高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修21_图文

3.7 点到平面的距离

学习目标
课前自主学案 3.8
课堂互动讲练
知能优化训练

学习目标
1.掌握点到平面的距离的概念,并会求点到平面 的距离.
2.能利用直线的方向向量和平面的法向量求空 间中的各种距离.
3.体会向量方法在研究立体几何中的作用.

课前自主学案
温故夯基
1.若点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 dAB= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2. 2.点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距 离为 d=|Ax0+By0+C|
A2+B2

知新益能
1.点到平面的距离 从空间中一点 P 到平面 α 作_垂__线___PD 交平面 α 于 D,则线段 PD 的_长__度__d_称为点 P 到平面 α 的距 离.

2.点到平面距离的向量求法 已知平面 α 的法向量 n 以及平面上任一点 A. 从 A 出发作A→N=n,从点 P 作 AN 的垂线与 AN 相 交于 P1,则__|A__P_1_| _就是A→P在法向量A→N上的投影 长,且点 P 到平面 α 的距离
→ d=|AP1|=||AP|cos∠PAN|=|A|Pn·|n|.

思考感悟
在求两条异面直线的距离,直线到平面的距离, 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗? 提示:能.因为直线与平面平行,两个平面平行 时,直线上的点或其中一个平面上的点到另一个 平面的距离均相等,而两条异面直线可以构造线 面平行,所以在求以上距离时均可转化为点到平 面的距离.

课堂互动讲练
考点突破 点到直线的距离

点到直线距离的求法:

如图,PB⊥l,垂足为 B,则 PB 的长度即为 P 到 l 的距 离,在空间不好确定垂足 B 的情况下,可在 l 上另取一点 A, 则 AB 为A→P在A→B上的投影,故|A→B|=|P→A·A→→B |,在 Rt△PAB
| AB|





|

→ PB

|



|P→A|2-|A→B|2 , 即 P 到 l 的 距 离 d =

→→ |P→A|2-|PA→·AB|2.因此求点 P 到直线 l 的距离可分以下几
| AB|

步完成:

(1)在直线 l 上取一点 A,同时确定直线 l 的方向 向量 n,并求 n0=|nn|.
(2)计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量|A→P|. (3)计算A→P在 n0 上的投影A→P·n0.
(4)由公式 d= |A→P|2-|A→P·n0|2求距离.

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2, AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,求点D1 到直线GF的距离.
【思路点拨】 建系后按求点线距离的步骤求 解.

【解】 以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1(0,0,2),
F(1,1,0),G(0,2,1),于是有 G→F =(1,-1,-1),G→D1=(0,
-2,1),

所以G→|FG·→GF→D| 1=2-31=

1 ,|G→D1|= 3

5,

所以点 D1 到直线 GF 的距离

d=

|G→D1|2-???G→D1·| G→G→FF|???2=

5-13=

42 3.

【名师点评】 (1)在直线上选取点时,可视情况 灵活选择,原则是便于计算.
(2)s 是直线的方向向量,则 s0=|ss|是直线的单 位方向向量,在求解时,一般先任取一个方向向量 s,然后求其单位向量 s0.

点到平面的距离 点到平面的距离的求法:

如图,BO⊥平面 α,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距

离就是线段 BO 的长度.

若 AB 是平面 α 的任一条斜线段,则在 Rt△BOA 中,

→ |B→O|=|A→B|·cos∠ABO=|AB||

B→O|cos∠ABO



.

|BO|

如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可

以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|=|A→|Bn·|n|.

因此要求一个点到平面的距离,可分以下几步完成:

(1)求出该平面的一个法向量;

(2)找 出 从 该点 出发 到平 面的 任一 条斜 线段 对 应的向

量.

(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以

法向量的模,即可求出点到平面的距离.由于|nn|=n0 可以

视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平

面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝

对值,即

d=

→ |AB·n0|.

例2 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形,∠ABC=π4.OA⊥底面 ABCD, OA=2,M 为 OA 的中点.求:
(1)异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小; (2)点 B 到平面 OCD 的距离.

【思路点拨】 建立空间直角坐标系,利用坐 标运算求解.
【解】 作AP⊥CD于点P.如图,分别

以 AB,AP,AO 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间

直角坐标系.则 A(0,0,0),B(1,0,0),P(0, 22,0),D(- 22,

22,0),O(0,0,2),M(0,0,1). (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ,
∵A→B =(1,0,0),

M→D =(- 22, 22,-1),

→→

∴cosθ=

|AB·MD|
→→

=12,∴θ=π3.

| AB|·|MD|

∴异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小为π3.

(2)∵O→P=(0, 22,-2),O→D=(- 22, 22,
-2), ∴设平面 OCD 的法向量 n=(x,y,z),则

??n·O→P=0 ???n·O→D=0

?? ,得?

22y-2z=0

??- 22x+ 22y-2z=0

取 z= 2,解得 n=(0,4, 2),设点 B 到平面 OCD 的距离为 d.
∵O→B=(1,0,-2),∴d=|O→|Bn|·n|=23,
所以,点 B 到平面 OCD 的距离为23.
【名师点评】 利用向量法求点到平面的距 离,关键是找到平面的法向量.

求线面距和面面距
若直线a∥平面α,则直线a上的任意一点到平面 的距离都相等;若平面α∥平面β,则平面α上任 意一点到平面β的距离也都相等.因此直线到平 面的距离以及两平行平面间的距离都可转化为点 到平面的距离解决.

例3 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,底面为 直角梯形,AB∥CD 且∠ADC=90°,AD=1,CD = 3,BC=2,AA1=2,E 是 CC1 的中点.求 A1B1 与平面 ABE 的距离.
【思路点拨】 因为直线A1B1∥平面ABE,所 以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的 距离,从而转化为点到平面的距离求解.

【解】 如图,以D为原点,分别以DA、DC、
DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系,

则 A1(1,0,2)、A(1,0,0)、E(0, 3,1)、C(0, 3, 0),

过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F,易得 BF= 3,

∴B(1,2 3,0),
∴A→B =(0,2 3,0),B→E =(-1,- 3,1).

设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z),

??n·A→B =0, 则由???n·B→E =0,

得??2 3y=0, ?-x- 3y+z=0,

∴y=0,x=z,不妨取 n=(1,0,1). ∵A→A1=(0,0,2),
→ ∴A1B1 到平面 ABE 的距离 d=|AA|n1|·n|=
2 = 2. 2

【名师点评】 求直线与平面间的距离,往往 转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选 取,以求解最为简单为准则,但在求点到平面的 距离时,有时用直线到平面的距离进行过渡.

自 我 挑 战 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD
A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、 B1C1、C1D1的中点,求平面AMN与平面EFDB的 距离.

解:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系,由题设可知 D(0,0,0),A(1,0,0),M(1,12,1),
N(12,0,1),B(1,1,0).于是有 N→M=(12,12,0), A→M=(0,12,1),A→B =(0,1,0).
取 BD 的中点 G,连接 GE,易知 M→N =E→F , A→M=G→E .
所以平面 AMN∥平面 EFDB, 设平面 AMN 的法向量为 n=(x,y,1),

??n·N→M=0 则 ???n·A→M=0

?

?21x+12y=0 ??21y+z=0

?

??x=-y ???y=-2z .
令 z=1,可得 n=(2,-2,1). 所以平面 AMN 与平面 EFDB 的距离
d=|A→B ·|nn||=23.

方法感悟
空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线 距、点面距,其中点点距、点线距最终都可用空间 向量的模来求解,而点面距则可由平面的法向量来 求解.


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