2.5 等比数列的前n项和练习题及答案解析

1.设数列{(-1)n 1· n}的前 n 项和为 Sn,则 S2011 等于( ) A.-2011 B.-1006 C.2011 D.1006 答案:D 1 2.已知数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S9 等于( ) n?n+1? 9 7 A. B. 10 10 10 10 C. D. 9 7 答案:A 1 3. 数列{an}的通项公式 an= , 若前 n 项的和为 10, 则项数 n 为__________. n+ n+1 答案:120 1 1 1 1 4.求数列 1 ,3 ,5 ,…,[(2n-1)+ n]的前 n 项和. 2 4 8 2 1 1 1 1 解:Sn=1 +3 +5 +…+[(2n-1)+ n] 2 4 8 2 1 1 1 1 =(1+3+5+…+2n-1)+( + + +…+ n) 2 4 8 2 1 1 [1-? ?n] 2 ?1+2n-1?· n 2 = + 2 1 1- 2 1 =n2+1- n. 2


一、选择题 1.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a9=10,则前 9 项和 S9=( ) A.45 B.52 C.108 D.54 答案:D - 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n 1(4n-3),则 S15 =( ) A.-29 B.29 C.30 D.-30 解析:选 B.S15=1-5+9-13+…+57=-4×7+57=29. 3.数列 9,99,999,9999,…,的前 n 项和等于( ) 10 ? 10n-1? A.10n-1 B. -n 9 10 10 C. (10n-1) D. (10n-1)+n 9 9 解析:选 B.an=10n-1, ∴Sn=a1+a2+…+an =(10-1)+(102-1)+…+(10n-1) 10?10n-1? =(10+102+…+10n)-n= -n. 9 4.(2010 年高考广东卷)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2· a3=2a1,

5 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 解析:选 C.设公比为 q(q≠0), 则由 a2· a3=2a1 知 a1q3=2,∴a4=2. 5 1 1 又 a4+2a7= ,∴a7= .∴a1=16,q= . 2 4 2 15 16[1-? ? ] 2 a1?1-q5? ∴S5= = =31. 1 1-q 1- 2 5.(2010 年高考福建卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 A.设等差数列的公差为 d, 则由 a4+a6=-6 得 2a5=-6, ∴a5=-3.又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2, n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时 Sn 取最小值,故选 A. 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 6.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,…,那么数列{bn}={ }前 n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 anan+1 项的和为( ) 1 1 1 A.4(1- ) B.4( - ) 2 n+1 n+1 1 1 1 C.1- D. - 2 n+1 n+1 n?n+1? 2 1+2+3+…+n n 解析:选 A.∵an= = = , 2 n+1 n+1 1 4 1 1 ∴bn= = =4( - ). n n+1 anan+1 n?n+1? 1 ∴Sn=4(1- ). n+1 二、填空题 1 7.已知 an=n+ n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 3 1 1 1 解析:Sn=(1+2+…+n)+( + 2+…+ n) 3 3 3 1 1 = (n2+n+1- n). 2 3 1 2 1 答案: (n +n+1- n) 2 3 1 8.若数列{an}的通项公式 an= 2 ,则数列的前 n 项和 Sn=__________. n +3n+2 1 解析:an= 2 n +3n+2 1 1 1 = = - , ?n+1??n+2? n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 Sn=( - )+( - )+…+( - ) 2 3 3 4 n+1 n+2

1 1 n = - = . 2 n+2 2n+4 n 答案: 2n+4
?2n 1 ?n为正奇数?, ? 9.已知数列{an}中,an=? 则 a9=________(用数字作答),设 ? ?n为正偶数?, ?2n-1 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9=________(用数字作答). - 解析:a9=29 1=256. S9=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8) 1-45 4×?3+15? = + =377. 2 1-4 答案:256 377 三、解答题 10.已知数列{an}的通项 an=2· 3n,求由其奇数项所组成的数列的前 n 项和 Sn. n+1 an+1 2· 3 解:由 an=2· 3n 得 = =3,又 a1=6, an 2· 3n ∴{an}是等比数列,其公比为 q=3,首项 a1=6, ∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为 q2=9,首项为 a1=6, 6?1-9n? 3 n ∴Sn= = (9 -1). 4 1-9 11.(2010 年高考重庆卷)已知{an}是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn-an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn. 解:(1)∵{an}是首项为 a1=19,公差为 d=-2 的等差数列, ∴an=19-2(n-1)=21-2n, 1 Sn=19n+ n(n-1)×(-2)=20n-n2. 2 - - (2)由题意得 bn-an=3n 1,即 bn=an+3n 1, - ∴bn=3n 1-2n+21, 3n-1 - Tn=Sn+(1+3+…+3n 1)=-n2+20n+ . 2 12.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1,证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:由 an+1=2an+2n,两边同除以 2n, an+1 an 得 n = n-1+1. 2 2 an+1 an ∴ n - n-1=1,即 bn+1-bn=1, 2 2 ∴{bn}为等差数列. an 1 (2)由第(1)问得, n-1= 0+(n-1)×1=n. 2 2 - ∴an=n· 2n 1, - ∴Sn=20+2×21+3×22+…+n×2n 1.① - ∴2Sn=21+2×22+…+(n-1)2n 1+n· 2n.② n 0 1 2 n-1 n 1-2 ∴①-②得-Sn=2 +2 +2 +…+2 -n· 2= -n· 2n=(1-n)· 2n-1. 1-2 ∴Sn=(n-1)· 2n+1.



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