浙江专版 高中数学课时跟踪检测十九平面向量基本定理新人教A版必修4(含答案)

课时跟踪检测(十九) 平面向量基本定理 ) 层级一 学业水平达标 1.已知?ABCD 中∠DAB=30°,则 AD 与 CD 的夹角为( A.30° C.120° B.60° D.150° 解析:选 D 如图, AD 与 CD 的夹角为∠ABC=150°. 2.设点 O 是?ABCD 两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面 上表示其他所有向量的基底的是( ) ① AD 与 AB ;② DA 与 BC ;③ CA 与 DC ;④ OD 与 OB . A.①② C.①④ B.①③ D.③④ 解析: 选 B 寻找不共线的向量组即可, 在?ABCD 中,AD 与 AB 不共线,CA 与 DC 不 共线;而 DA ∥ BC , OD ∥ OB ,故①③可作为基底. 3.若 AD 是△ABC 的中线,已知 AB =a, AC =b,则以 a,b 为基底表示 AD =( 1 A. (a-b) 2 1 C. (b-a) 2 1 B. (a+b) 2 1 D. b+a 2 ) 解析:选 B 如图,AD 是△ABC 的中线,则 D 为线段 BC 的中点,从 1 而 BD = DC , 即 AD - AB = AC - AD , 从而 AD = ( AB + AC ) 2 1 = (a+b). 2 4.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC =e1, DC =e2,则 OC =( 1 A. (e1+e2) 2 1 C. (2e2-e1) 2 1 B. (e1-e2) 2 1 D. (e2-e1) 2 ) 1 解析: 选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点,BC =e1,DC =e2, 所以 OC = ( BC 2 1 + DC )= (e1+e2),故选 A. 2 1 5.(全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC =3 CD ,则( 1 4 A. AD =- AB + AC 3 3 1 4 B. AD = AB - AC 3 3 4 1 C. AD = AB + AC 3 3 4 1 D. AD = AB - AC 3 3 解析:选 A ) 1 1 1 1 由题意得 AD = AC + CD = AC + BC = AC + AC - AB =- 3 3 3 3 AB + AC . 6.已知向量 a,b 是一组基底,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x -y 的值为______. 解析:∵a,b 是一组基底,∴a 与 b 不共线, ∵(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, ?3x-4y=6, ? ∴? ?2x-3y=3, ? 4 3 解得? ?x=6, ? ?y=3, ? ∴x-y=3. 答案:3 ? 5k? 2 7.已知 e1,e2 是两个不共线向量,a=k e1+?1- ?e2 与 b=2e1+3e2 共线,则实数 k 2? ? =______. 5k 1- 2 2 解析:由题设,知 = ,∴3k +5k-2=0, 2 3 k2 1 解得 k=-2 或 . 3 1 答案:-2 或 3 8.如下图,在正方形 ABCD 中,设 AB =a, AD =b, BD =c,则在以 a,b 为基底 时, AC 可表示为______,在以 a,c 为基底时, AC 可表示为______. 解析:以 a,c 为基底时,将 BD 平移,使 B 与 A 重合,再由三角形法则或平行四边形 2 法则即得. 答案:a+b 2a+c 1 9.如图所示,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,且 BM = BC , 3 若 AB =a,AC =b, 试用 a, b 将 MN , CN = CA ,AP = AB , 1 3 1 3 NP , PM 表示出来. 解: NP = AP - AN 1 2 1 2 = AB - AC = a- b, 3 3 3 3 MN = CN - CM =- AC - CB =- b- (a-b)=- a+ b, PM =- MP =-( MN + NP )= (a+b). 10.证明:三角形的三条中线共点. 证明: 如图所示, 设 AD, BE, CF 分别为△ABC 的三条中线, 令 AB =a, AC =b.则有 BC =b-a. 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 AG 2 1 设 G 在 AD 上,且 = ,则有 AD = AB + BD =a+ (b-a)= AD 3 2 1 (a+b). 2 BE = AE - AB = b-a. 2 ∴ BG = AG - AB = AD - AB 3 1 1 2 = (a+b)-a= b- a 3 3 3 2?1 ? 2 = ? b-a?= BE . 3?2 ? 3 2 ∴G 在 BE 上,同理可证 CG = CF ,即 G 在 CF 上. 3 故 AD,BE,CF 三线交于同一点. 层级二 应试能力达标 1.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 BD =2 DC ,设 AB =a, AC =b,则 AD 可用 基底 a,b 表示为( 1 A. (a+b) 2 1 2 C. a+ b 3 3 ) 2 1 B. a+ b 3 3 1 D. (a+b) 3 3 1 2 2 解析:选 C ∵ BD =2 DC ,∴ BD = BC . 3 2 2 1 2 1 2 ∴ AD = AB + BD = AB + BC = AB + ( AC - AB )= AB + AC = a+ 3 3 3 3 3 3 b. 2. AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD =a,BE =b,则 BC =( 4 2 A. a+ b 3 3 2 2 C. a- b 3 3 2 4 B. a+ b 3 3 2 2 D.- a+ b 3 3 ) 1 2 2 解析:选

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