湖北省宜昌市第一中学2015届高三下学期第一次模拟考试(A)数学(理)试题 Word版含解析

宜昌一中 2015 年高考适应性考试(一) 数 学(理工类)
本试题卷共 4 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? {x | y ? lg( x2 ? x ? 2)} ,则 A. [?3, ?1) 【答案】C 【解析】 试题分析:由题根据所给集合化简求集合 B 的补集再与 A 取交集即可; 由题 A ? [?3,1],B ? ? ??, ?1? ? ? 2, ??? ,?CR B ? [?1,2],A? CR B ? [?1,1] ,故选 C 考点:集合的运算 2.设复数 z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 A.第一象限 【答案】B 【解析】 试题分析:由题根据所给复数代入式子 B 考点:复数的运算 3. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使 用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 : “这种血清不能起到预防感冒的作用” , 利用 2×2 列联表计算的结果, 认为 H 0 成立的可能性不足 1%, 那么 K 的一个可能取值为( A.7.897 B.6.635 C. 5.024 D. 3.841
2

(

)

B. [?3, ?1]

C. [?1,1]

D. (?1,1]

2? z 对应的点位于( z
C. 第三象限

) D. 第四象限

B. 第二象限

2? z 化简可得-2+i,所以对应点位于第二象限,故选 z

)

【答案】A 【解析】 试题分析:由题这种血清能起到预防感冒的作用为 99%的有效率,显然 k0 ? 6.635, 所以选 A. 考点:独立性检验
2 4.函数 y ? cos ( x ?

?
2

) 的单调递增区间(

) B. (k? ?

A. (k? , k? ? C.

?
2

)k ? Z

?
2

, k? ? ? ) k ? Z

(2k? , 2k? ? ? )k ? Z

D. (2k? , 2k? ? 2? )k ? Z

【答案】A 【解析】 试题分析:由题首先化简所给函数,然后运用整体方法求得其单调递增区间; 由题 y ? cos ( x ?
2

?
2

)?

1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x ? , 2 2

令 2k? ? 2 x ? 2k? ? ? ,? k? ? x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以函数的单调递增区间为

( k? , k? ? ) k ? Z , 2
故选 A 考点:三角函数的图像和性质 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为 以是( )

?

11 ,则判断框中填写的内容可 12

A. n ? 6 【答案】C 【解析】

B. n ? 6 C. n ≤ 6

D. n ≤ 8

试题分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=8 时,S= 意 此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为

11 ,由题 12

11 ,故判断框中填写的内容可以是 n≤6. 12

模拟执行程序框图,可得 S=0,n=2 满足条件,

1 S ? ,n ? 4 满足条件, 2 1 1 3 S ? ? ? ,n ? 6 满足条件, 2 4 4 1 1 1 11 11 S ? ? ? ? ,n ? 8 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 ,故 2 4 6 12 12
判断框中填写的内容可以是 n≤6,故选:C. 考点:程序框图 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积 为( )

A.

32 3

B. 64

C.

32 3 3

D.

64 3

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直, 长度都为 4,代入棱锥体积公式,可得答案. 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为 4, ∴其体积 V ? 考点:三视图 7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一 行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( A.48 种 【答案】A 【解析】
5 试题分析:由题意知先使五个人的全排列,共有 A5 种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻的情

1 64 ? 4? 4? 4 ? , 故选 D. 3 3

)

B.72 种

C.78 种

D.84 种

况,穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果; 由题意知先使五个人的全排列,共有 A 5 5 ? 120 种结果;穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况,有
2 4 2 2 3 2 A2 A4 ? 96 种;穿红色相邻且穿黄色也相邻情况,有 A2 A2 A3 ? 24 种;故:穿相同颜色衣服

的人不能相邻的排法是 120-96+24=48,故选:A 考点:计数原理、排列组合数 8.三棱锥 中,已知 ,点 M 是 的重心,

且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? 9 ,则 | PM | 的最小值为( A. 2B.

uu r uur

uur uuu r uuu r uu r

uuu r

)

4 3 3

C.

6

D. 2 2

【答案】A 【解析】 试题分析: 由题根据所给条件当三棱锥为正四面体时 | PM | 最小, 然后根据所给条件计算即可; 由题 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? 9 ,设正四面体的棱长为 a,则

uuu r

uu r uur

uur uuu r uuu r uu r

???? ? ? 3a 2 2 3? ? 9,? a ? 6,? PM ? 6 ? ? 6? ? ? ? 2 ,故选 A. ? 2 3 2 ? ? ?
考点:柱体、椎体、台体的体积、平面向量的数量积运算

2

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为圆心的 a 2 b2 uuu r uuu r 圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q .若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 4OP ,则双曲线 C 的离心率
9.如图,已知双曲线 C : 为( )

A.

2 3 3

B.

7 2 13 C. D. 3 2 5

【答案】C 【解析】 试题分析:确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=6R,则 OP=3R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论.

uuu r uuu r 因为 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 4OP ,所以△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,渐近线方程


y?

b x,( A a, 0), 取 PQ 的中点 M,则 AM ? a
2

?ab a 2 ? b2

,由勾股定理可得

2 (6R) ? ? 3R ? ? (

?ab a ?b
2 2

2 2 2 ) , ? (ab) ? 27 R( a 2 ? b2)



在△OQA 中,

(6 R)2 ? (3R)2 ? a2 1 ? , ? 27 R 2 ? a 2 2 ? 6 R ? 3R 2
c 2 13 ? . a 5



结合 c 2 ? a 2 ? b2 ,可得 e= 考点:双曲线的简单性质

10.若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ? e x ? y ?2 ? e x ? y ?2 ? 2 恒成立,则实 数 a 的最大值是( A. ) C. 2 D.

1 B. 1 4

1 2

【答案】D

令( g x) ?

2 xe 1 ? e x ?2 ,g ( ? x) ? 2x

x ?2

? 2 ?1 ? e x?2 ? 4x
2

(x ? 1 )e x ?2 ? 1, 令 g′(x)=0,即有 令 ,

( h x)( ? x ?1 )e x?2,h ( ? x) ? xe x?2, (x ? 1 )e x?2 ? 1 当 x>0 时 h (x) 递增, 由于 h (2) =1, 即有
的根为 2,当 x>2 时,g(x)递增,0<x<2 时,g(x)递减, 、即有 x=2 时,g(x)取得最

小值,为

1?1 1 ? , 4 2 1 2

x=2,y=0 时,a 取得最大值

考点:恒成立问题、利用导数研究函数的性质 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请 将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题) 11.11.已知 sin ? ? cos ? ?

2 1 ? tan ? ?. ,则 3 2sin 2 ? ? sin 2?

【答案】 【解析】 试题分析:由题? sin ? ? cos ? ?

2 4 5 ,?1 ? 2sin ? cos ? ? ,? 2sin ? cos ? ? ? 3 9 9

1 ? tan ? cos ? ? sin ? 1 9 ? ? ?? 2 2sin ? ? sin 2? 2sin ? cos ? (sin ? ? cos ? ) 2sin ? cos ? 5
考点:三角函数化简计算 12.已知 ( x ? 2)
2015

? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? a2015 x 2015 ,

则 (a0 ? a2 ? a4 ??? ?a2014 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ??? ?a2015 )2 ? . 【答案】-1 【解析】 试题分析:由题观察所给条件和所求式子通过赋值不难得到结果. 由题令 x=1 可得 (1 ? 2) 令 x=-1 可得 (?1 ? 2)
2015

? a0 ? a1 ? a2 ????? a2015 ,

2015

? a0 ? a1 ? a2 ????? a2015 ,

(a0 ? a2 ? a4 ??? ?a2014 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ??? ?a2015 )2 ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?
考点: 二项式定理

?

??

?

2015

? ?1

13.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若

u , v 满足不等式组 ?
【答案】

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 2 2 则 u ? v 的最小值为. ? f (u ? v ? 1) ? 0,

1 2

【解析】 试题分析:根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简,利用线性规划的知识进 行求解即可. ∵y=f(x-2)的图象关于点(2,0)成中心对称.∴y=f(x)的图象关于点(0,0)成中心 对称.即函数 f(x)是奇函数,则不等式组 ?

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 等价于 ? f (u ? v ? 1) ? 0,

? f ? u ? ? ? f ? v ? 1?=f ?1 ? v ? ? u ? 1? v ,? ? ? u ? v ?1 ? 0 ?u ? v ? 1 ? 0 ?
作出不等式组对应的平面区域如图,则 u +v 的几何意义为区域内的点到原点距离的平方,则 由图象知原点到直线 u=1-v,即 v+u-1=0 的距离最小,此时
2 2

d?

?1

1 1 = , ? ? u 2 ? v 2 ? =d 2 ? min 2 2 2

考点:简单的线性规划 14. 给定可导函数 y ? f ( x) ,如果存在 x0

? ?[a, b] ,使得 f ( x ) ?
0

b

a

f ( x)dx b?a

成立,则称 x0 为函数

f ( x) 在区间 [a, b] 上的“平均值点”.
(1)函数 f ( x) ? x ? 3x 在区间 [?2, 2] 上的平均值点为;
3

(2)如果函数 是. 【答案】(1)1;(2) ? ? 【解析】

在区间 [?1,1] 上有两个“平均值点” ,则实数 m 的取值范围

? ? ?? , ? 4 4? ?

试题分析:由“平均值点”的定义可得,存在 x0 ?[a,b] ,使得 f ( x0 ) ?

?

b

a

f ( x)dx b?a

成立,

?( f x0) ?

2 ?2 ?2 ? x ? 3 x ? dx

2 ? ? ?2 ?

1 1 3 3 2 2 1 ? 8 8 4 ? 4 ? ? ( x ? x) |?2 ? ?( ? 6) ? ( ? ? 6) ? , ? x0 2 ? 3x0 ? , ? ? 4 3 2 4 ? 3 3 3 ? 3

x0 ?

3 129 3 129 3 129 即有在区间上 “平均值点” 的个数 ? , ? ? ? ? ?2, 2?, ? ? ? ?2, 2?, 2 6 2 6 2 6

为 1. 由题设存在 x0 ?[a,b] ,使得

g ? x0 ?

? ?

1 ?1

?

1 ? x2 ? mx dx 1 ? (?1)

?

1? x 1 mx2 ? 1 ? ? ? 1 ? x 2 ? arcsin x ? ? ?1 ? , 2? 2 2 2 ? 4

2 所以 1 ? x0 ? mx0 ?

?
4

在上有两解,问题转化为 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 与直线 y ? ?mx ?

?
4



两个交点问题,因为直线横过 ? 0,

? ?

??

? ? ?? ? ,结合图像不难得到 m ? ? ? , ? . 4? ? 4 4?

考点:新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲)如图, AB 是⊙ O 的直径,C , F 是⊙ O 上的两点,OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 AB 于点 E , OA ? 3, DB ? 3 , 则 DE ? .

【答案】 3 3 【解析】 试题分析: 连接 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F, 所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF, 所以∠OCF=∠OFC.因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°.所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所 以 DF=DE.因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA.所以
2

DE 2 ? DB ? DA ? 3? 9 ? 27,? DE ? 3 3 .

考点:与圆有关的比例线段 16. (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 已知直线 为参数) ,有且仅有一个公共点,则正实数 a 的值为. 【答案】2 【解析】 试题分析:由题将所给直线与圆的参数方程化为普通方程,根据直线与圆相切得到 a 值即可;
2 由题所给直线与圆的普通方程为 3x+4y+a=0, ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆心(1,0)到直线的距离为 1, 2

与曲线

(?

所以

3? a 5

? 1,? a ? 2 .

考点:直线与圆的参数方程 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若角 B ?

2b ? 3c cos C ? . cos A 3a

?
6

, BC 边上的中线 AM ?

7 ,求 ?ABC 的面积.

【答案】(Ⅰ) A ? 【解析】

?
6

;(Ⅱ) 3

试题分析:(Ⅰ)利用正弦定理化边为角可求得 cos A ?

3 ,从而可得 A;(Ⅱ)易求角 C,可知 2

△ABC 为等腰三角形,在△AMC 中利用余弦定理可求 b,再由三角形面积公式可求结果; 试题解析: (I)由正弦定理及

2b ? 3c cos C 2sin B ? 3 sin C cosC ? 得 ? cos A cos A 3a 3 sin A

整理得 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) ? 3sin B ??????????????3 分 又 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ) ,所以 A ? (II)由 B ?

3 2

?
6

????????????????????????6 分

?
6

,A?

?
6

,知 a ? b

?ACM 中,由余弦定理得 cos
所以 ?ABC 的面积 S?ABC ? 考点:正弦定理、解三角形 18.18.(本小题满分 12 分)

2? ? 3

b2 ?

b2 ?7 1 4 ? ? 求得 b ? 2 ??10 分 2 b 2

1 3 ? 2? 2? ? 3 ???????????12 分 2 2

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) .
n (Ⅰ)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)略; (Ⅱ) (?9,3) ? (3, ??)

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 由题根据所给条件可得

Sn ?1 ? 3n?1 ? 2 ,然后得到 {Sn ? 3n } 为等比数列; Sn ? 3n

(Ⅱ)由 Sn ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ,可得 Sn ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 3n ,得到

an ? Sn ? Sn?1 ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ,
因为 ?an ? 为递增数列, 则 an?1 ? an 对 n ? N * 恒成立, 然后根据 2
n?2

3 [12 ? ( ) n ? 2 ? a1 ? 3] ? 0 对 2

n ? 2 , n ? N * 恒成立,求得 a1 的取值范围.
试题解析: (I)因为 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,所以 Sn?1 ? 2Sn ? 3n ??????????????1 分 所以

Sn ?1 ? 3n?1 ? 2 ????????????????????????4 分 Sn ? 3n

且 a1 ? 3 ? 0 所以 {Sn ? 3n } 是以 a1 ? 3 为首项,以 2 为公比的等比数列。???????6 分 (II)由(I)得, Sn ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ,所以 Sn ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 3n 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ????????????8 分 若 ?an ? 为递增数列,则 an?1 ? an 对 n ? N 恒成立
*

当 n ? 2 时, (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 即2
n?2

3 [12 ? ( ) n ? 2 ? a1 ? 3] ? 0 对 n ? 2 , n ? N * 恒成立 2

则 a1 ? ?9 ????????????????????????????????10 分 又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 所以 a1 的取值范围是 (?9,3) ? (3, ??) . ???????????????????12 分 考点:恒成立问题、数列的递推关系 19.(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投 中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9 4号 9 7 5号 8 7

(Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号两名同学分别代表自己 的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和 Y , 试求 X 和 Y 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ) 甲班的成绩比较稳定;(Ⅱ)

6 5

考点:离散型随机变量及其分布列;极差、方差与标准差;离散型随机变量的期望与方差. 20.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在线
1 段 BB1 上,且 BD ? BB1 , A1C ? AC1 ? E . 3

(Ⅰ)求证:直线 DE 与平面 ABC 不平行; (Ⅱ)设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ,若 cos? ?

7 ,求 AA1 的长; 7

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面 ADC1 ? 平面 ABC ? l ,求直线 l 与 DE 所成的角的余弦值.

【答案】(Ⅰ) 略;(Ⅱ) 6 3 ; (Ⅲ) 【解析】

5 2 8

( ? 2, 3, ), 试题分析:(Ⅰ)建立坐标系,求出 DE ? 平面 ABC 的法向量为 n1=? 0, 0, 1? ,可得 ???? ?? h DE ? n1 = ? 0 ,即可证明直线 DE 与平面 ABC 不平行; (Ⅱ)求出平面 ADC1 的法向量,利用 6
平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为θ , cos? ?

????

h 6

??

7 ,建立方程,即可求得结论. (Ⅲ)在 7

(Ⅱ)的条件下,求出直线 l 与 DE 的方向向量,代入向量夹角公式,可得答案.

试题解析:依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AA1 ? h ,则
h? h? ? ? B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? . 3? 2? ? ?

.....................

..2 分
? ? ? (Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的一个法向量.

∴ ∴

???? ?? ? ? h? h DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0, 0,1? ? ? 0 . ······ 3 分 6? 6 ?

直线 DE 与平面 ABC 不平行. ······ 4 分 ?? ? (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则
? ???? ??? h? h ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 , ··· 5 分 ? ? ??? ? ?n? ? ???? ? 2 AC1 ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0 ?? ? 取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6? . ··· 6 分
?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 7 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? , ··········· 7 分 ? ?? ?= 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 . ∴
AA1 ? 6 3 . ··························· 8 分

(Ⅲ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ABC 的交线. ··························· 9 分 ∵ ∴
1 1 BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 ,∴ 3 3

BF BD 1 ? ? .∴ FC CC1 3

??? ? 1 ??? ? BF ? CB , 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? . ····· 10 分 2 2

???? ? h? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ?

?

?



??? ? ???? ??? ? ???? AF ? DE ?15 5 cos ? AF , DE ?? ??? ?? 2 . ·············· 11 分 ? ???? ? 8 AF DE 3 2 ? 4

∴ 直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ? 考点:与二面角有关的立体几何综合 21.(本小题满分 13 分)

5 5 2 ? 2. 8 8

12 分

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 a b
(Ⅰ)设 Q 是椭圆上的动点,求 | PQ | 的最大值; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O: 且满足

, P 到焦点的距离为 2 .

相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A、B.当 OA ?OB ? ? ,

uur uu u r

时,求 ? AOB 面积 S 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)2; (Ⅱ)[

6 2 , ] 3 4

【解析】

x2 ? y 2 ? 1 ,设 Q( x, y ) ,然后根据点 Q 在 试题分析:(Ⅰ)由题根据所给条件得到椭圆方程 2
椭圆上得到 |PQ|= ?

?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) , 然后得到其最大值; (Ⅱ)由圆 O 与直线 l 相切,知
? 1,联立直线与椭圆,得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2mny? n 2 ? 2 ? 0 ,然后根据韦达定理不

|n| m ?1
2

难得到 ? ?

m2 ? 1 , m2 ? 2
m2 ? 1 2 3 m2 ? 1 1 , 根 据 ? ? 2 ∈ [ , ] . 得 到 ? 2? ? 2 2 3 4 m ?2 m ?2 m ?2
6 2 , ]. 3 4
(1) 易 知 椭 圆 的 方 程 为

而 S?AOB

S ?A


O B

? 2 ? ? ? (1 ? ? ) ∈[
解 析 :



x2 ? y 2 ? 1 ??????????????????????2 分 2
设 Q ( x, y ) ,

PQ ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .
∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 .?????????????5 分 (2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ).∵直线

l 即 x ? my ? n ? 0 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 相切,
∴有:

|n| m ?1
2

? 1得 n 2 ? m 2 ? 1 .?????????????????????6 分
? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y1 )、( x2 , y 2 )满足: ? 消去整理得 (m ? 2) y ? 2mny? n ? 2 ? 0 ,
2 2 2

由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?
2 2

n2 ? 2 2mn y y ? , . 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2
2 2 2 2

其判别式 ? ? 4m n ? 4(m ? 2)(n ? 2) ? 8(m ? n ? 2) ? 8 ,

又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? . 2(m 2 ? 2)

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 .????????9 分 m2 ? 2 m ?2

S ?AOB ?
?

? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 | OA || OB | sin ?AOB ? OA ? OB ? (OA? OB) 2 2 2

1 1 1 | x1 y 2 ? x 2 y1 | ? | (my 1 ? n) y 2 ? (my 2 ? n) y1 |? | n( y 2 ? y1 ) | 2 2 2

?

1 ? m2 ?1 m2 ? 1 1 | n|? 2 ? 2? .???????11 分 ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 m ?2 ( m ? 2) m ?2 m ?2



m2 ? 1 1 m2 ? 1 2 3 ? ? ? 1 ? ,且 ∈[ , ]. 2 2 2 3 4 m ?2 m ?2 m ?2

∴ S ?AOB ?

2 ? ? ? (1 ? ? ) ∈[

6 2 , ].?????????????????13 分 3 4

考点:椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系 22.(本小题满分 14 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a , a ? R . 2 4
(Ⅰ)求函数 f ( x) 解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 单调区间; (Ⅲ)若 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比 较

e x ?1 和 e ? a 哪个更接近 ln x ,并说明理由. x
2x

【答案】(Ⅰ) f ( x) ? e

? x2 ? 2 x ;(Ⅱ)当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为

(??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为

e ? ??,ln a ? . x ?1 (Ⅲ)在 a ? 2, x ? 1 时, 比 e + a 更接近 ln x . x
【解析】

试题分析:(Ⅰ) 由题对所给函数求导可得 f '( x) ? f '(1)e2 x?2 ? 2x ? 2 f (0) ,所以

f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) ,然后求得 f (0) ? 1 , f '(1) ? 2e2 代入即可求得函数解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? e2 x ? x 2 ? 2 x ,所以 g ( x) ? e x ? a( x ?1) , g ?( x) ? e x ? a ,对 a 进行讨论 不难得到函数的单调区间; (Ⅲ)由题设设 p ( x) ?

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x ,通过求导得 x
e ? e x ?1 ? a ,通过研究其性质得 x
e 比 e x ?1 + a 更接近 x

到其单调区间,然后根据定义,①当 1 ? x ? e 时,设 m( x) ? 到

,②当 x ? e 时,设 n( x) ? 2ln x ? e x?1 ? a ,可得对任意的实数 a,

ln x ,综上在 a ? 2, x ? 1 时,

e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x

试题解析: ( Ⅰ ) f '( x) ? f '(1)e2 x?2 ? 2x ? 2 f (0) , 所 以 f '(1) , 即 ? f '(1) ? ? 2 f2 ( 0) . f ( 0 )? 1 又 f (0) ?

f ?(1) ?2 ? e ,所以 f '(1) ? 2e2 , 2
2x

所以 f ( x) ? e

? x2 ? 2 x .??????????????4 分

(Ⅱ)? f ( x) ? e2 x ? 2 x ? x2 ,

x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? a( x ? 1) 2 4 4 4
???????5 分

.

? g ?( x) ? e x ? a ,
①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数在 g (R x)上单调递增;??????6 分

? ②当 a ? 0 时,由 g ( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调 递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调 递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? .??????8 分 (Ⅲ)解:设 p ( x) ?

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x , x

? p '( x) ? ?

e 1 ? ? 0 ,? p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x2 x

? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 ,当 x ? e 时, p( x) ? 0 .

1 1 ? q '( x) ? e x ?1 ? , q ''( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 , x x

? q '( x ) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又 q '(1) ? 0 , ? x ? [1, ??) 时, q '( x) ? 0 ,? q( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,

? q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 .
①当 1 ? x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? 设 m( x ) ?

e ? e x ?1 ? a , x

e e ? e x ?1 ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 ,? m( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数, x x

? m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a , ? a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,?
②当 x ? e 时,

e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x

e | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? ? 2 ln x ? e x ?1 ? a ? 2 ln x ? e x ?1 ? a , x
设 n( x) ? 2ln x ? e x?1 ? a ,则 n '( x) ?

2 x ?1 2 ? e , n ''( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 , x x

? n '( x ) 在 x ? e 时为减函数,? n '( x) ? n '(e) ?

2 e ?1 ?e ? 0, e

? n( x) 在 x ? e 时为减函数,? n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 , ? | p( x) |?| q( x) | ,?
e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x
?????????????14 分

综上:在 a ? 2, x ? 1 时,

考点:新定义、利用导数研究函数的性质


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