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山东省济南市平阴一中2011-2012学年高二上学期期末质量检测(数学)

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山东省济南市平阴一中 2011-2012 学年高二上学期期末质量检测 数学试题 说明:本试卷为发展卷,采用长卷出题、自主选择、分层计分的方式,试卷满分 150 分,考生每一大题的 题目都要有所选择,至少选作 120 分的题目,多选不限。试题分为第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 两部分,第Ⅰ 卷为第 1 页至第 4 页,第Ⅱ 卷为第 5 页至第 6 页。考试时间 120 分钟。 温馨提示:生命的意义在于不断迎接挑战,做完 120 分基础题再挑战一下发展题吧,你一定能够成功! 第 I 卷(选择题,共 54 分) 一、选择题(本大题共 18 个小题,每小题 3 分,共 54 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.)

1.

x ?1 ?0 不等式 2 x ? 4 的解集是( )
B. (??,1) D. (??, ?2) ? (1, ??)

A. (?2,1) C. (?2, ??)

2.

a 在等比数列{ n }中,已知
B 3 D ± 3

a1 ?

1 9 , a5 ? 9 ,则 a3 ? (



A 1 C ± 1

3.

在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则此三角形是( B 直角三角形 D 等腰或直角三角形



A 等腰三角形 C 等腰直角三角形

4.

y ? 3x(8 ? 3x) ( 函数
4 3

0? x?

8 3 )的最大值是(



A0 5.

B

C

4

D

16 )

已知等差数列 A.6

?an ? 满足 a2 ? a5 ? 3 ,则 S6 的值为(
C.12 D.24

B.9

6.

若 ?ABC 的三角 A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 A、B、C 分别所对边 a : b : c =( ) B. 1: 2 : 3 D. 1: 2 : 3

A. 1: 2 : 3 C. 1: 3 : 2 7.

已知 a , b 是两个正数,则下列不等式中错误的是( )
2

A. a ? 3 ? 2a
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B. a ? b ? 2ab
2 2

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a?b a 2 ? b2 ? 2 C. 2

a b ? ?2 D. b a q?? 1 1 an ? 3, 9 ,则 n ? ()
D.7 )

8.

在等比数列

{an } 中,已知 a1 ? 9 ,
B.5

A.4

C.6

ΔABC 中,a=1,b= 3 , A=30° ,则 B 等于 ( A.60° C.30° 150° 或 B.60° 120° 或 D.120°

9.

1 等差数列{an}中,已知 a1= 3 ,a2+a5=4,an=33,则 n 为(

)

A.50 B.49 C.48 D.47 10. 若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是 A.18 B.6 C.2 3
4 D.2 3

(

)

11. 已知数列 A.80

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ?1? ,则 a5 的值为(
B.40 C.20 D.10

)

1 2 a, b ? R ? , ? ? 1 a b 12. 已知 ,则 a ? b 的最小值是
A4 C 6 B3? 2 2 D3? 4 2

z?
13. 目标函数 A. C.

y ?1 x ,变量 x, y 满足

?x ? y ? 4 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 1 ?

,则有(

)

zmax ? 2, zmin ? 0

B.

zmax ? 3, zmin ? 0
D.

zmin ? 3, zmin ? 1 无最大值

zmax ? 0, zmin ? ?2

14. 在三角形 ABC 中,如果 A. 30
0

? a ? b ? c??b ? c ? a? ? 3bc ,那么 A 等于(
B. 60
0

)

C. 120

0

D. 150

0

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2 15. 设关于 x 的不等式: x ? ax ? 2 ? 0 解集为 M ,若 2 ? M , 3 ? M ,则实数 a 的取值范围是( )

(??,
A.

3 ) ? (1, ??) 3

(??,
B.

3 ) 3

3 ,1) C. 3 [

3 ,1) D. 3 (
)

16. 已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 ( A .15 B.17 C.19 D .21

17. 设集合 A ? {( x, y) | x, y,1 ? x ? y 是三角形的三边长}, A 所表示的平面区域 则 (不含边界的阴影部分) 是(
y

)
y

y
0.5

y

0.5

0.5

0.5
0.5

o

x

o

0.5

x

o

0.5

x

o

0.5

x

A

B.

C.

D.

第Ⅱ 卷(非选择题,共 96 分) 注意事项: 1.第Ⅱ 卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔、钢笔或圆珠笔答在答题纸上答题,考试结束后将答题卡和 答题纸一并上交。 2.答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分. 请将答案写到答题纸上.) 18. 在 ?ABC 中,已知 b ?

2 , c ? 1, B ? 450 ,则 C =

0 19. 在 ?ABC 中, a ? 4 , b ? 1 , C ? 45 ,则三角形 ABC 的面积为__________

20. 已知数列

{an } 满足

an ?

1 ? 1(n ? 2) a ? a ? an?1 ,当 1 1 时, 4 __________

2x ?1 ?1 21. 不等式 3 x ? 1 的解集是
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22. 已知等比数列

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2

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{an } 的公比为正数,且 a3 a9 =2 a5 , a2 =2,则 a1 =

23. 缺题目 三、解答题(本大题共 9 个小题,其中 25~30 小题每题 8 分,25~30 小题每题 10 分,共 78 分.解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤,请将答案写到答题纸上.) 24. 求下列函数的定义域

(1) f ( x) ? log 2 (

x ?1 ) 2? x

(2) f ( x) ? 2

1? x2

? 2 x ?1

25. 在等差数列

{an } 中, a3 ? 11, a5 ? 7 ,问 n 为何值时 Sn 取得最大值,并求最大值

26. ?ABC, 角A, B, C的对边为a, b, c

(1)a ? 5, b ? 7, c ? 8, 求B (2) A ? 300 , B ? 450 , a ? 1, 求c
27. 已知函数 f ( x) ? lg[(m ?1) x ? 2(m ?1) x ? m] 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围
2

28. 已知数列 (1)求数列 (2)求数列

?an ?满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N ? )

?an ?的通项公式 ?an ?前 n 项和 Sn
2 2

29.ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,求 A

30.建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,若池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则如何设计此池底才能使水池的总造价最低,并求出最低的总造价.

3

cos 2C ? ?
31.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 32.已知数列 (1 求数列

1 4

{an } 的前 n 项的和 Sn ? n2 ? 2n , {b } a ? 2b1, b3 (a3 ? a1 ) ? b1 . 数列 n 是正项等比数列, 且满足 1

{an } 和 {bn } 的通项公式;
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(2 记

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cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项的和.

参考答案
AADCB CCBBA BCBAB CBA 19. 30 20.
0

2

5 21. 3 1 (? , 2) 3 22.
23.

2
a? 1 5

24.

25. (1) {x | x ? 1或x ? -2}

{x |
(2) 26.

1 ? x ? 1} 2

? a3 ? 11, a5 ? 7

?d ?

7 ? 11 ? ?2 5?3 an ? ?2n ? 17
25 ? 64 ? 49 1 ? ? B ? 600 2 ?5?8 2

前 8 项和最大,最大值为 64

(1) cos B ?
27.

(2)C ? 1800 ? 300 ? 450 ? 1050 c a ? sin C sin A c? 1 6? 2 6? 2 ? ? 1 4 2 2

时,成立 28. m ? 1
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?m ? 1 ,m ?1 ? 2 ?? ? 4(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0
综上所述, m ? 1 29. (1)

? an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

所以数列

?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首



an ? 2n ?1

(2)Sn ? 2n?1 ? n ? 2
30. sin C ? 2 3sin B,?c ? 2 3b ,

b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 ? ? 2bc 2bc 2 ,所以 A=300 cosA= 2bc =
31. 设池底的一边长为 x ,另一边长为

y, 总造价为 z 元,依题意有

xy ?

8 ?4 2

8 z ? 120 ? ? (4 x ? 4 y ) ? 80 2
= 480 ? 320 ? ( x ? y)

? 480 ? 320 ? 2 xy ? 1760
当且仅当 x ? y ? 2 时取等号 所以当池底的两边长都为 2 m 时才能使水池的总造价最低,最低的总造价为 1760 元.

1 32. (1)因为 cos2C=1-2sin2C= 4 ,及 0<C<π ?

10 所以 sinC= 4 .
a c ? (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 sin A sin C ,得 c=4

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1 6 由 cos2C=2cos2C-1= 4 ,J 及 0<C<π 得 cosC=± 4
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 (1)数列 或 b= 6 c=4

{an } 前 n 项的和 Sn ? n2 ? 2n

n ? 1时,a1 ? S1 ? 3, n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 又
所以数列 因为数列

{an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N * ) {bn } 是正项等比数列,

1 3 b 1 1 1 b1 ? a1 ? , a3 ? a1 ? 4,? 3 ? ? , 2 2 b1 a3 ? a1 4 公比为 2 ,

数列

{bn } 的通项公式为

bn ?

3 1 1 ? n ?1 ? 3 ? ( ) n 2 2 2

1 cn ? 3(2n ? 1)( ) n , 2 设数列 {cn } 的前 n 项的和为 Tn (2)所以 1 1 1 Tn ? 3[3 ? ? 5 ? ( ) 2 ? ? (2n ? 1) ? ( ) n ] 2 2 2 … 1 1 1 1 1 Tn ? 3[3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 (2n ? 1) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 +…+ 2 2 1 1 1 1 1 1 (1 ? )Tn ? 3{3 ? ? 2[( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) n ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1} 2 2 2 2 2 …+ 2

1 1 ( )2 (1 ? ( ) n ?1 ) 1 1 1 2 Tn ? 3{3 ? ? 2[ 2 ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1} 1 2 2 2 1? 2 1 ? Tn ? 15 ? (6n ? 15) ? ( ) n 2
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