圆柱、圆锥等课件 侧面积公式_图文

高中数学课堂教学

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教学要求
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知识目标
? 使学生理解并掌握圆柱、圆锥、圆台侧面 积公式及其推导过程 ? 能用圆柱圆锥、圆台侧面积公 式解决有关问题。

能力目标
培养学生空间想象 能力、运算能力和 应用知识能力

思想目标

渗透等价转化思想

重点与难点
重点:圆柱、圆锥、圆台
侧面积公式

难点:圆柱、圆锥、圆台
侧面积公式的应用

重点与难点
请注意! 重点:圆柱、圆锥、圆台 侧面积公式

难点:圆柱、圆锥、圆台
侧面积公式的应用

本节学习已经结束

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1。叙述圆柱、圆锥、圆台的定义。

2。圆柱、圆锥、圆台有何性质?

(1)。平行于底面的截面是圆面

2。圆柱、圆锥、圆台有何性质?
(2)。过轴 的截面分别是全等的矩形、 等腰三角形、等腰梯形

A1

B1

S

A1 BA

B1 B

A

BA

3。棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式分 别为什么?它们之间有何关系?

上底扩大

上底缩小

S直棱柱=
ch

c’=c

S正棱台=
1 2

c’=0

S正棱锥=
1 2

(c+c’)h’

ch’

3。棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式分 别为什么?它们之间有何关系?

请注意!
上底扩大 上底缩小

本节学习已经结束! c’=c

S直棱柱=
ch

S正棱台=
1 2

c’=0

S正棱锥=
1 2

(c+c’)h’

ch’

讲解新课
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问题:
什么是圆柱、圆锥、圆台的侧面积?

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着一 条母线剪开后展在平面上,展开图 的面积就叫做它们的侧面积。

思考:

圆柱、 圆锥、圆台的侧面 展开图形状分别是什么?

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图形状 分别为矩形、扇形和扇环。

定理1:如果圆柱的底面半径是r,周长是c,侧面母线 长是l,那么它的侧面积是 S侧面积=cl=2∏rl

l
r

定理1:如果圆柱的底面半径是r,周长是c,侧面母线 长是l,那么它的侧面积是 S侧面积=cl=2∏rl

l
r

定理1:如果圆柱的底面半径是r,周长是c,侧面母线 长是l,那么它的侧面积是 S侧面积=cl=2∏rl

证明:作圆柱的侧面展开图
∵ 圆柱的侧面展开图是矩形,它的一边长 是底面边长 2∏r,另一边长为圆柱母线 l

∴ S侧面积=cl=2∏rl

l
r

侧面展开图

2 ∏r

定理2:如果圆锥的底面半径是r,周长是c,母线长是 l,展开图圆心角为 ,求证: r 1 (2). = 360(度) (1). S侧面积= cl=∏rl l 2

?

?

l

定理2:如果圆锥的底面半径是r,周长是c,母线长是 l,展开图圆心角为 ,求证: r 1 (2). = 360(度) (1). S侧面积= cl=∏rl l 2

?

?

l

定理2:如果圆锥的底面半径是r,周长是c,母线长是 l,展开图圆心角为 ,求证: r 1 (2). = 360(度) (1). S侧面积= cl=∏rl l 2

?

?

证明: 作圆锥的侧面展开图
∵ 圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长是 底面周长 2∏r,半径为圆锥 母线 l, 圆心角为
1 2

(1)∴ S侧面积=S扇形
=

?

cl

l

=

∏rl

定理2:如果圆锥的底面半径是r,周长是c,母线长是 l,展开图圆心角为 ,求证: r 1 (2). = 360(度) (1). S侧面积= cl=∏rl l 2

?

?

(2) ∵ 扇形的弧长是底面周长



? ∏l 2∏r =
180
r = l

?

l
360(度)

?

展开图

c

l r

定理3:如果圆台的上、下底面半径是r’、r,周长是 c’、c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是: S侧面积 =
1 2(c

’+c)l=∏(r ’+r)l

定理3:如果圆台的上、下底面半径是r’、r,周长是 c’、c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是: S侧面积 =
1 2(c

’+c)l=∏(r ’+r)l

定理3:如果圆台的上、下底面半径是r’、r,周长是 c’、c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是: S侧面积 =
1 2(c

’+c)l=∏(r ’+r)l

证明: 将圆台补成圆锥.
∴ S侧面积 = =
1
2 1 2

作其侧面展开图,设OA=x
1 2

c(l+x)—

c ’x

cl+ 2 (c-c ’)x
X X+l

1

c ’= 又∵ c

∴ x = c ’l c-c ’

定理3:如果圆台的上、下底面半径是r’、r,周长是 c’、c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是: S侧面积 = ∴
1 2(c

’+c)l=∏(r ’+r)l

S侧面积=
=

1 2

〔c l + (c-c ’) c-c ’ 〕

c ’l

1
2

(c+c ’)l

=∏(r+r ’)l

定理3:如果圆台的上、下底面半径是r’、r,周长是 c’、c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是: S侧面积 = ∴
1 2(c

’+c)l=∏(r ’+r)l

S侧面积=

1 2

c’l 解法小结(1) 〔c l + (c-c’) 〕

c-c’

1 在解决台体的有关计算和证明 = (c+c’)l 2 问题时,往往将台体补成锥体, l 利用锥体的有关性质寻找解题 c =∏(r+r’)l O c’ 途径。 r’

A

r

B

课堂小结(一)
圆柱、圆锥、圆台形状不同,侧面积公式也 圆柱、圆锥、圆台侧面积公式之间关系: 不同,它们之间虽有区别,但可以互相转化。 S侧面积= 1(c ’+c)l=∏(r ’+r)l 2

c’=0
S侧面积= 1 cl 2 =∏rl

c’=c
S侧面积=cl =2∏rl

课堂小结(一)
圆柱、圆锥、圆台形状不同,侧面积公式也 圆柱、圆锥、圆台侧面积公式之间关系: 请注意! 不同,它们之间虽有区别,但可以互相转化。 S侧面积= 1(c ’+c)l=∏(r ’+r)l 2 本节学习已经结束!

c’=0

c’=c

S侧面积= 1 cl 2 =∏rl

S侧面积=cl =2∏rl

例题讲解
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例1:一个圆台的上、下底面半径分别是3、6, 母线与底面成60 角,求圆台的侧面积

A1

3

B1 B

A

6

例1:一个圆台的上、下底面半径分别是3、6, 母线与底面成60 角,求圆台的侧面积

解: 作圆台的轴 截面AA1B1B, 则AA1B1B是等腰梯形,且 ? ABB1=60
过点B1作B1C⊥ AB ∴BC= 6-3 = 3 在直角三角形A1BC中 1 BC B1B= = 3 ÷2 cos60 =6

A11 A

3 3

B1 B1

A A

6 600 6

B C B

例1:一个圆台的上、下底面半径分别是3、6, 母线与底面成60 角,求圆台的侧面积
∴圆台的侧面积为: S侧面积=∏(r ’+r)l
=(3+6)×6∏ =54∏ ∴ 圆台的侧面积为 54∏

A1

3

B1 C B

A

6

例1:一个圆台的上、下底面半径分别是3、6, 母线与底面成60 角,求圆台的侧面积
∴圆台的侧面积为: S侧面积=∏(r’+r)l =(3+6)×6∏ 通过轴截面将旋转体的有关问 =54∏

解法小结(2)

题转化为平面几何问题是立体 ∴ 圆台的侧面积为 54∏ 几何中解决空间问题常用方法 3 B1 A1 之一。

A

6

C B

例2. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm,母线 r VA=40cm,由点A绕侧面一周的最短线的长度 ? ? l 是多少?

V

V

A’

A A

OO

A

例2. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm,母线 r VA=40cm,由点A绕侧面一周的最短线的长度 ? ? l 是多少?
沿圆锥母线AA ’将圆锥侧面展开,则所求最短距离

解:

就是 圆锥的侧面展开图中连接点A和点A ’的线段AA ’。

设圆锥侧面展开图扇形VAA ’的圆心角为
V V

?

A’

A A

O

A

例2. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm,母线 r VA=40cm,由点A绕侧面一周的最短线的长度 ? ? l 是多少?
=OA ×3600 =900 VA ∴AA ’=√VA2+VA ’ 2 = √402+402 ∴ ∴所求最短线的长度为40√2cm。 V V

?

=40√2 A’

A A

OO

A

例2. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm,母线 r VA=40cm,由点A绕侧面一周的最短线的长度 ? ? l 是多少?
=OA ×3600 =900 VA ∴AA’=√VA2+VA’2= √402+402 ∴

?

解法小结(3)
=40√2

对可展面来说,求曲面上两点之 ∴所求最短线的长度为40√2cm。 间最短距离的基本方法是作出其 V ,将空间问题转化为 A’ V 侧面展开图 平面问题,再利用平几知识求解。
A A 返 回 重 复 OO 旋 转

A 前一屏

继 续

例3:已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中 有一个高为x的内接圆柱,(1) 求圆柱的侧面积; 例 2 (2)当 x为何值时,圆柱的侧面积最大?

H
x R

例3:已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中 有一个高为x的内接圆柱,(1) 求圆柱的侧面积; (2)当 x为何值时,圆柱的侧面积最大?

解: (1)画圆锥及内接圆柱的轴 截面,
设所求的圆柱的底面半径为r ∴ S圆柱侧 =2∏rx ∵ r = H- x R H ∴ r = R- R x H ∴ S圆柱侧 =2∏rx =2∏Rx- 2∏R x2 H

H
r x R

例3:已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中 有一个高为x的内接圆柱,(1) 求圆柱的侧面积; (2)当 x为何值时,圆柱的侧面积最大?

(2)∵ S圆柱侧 的表达式中x2 的系数小于零
∴这个二次函数有最大值, 这时圆柱的高是 2∏R H x= = 2 2∏R -2× H ∴ 当圆柱的高为圆锥的高的 一半时,它的侧面积最大。

H
r x R

例3:已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中 有一个高为x的内接圆柱,(1) 求圆柱的侧面积; (2)当 x为何值时,圆柱的侧面积最大?

(2)∵ S圆柱侧 的表达式中x2 的系数小于零

解法小结(4)

∴这个二次函数有最大值, 解决内接几何体问题的基本途 这时圆柱的高是 径是作出相关的轴截面。要注 H 2∏R r H x意弄清轴截面与内接几何体的 = = 2 2∏R -2× x 位置关系。 H ∴ 当圆柱的高为圆锥的高的 R 一半时,它的侧面积最大。

课堂小结(二)
解决本节问题的基本思想是化 归思想,基本方法有3种: (1)、补锥成台 (2)、作轴截面 (3)、作侧面展开图

课堂小结(二)
解决本节问题的基本思想是化 请注意! 归思想,基本方法有下列3种: (1)、补锥成台 本节学习已经结束 (2)、作轴截面 (3)、作侧面展开图

能力测试
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第四屏

第八屏

选择题

1.圆柱的轴截面是正方形 ,其面积 为 Q,那么圆柱的侧面积为:

A 2Q C ∏Q

B

3Q

D 2∏Q

选择题

1.圆柱的轴截面是正方形 ,其面积 提示… 为 Q,那么圆柱的侧面积为:


A 2Q C ∏Q

您选择的答案不对!

B

3Q

D 2∏Q

选择题

1.圆柱的轴截面是正方形 ,其面积 祝贺您! 为 Q,那么圆柱的侧面积为:

A

☆ 2Q

您做对了!

B

3Q

C ∏Q

D 2∏Q

选择题
1.复数 z 对应的向量为 OZ 将向量 OZ 怎样求解此题? 的模伸长为原来的 n 倍,所得 向量对应复数为:
设圆柱的半径为r,则母线长为 2r,轴截面面积为 2r×2r=Q, z A 2z ,所以S圆柱侧=2∏r× B 即4r =Q n 2r=4r2 ∏=∏Q 。

C nz

D 不确定

选择题
2。一个半径为15 cm,圆心角为 216 的扇形卷成一个圆锥的侧面,则圆 锥的高为:

? ?

A 12cm C 13cm

B 14cm D 15cm

选择题
2。一个半径为15 cm,圆心角为 216 的扇形卷成一个圆锥的侧面,则圆 提示… 锥的高为:

? ?

A 14cm C 13cm



B 12cm 您选择的答案不对! D 15cm

选择题
2。一个半径为15 cm,圆心角为 216 的扇形卷成一个圆锥的侧面,则圆 祝贺您! 锥的高为:

? ?

A 14cm C 13cm



您做对了!

B 12cm D 15cm

选择题
2。将 z=sin300 -icos300 所对应的向量 怎样求解此题? 按逆时针方向旋转 时,所得向量对应 复数为 i ,则 为: 这里15cm是圆锥母线长,由

? ?

A 150×360=216,得r=9,则圆 B -150 r
15

C 120

锥的高有 h=√152-92 =12

D -120

选择题
3. 若圆台的轴截面面积为Q,母线 与底面成300角,则圆台的侧面积 为:

A C

1 2 ∏Q

B

∏Q

2∏Q

D 4∏Q

选择题
3. 若圆台的轴截面面积为Q,母线 与底面成300角,则圆台的侧面积 为: 提示…

A C



1 B ∏Q ∏Q 2 您选择的答案不对!

2∏Q

D 4∏Q

选择题
3. 若圆台的轴截面面积为Q,母线 与底面成300角,则圆台的侧面积 为: 祝贺您!

A C

1 B ∏Q 您做对了!∏Q 2



2∏Q

D 4∏Q

选择题
3. 若圆台的轴截面面积为Q,母线 与底面成300角,则圆台的侧面积 怎样求解此题? 为: 设圆台上下底半径分别为R、 1 r,高为h.,母线长为l,则l=2h,且 B A 2R +2r ×h = (R+r ∏Q ∏Q Q= 2 )h 2 S侧面积==∏(R+r)l =2∏(R+r)h=2∏Q 4∏Q D

C

2∏Q

选择题
4。圆柱的底面半径为 2,轴截面对角线长 为5,则这个圆柱侧面展开图的对角线长为:

A

5

B

5∏

C √16∏2+9

D √9∏2+16

选择题
4。圆柱的底面半径为 2,轴截面对角线长 为5,则这个圆柱侧面展开图的对角线长为:
提示…

A C

5



您选择的答案不对! B 5∏

√16∏2+9

D √9∏2+16

选择题
4。圆柱的底面半径为 2,轴截面对角线长 为5,则这个圆柱侧面展开图的对角线长为: 祝贺您!


A C 5 √16∏2+9

您做对了!

B

5∏

D √9∏2+16

选择题
4。圆柱的底面半径为 2,轴截面对角线长 为5,则这个圆柱侧面展开图的对角线长为: 怎样求解此题? 本题先通过圆柱的轴截面求出圆 柱的母线长,然后根据圆柱的侧 A 5 B 5∏ 面展开图是矩形这一性质,运用 勾股定理求解。 D √9∏2+16 2+9 C √16∏

5。将半径为l的簿铁圆板沿三条半径截成 三个全等的扇形,做成三个圆锥筒(无 底),则圆锥筒的高为

填 空 题

r r r
1

填 空 题

5。将半径为l的簿铁圆板沿三条半径截成 三个全等的扇形,做成三个圆锥筒(无 底),则圆锥筒的高为 2√2 l 3

r r r
1

填 空 题

5。将半径为l的簿铁圆板沿三条半径截成 三个全等的扇形,做成三个圆锥筒(无 底),则圆锥筒的高为 怎样求解此题?
由题意,所得圆锥的侧面展开图半径 是l,圆心角1200。所以, r ×360,即,r= 1 l,因此 120= l r 3 2 2-r2= √2l 圆锥的高为√l r 3 r
1

填 空 题

6. 一个直角梯形的上、下底和高的比为 1:2:√ 3 ,则由它旋转而成的圆台的 上底面积、下底面积和侧面积的比为

A1
1

O1

B1 B

A O

填 空 题

6. 一个直角梯形的上、下底和高的比为 1:2:√ 3 ,则由它旋转而成的圆台的 上底面积、下底面积和侧面积的比为 1:4:6∏

A1
1

O1

B1 B

A O

填 空 题

6. 一个直角梯形的上、下底和高的比为 1:2:√ 3 ,则由它旋转而成的圆台的 上底面积、下底面积和侧面积的比为 怎样求解此题? 设直角梯形上、下底和高分别为r、R、 h,母线为l,则r:R:h:l=1:2: √3:2,设 r=k,R=2k,L=2k, A1 所以,上底面积、下底面积和侧面积 B1 O1 之比为 1:4:6∏。
1

A O

B

7。 圆台的上、下底面半径分别为r’、r, 侧面母线长为 l,侧面展开图扇形的圆心角 r -r ’ 为 , 求证: = 3 60(度) l

?

?

解 答 题

l

2∏r

O
A
r

B

证明:

7。 圆台的上、下底面半径分别为r’、r, 侧面母线长为 l,侧面展开图扇形的圆心角 r -r ’ 为 , 求证: = 3 60(度) l

?

?

解 答 设内圆弧半径为x,由 圆锥侧面展开图圆心角 题 公式得:
?
r’ = 360(度) x

∵ 圆台的侧面展开图是扇环,它的内弧长是上 底面周长 2∏r ’,外弧长是下底面周长2∏r,半 径之差为圆台母线 l

l

2∏r

O
A
r



B

7。 圆台的上、下底面半径分别为r’、r, 侧面母线长为 l,侧面展开图扇形的圆心角 r -r ’ 为 , 求证: = 3 60(度) l

?

?

解 答 题

r = 360(度) x+l 由⑴得: r’ x = 360(度)⑶

?



?

l

将⑶代入⑵得:

2∏r

?

r-r ’ = 360(度) l

O
A
r

B

8。若圆台上底面半径为5,下底面半径为R, 中截面把圆台分成上、下两个圆台,它们的 侧面积之比为 1:2,求R。

解 答 题

5

1

R

8。若圆台上底面半径为5,下底面半径为R, 中截面把圆台分成上、下两个圆台,它们的 侧面积之比为 1:2,求R。

解 答 题

解: 设圆台的母线长为2 l,中截面半径为r,
依题意得: ∏(5+r)l ∏(R+r)l 1 = 2 5

5+r ∴ R+r

=

1 2

1

R

∴ R+r =10+2r

8。若圆台上底面半径为5,下底面半径为R, 中截面把圆台分成上、下两个圆台,它们的 侧面积之比为 1:2,求R。

解 答 题

∴ r=R-10 又∵中截面半径为r ∴ R+5=2r 5

∴ R=2r-5 =2(R-10)-5 1
∴ R=25

R






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