精编版----三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

三角函数--概念、方法、题型、易错点

1.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S

?

1 2

lR

?

1 2

|

?

|

R2

,1

弧度(1rad)

?

57.3

.



(1)已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

2、任意角的三角函数的定义:如 (1)已知角? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin? ? cos? 的值为__。

3.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)”、 余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)”、正切线 AT“站在点 A(1,0) 处
(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 解三角不等式。如

y

B

ST

P

α O MA x

(1)若 ? ? ? ? ? 0 ,则 sin? ,cos? , tan? 的大小关系为_____ 8
4.特殊角的三角函数值:牢记

5.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系: (2)商数关系:

注意:需要先根据角的范围确定三角函数值的符号;弦切互化的技巧。如

(1)已知 tan? ? ?1,则 sin ? ? 3cos ? =___ ;sin2 ? ? sin? cos? ? 2 =____ .

tan? ?1

sin ? ? cos ?

(2)已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于

A、 ? a 1? a2

B、 a 1? a2

C、 ? 1? a2 a

D、 1? a2 a

(3)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30 ? ) 的值为______

.

6.三角函数诱导公式:牢记

诱 导 公 式 的 应 用 是 求 任 意 角 的 三 角 函 数 值 , 其 一 般 步 骤 :( 1 ) 负 角 变 正 角 , 再 写 成

2k? +? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。如

(1) cos 9? ? tan(? 7? ) ? sin 21? 的值为________

4

6

(2)已知 sin(540? ? ? ) ? ? 4 ,则 cos (? ? 270? ) ? ______,若 ? 为第二象限角,则 5

[sin(180? ?? ) ? cos(? ? 360? )]2 tan(180? ? ?)

? ________。

7、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:牢记 8. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本的技巧有:

(一)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变

换、两角与其和差角的变换. 如? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?

?

(?

??) ? (?

??) ,?

?

?

?

2??

? 2

?

,?

? 2

?

?

??? 2

?

? ?? 2

等),如

(1)已知 tan(? ? ? ) ? 2 , tan(? ? ? ) ? 1 ,那么 tan(? ? ? ) 的值是_____

5

44

4

(2)已知?, ? 为锐角, sin? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? 3 ,则 y 与 x 的函数关系 5

为______

.

(二)三角函数不同名互化,如 (1)求值 sin 50 (1? 3 tan10 )

(三)公式变形使用( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 tan? tan ? ? 。如
(1)设 ?ABC 中,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,sin Acos A ? 3 ,则此三角形是 4
____ 三角形.

(四)三角函数次数的降升(降幂公式: cos2 ? ? 1? cos 2? , sin2 ? ? 1? cos 2? 与升

2

2

幂公式:1? cos 2? ? 2cos2 ? ,1? cos 2? ? 2sin2 ? )。如

(1)若? ?(? , 3 ? ) ,化简 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 为_____

.

2

2 22 2

(五)

“1”的变换(1 ? sin2 x ? cos2 x

?

tan

? 4

?

sin

? 2

?

等),如

(1)已知 tan? ? 2 ,求 sin2 ? ? sin? cos? ? 3cos2 ?

(六)正余弦“三兄妹—sin x ? cos x、sin xcos x ”的内存联系――“知一求二”,如 (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __

(2)若?

?

(0,?

),

sin

?

?

cos

?

?

1 2

,求

tan?

的值。

(3)已知 sin 2?

? 2sin2 ?

?k

? (

??

? ? ) ,试用 k 表示 sin? ? cos?

的值

1? tan?

4

2

9、辅助角公式中辅助角的确定:asin x ? bcos x ? a2 ? b2 sin ? x ? ? ? (其中? 角所在的象限
由 a, b 的符号确定,? 角的值由 tan? ? b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如 a
(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.
(2)当函数 y ? 2cos x ? 3sin x 取得最大值时, tan x 的值是______

(3)如果 f ? x? ? sin? x ??? ? 2cos(x ??) 是奇函数,则 tan? =

10、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:

五点法:先取横坐标分别为 0,? ,? , 3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来, 22
就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

11、正弦函数 y ? sin x(x ? R) 、余弦函数 y ? cos x(x ? R) 的性质:牢记

特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?

(一)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2? ;② f (x) ? Asin(?x ??) 和

f (x) ? Acos(?x ??) 的最小正周期都是T ? 2? 。如 |? |

(1)若 f (x) ? sin ?x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2003) =___ 3
(二)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x(x ? R) 是奇函数,对称中心是 ?k?,0??k ?Z ? ,

对 称 轴 是 直 线 x ? k? ? ? ?k ? Z ? ; 余 弦 函 数 y ? cos x(x ? R) 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是
2

? ??

k?

?

? 2

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

,对称轴是直线

x

?

k?

?k

?

Z

?(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或

最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点)。如

(1)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin3 x ?1( a,b 为常数),且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______

(2)已知 f ( x ) ? sin( x ?? ) ? 3 cos( x ?? ) 为偶函数,求? 的值。

(三)单调性:特别提醒,别忘了 k ? Z ! 12、形如 y ? Asin(?x ??) 的函数: 重中之重
(一)几个物理量:A―振幅; f ? 1 ―频率(周期的倒数);?x ?? ―相位;? ―
T 初相;

Y
(二)函数 y ? Asin(?x ??) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由 2

周期确定;? 由图象上的特殊点确定,如

3

2?

9

(1) f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0 , | ? |? ? ) 的图象如图所示,

X

2

-2

则 f (x) =_____

23题图

(三)函数 y ? Asin(?x ??) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ?x ?? ,令 X =

0,? ,? , 3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 22
这是作函数简图常用方法。
(四)函数 y ? Asin(?x ??) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:

要特别注意,若由 y ? sin ??x? 得到 y ? sin??x ??? 的图象,则向左或向右平移应平

移 | ? | 个单位,如(1) 要得到函数 y ? cos( x ? ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象向

?

24

2

___ 平移____ 个单位.

(五)研究函数 y ? Asin(?x ??) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将

y ? Asin(?x ??) 中的?x ?? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? Asin(?x ??) 的单调区间时,

要特别注意 A 和? 的符号,通过诱导公式先将? 化正。如

(1)函数 y ? sin( ?2x ? ? ) 的递减区间是______

.

3

13、正切函数 y ? tan x 的图象和性质:牢记

(1)定义域:{x | x ? ? ? k? , k ? Z}。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数 2
的定义域了吗?

(2)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是

? ??

k? 2

,

0

? ??

?k

?

Z

?

,特别提醒:正(余)

切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,

但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。

(3)单调性:正切函数在开区间

? ??

?

? 2

?

k?

,

? 2

?

k?

? ??

?

k

?

Z

?

内都是增函数。但要注意

在整个定义域上不具有单调性。

14. 三角形中的有关公式:

(1)内角和定理:三角形三角和为? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可 不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角

三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边

的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理: a sin A

?

b sin

B

?

c sin C

? 2R (R

为三角形外接圆的半径).注意:①正弦

定理的一些变式: ?i?a ? b ? c ? sin A? sin B ? sinC ; ?ii?sin A ? a ,sin B ? b ,sin C

2R

2R

? c ;?iii?a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,b ? 2RsinC ;②已知三角形两边一对角,求解三角形
2R

时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b2 ? c2 ? a2 等,常选用余弦定理鉴定三 2bc
角形的形状.

(4)面积公式:

S

?

1 2

aha

?

1 2

ab sin C

?

1 2

r(a

?b

?

c)

(其中

r

为三角形内切圆半径).

如 ?ABC 中,若 sin2 Acos2 B ? cos2 Asin2 B ? sin2 C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角三

角形)。

特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A? B ? C ? ? 这个特殊性:

A ? B ? ? ? C,sin(A ? B) ? sin C,sin A ? B ? cos C ;(2)求解三角形中含有边角混合关系的

2

2

问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6, b ? 4,那么满足条件 的 ?ABC

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____ 条件. (3)在 ?ABC 中,若其面积 S ? a2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____
43

(4)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边,a ? 3, cos A ? 1 ,则cos2 B ? C = ,

3

2

b2 ? c2 的最大值为

.

(5)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是

(6)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA的面积 满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ?A

15、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选 择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三 角函数值)。如
(1)若?, ? ?(0,? ) ,且 tan? 、 tan ? 是方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求? ? ? 的值
______


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