)y =- |sin ( x+

π 4

)| 的图象的增区间为 [ k π +

π 4

,kπ +

3π 4

] ,减区间为 [ kπ -

π 4



kπ +

π 4

] 。

-

5 4 -

3 4

-

y
4 4

3 4

5 4

7 4

o
例 10. ( 2002 京皖春文, 9 )函数 y =2
sin x

x
的单调增区间是( )

A. [ 2kπ -

, 2 kπ +

] ( k∈ Z)

2
B. [ 2kπ +
, 2 kπ +

2 3 2
] ( k∈ Z)

2

C . [ 2kπ - π , 2k π ] ( k∈ Z) D. [ 2kπ , 2 k π+ π ] ( k∈ Z)
解析: A;函数 y =2 为增函数,因此求函数 调增区间。 题型 6:三角函数的奇偶性 例 11.判断下面函数的奇偶性:
x

y=2

sin x

的单调增区间即求函数

y =sin x 的单

f ( x) =lg ( sin x + 1 sin 2 x ) 。
然后再看 f ( x)与 f (- x )的关系。

分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称, 解析:定义域为 R,又 f ( x) +f (- x ) =lg1=0 , 即 f (- x) =- f ( x ) ,∴ f ( x )为奇函数。

点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。 例 12.关于 x 的函数 f ( x ) =sin ( x + ①对任意的 ②不存在 ③存在 ④对任意的 )有以下命题: , f ( x )都是非奇非偶函数; ,使 f ( x)既是奇函数,又是偶函数; ,使 f ( x)是奇函数; , f ( x )都不是偶函数。 _____. 因为当 =_____ 时,该命题的结论不成立。 +k π( k ∈ Z)

其中一个假命题的序号是

答案:①, k π( k ∈ Z) ;或者①,

+kπ ( k∈ Z) ;或者④,

2
解析:当 =2 kπ, k ∈ Z 时, f ( x) =sin x 是奇函数。当 =2k π +

2
=2( k+1 )π ,k∈ Z 时 f ( x) =2kπ- , k∈ Z

=- sin x 仍是奇函数。当

, k ∈ Z 时, f ( x ) =cos x ,或当

2
时, f ( x ) =- cosx , f ( x)都是偶函数 . 所以②和③都是正确的。无论 ( x )恒等于零。所以 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。

2
为何值都不能使

f

f ( x )不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 k∈ Z 不能不

7

题型 7:三角函数的周期性 例 13.求函数 y=sin x +c os x 的最小正周期,并求 分析:将原函数化成
6 6 6 6

x 为何值时, y 有最大值。
2 2 4

y =Asin ( ω x+
2 2

) +B 的形式,即可求解。
4

解析: y =sin x +c os x=( sin x+cos x) ( sin x - sin xcos x +cos x) =1- 3sin xc os x=1- ∴ T= π 2 当 c os4x =1,即 x= 题型 8:三角函数的最值 例 14. 设 M和 m分别表示函数 kπ 2 ( k∈ Z)时, ymax=1。 。
2 2

3 4

sin 2 x =

2

3 8

c os4 x+

5 8



y=

1 3

c os x - 1 的最大值和最小值,则

M +m等于(



A.

2 3

B.-

2 3

C.-

4 3

D

.- 2

解析: D;因为函数 g( x ) =cos x 的最大值、最小值分别为

1 和- 1 。所以 y =

1 3

cos x - 1

的最大值、最小值为-

2 3

和-

4 3

。因此 M +m =- 2。

8


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