【人教版】2020版高中数学 第三章 3.1 二维形式的柯西不等式试题 新人教A版选修4-5

一 二维形式的柯西不等式

1.若 a2+b2=2,则 a+b 的最大值为( )

课后篇巩固探究

※精 品 ※ 试 卷※

A.1

B.

C.2

D.4

解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当 a=1,b=1 或 a=-1,b=-1 时, 等号成立),即 a+b 的最大值为 2.

答案 C

2.已知 =2,x,y>0,则 x+y 的最小值是( )

A.

B.

C.

D.5

解析由 =2,

可得 x+y=



(2+3)2=

.

当且仅当

,即 x=5,y=

时等号成立.

答案 A 3.已知 3x+2y=1,则当 x2+y2 取最小值时,实数 x,y 的值为( )
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A.

B.

※精 品 ※ 试 卷※

C.

D.

解析因为 x2+y2= (x2+y2)(32+22)≥ (3x+2y)2= ,所以当 x2+y2 有最小值 ,当且仅当 时,等号成立,得 答案 A 4.函数 y= +2 的最大值是( )

A.

B.

C.3

D.5

解析根据柯西不等式,知 y=1× +2× x= 时,等号成立. 答案 B
5.已知 m2+n2= ,则 m+2n 的最大值为( )

,当且仅当 =2 ,即

A.

B.

C.

D.6

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※精 品 ※ 试 卷※

解析由柯西不等式可得(m2+n2)[( )2+22]≥( m+2n)2,即 ×6≥( m+2n)2,则 m+2n≤ ,故 m+2n 的最大值为

. 答案 B 6. ()
A.2R

导学号 26394051 若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形 ABCD 周长的最大值为

B.2 R

C.4R

D.4 R

解析如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x,则宽为

l=2(x+

)=2(1×x+1×

).

,于是 ABCD 的周长

由柯西不等式得 l≤2[x2+(

)2

(12+12

=2×2R×

=4

R,当且仅当

x·1=

·1,即 x=

R 时,等号成立.

此时

R,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周

长为 4

R.

答案 D

7.若 3x+4y=2,则 x2+y2 的最小值为

.

解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,

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得 25(x2+y2)≥4,

所以 x2+y2≥

.

※精 品 ※ 试 卷※

解方程组

因此,当 x=

,y=

时,x2+y2 取得最小值,最小值为

.

答案

8.设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=

,Q=

,则 P 与 Q 的大小关系是

.

解析 P=



=

=Q

当且仅当

时,等号成立

.

答案 P≤Q

9.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为

.

解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥( (am+bn)(bm+an)的最小值为 2.
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)2=mn(a+b)2=2,即

答案 2 10.函数 y=

的最大值为

.

解析∵y=

,

∴y=1×

※精 品 ※ 试 卷※

≤ 答案

当且仅当

,即 x=

时等号成立

.

11.已知 a,b∈R+,且 a+b=1,则

的最小值是

.

解析因为 a,b∈R+,且 a+b=1,所以 =(a+b)·

,由柯西不等式得

(a+b)

,当且仅当

,且 a+b=1,即 a= -1,b=2- 时,

取最小值

.

答案 12.已知 a,b,c 为正数,且满足 acos2θ +bsin2θ <c,求证 cos2θ + sin2θ < . 证明由柯西不等式得 cos2θ + sin2θ

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=

,

故不等式成立.

13.设 a,b∈R+,且 a+b=2.求证 证明由柯西不等式,有

≥2.

[(2-a)+(2-b)]

=[(

)2+(

)2]

≥ =(a+b)2=4.


=2 故原不等式成立.
14.已知 x2+y2=2,且|x|≠|y|,求 ※推荐※下载※

. 的最小值.

※精 品 ※ 试 卷※

解令 u=x+y,v=x-y,则 x= ,y= . ∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8, ∴u2+v2=4.

由柯西不等式,得

(u2+v2)≥4,

※精 品 ※ 试 卷※

当且仅当 u2=v2=2,即 x=±

,y=0,或 x=0,y=±

时,

的最小值是 1.

15.

导学号 26394053 求函数 y=

的最小值.

解 y=

,

根据柯西不等式,有 y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2

≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+

]=[(x-1)+(3-x)]2+(

)2=11+2

.

当且仅当

(x-1)=

(3-x),即 x=

时,等号成立.

此时 ymin=

+1.

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