黑龙江省大庆铁人中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

2015-2016 学年度上学期高一期中考试
数学试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分 2015.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分) 1.设全集 U ? {x x ? 6且x ? N *} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3,5} ,则 CU ( A ? B ) =( )

A. {1, 4}

B. {1, 5}
0 0

C. {2, 4}

D. {2,5}
0 0

2.设集合 M ? { x x ? 90 k ? 45 , k ? Z }N ? { x x ? 180 k ? 45 , k ? Z },则 M、N 的 关系是( )

A.

M ?N
ln ? x ? 1? 2? x

B.

M ?N

C. M


N

D. N

M

3.函数 y ?

的定义域为 (

A. ?? ?,2?

B.

?? 1,2?

C. ?1,2 ?

D.


?2,?? ?

4.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点所在的大致区间是( x

A. (0 ,1)

B. (1 , 2)

C. (2 , e)

D. (3 , 4)


5.下列函数中,既是偶函数又在 (0,??) 上单调递增的函数是(

A. y ? x 3

B. y ? 2 ?| x|

C. y ? ? x 2 ? 1

D. y ?| x | ?1

6.函数 y ? f ? x ? 的图象如图所示.观察图象可知函 数 y ? f ? x ? 的定义域、值域分别是( )

A. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,5? ;

B. ?? 5,6?, ?0,?? ?

C. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,?? ? ; D. ?? 5,?? ?, ?2,5?
?? 1 ? x ?? ? , ( x ? 4) 7.设函数 f ( x) ? ?? 2 ? 则 f (log 2 3) ? ( ) ? f ( x ? 3), ( x ? 4) ? 23 1 1 1 A. ? B. C. D. 8 11 48 24 1 1 8. 设 a ? log 1 3 , b ? ( ) 0.2 , c ? 2 3 ,则( ) 3 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

1

? ax, x ?1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 9.已知 f ( x) ? ? 对任意 x1 ? x 2 ,都有 ? 0 成立,那么 a a ( 4 ? ) x ? 2 , x ? 1 x ? x 1 2 ? 2 ?
的取值范围是( )

A. (1,??)

B. [4,8)

C. (4,8)

D. (1,8)
1 3

10.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数且 f ( ) ? 0 ,则 不等式 f (log 1 x) ? 0 的解集为(
8



1 1 1 A.( B. (2, ?? ) C. ( ,1) ? (2, ??) D. (0, ) ? (2, ?? ) 0,) 2 2 2 11.已知函数 f ( x) ? log a x (a ? 0, a ? 1) ,若 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x2015 ) ? 50 ,则
2 2 ) f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( x2015 ) 的值等于( A. 10 B. 100 C. 1000 D. 2015 1 1 12. 若方程 ( ) x ? ( ) x ?1 ? a ? 0 有正实数解,则实数 a 的取值范围是( 4 2 A. (?3,0) B. (?3,?2) C. (??,?2) D. (??,1)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. 若函数 f ( x ? 1) 的定义域是 [?2, 4] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 14. 函数 y ? 4
1 x? 2



? 3 ? 2 x ? 5?0 ? x ? 2 ? 的值域是_________________. 1 15.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? ax ? a ) 在区间 (??,? ) 上是减函数,则 a 的取值范 2 围是 .
16.给出下列四个命题: 1 函数 f ( x ) ? loga ( 2 x ? 1) ? 1 的图象过定点(1,0); ○ 2 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) , ○ 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ;
2

3 若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是 (0, ) ? (2,??) ; ○ 2 2 4 若 2 ? x ? 2 y ? ln x ? ln( ? y ) ○ ( x ? 0 , y ? 0 ),则 x ? y ? 0 . .

1

1

其中所有正确命题的序号是 三、解答题 17(本题满分 10 分)
1 4 3 2 1 4 3 2

求值: (1)若 x ? 0 ,求 (2 x ? 3 ) (2 x ? 3 ) ? 4 x (2) lg 5(lg 8 ? lg 1000) ? (lg 2
3

?

1 2

(x ? x )

1 2

1 ) 2 ? lg ? lg 0.06 6

2

18(本题满分 12 分) 已知集合 A ? x y ?

?

x 2 ? 5 x ? 14 , B ? {x | y ? lg(? x 2 ? 7 x ? 12)} ,

?

C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .
(1)求 A

B;

(2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

19(本题满分 12 分) 幂函数 y ? x
m

m 2 ? 2 m ?3

?m ? N ? ? 的图象关于 y 轴对称,且在 ?0,?? ? 上是减函数.求满足
m

?1 ? a ?? 3 ? ?3 ? 2a ?? 3 的实数 a 的取值范围.

20(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1? a ? 2x 是奇函数 2x ?1

(1)求实数 a 的值 (2)判断函数 f ( x) 在 R 上的单调性,并用定义加以证明

21(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1
2

(1)当 a =1 时,求函数在区间[-2,3]上的值域;

3

(2)函数 f ( x) 在 [?5,5] 上单调,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 在 [0,2] 上的最小值 g (a) 的解析式。

22(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln

x ?1 . x ?1

(1)求函数 f ( x) 的定义域,并判断函数 f ( x) 的奇偶性. (2)对于 x ? ?2,6? , f ( x) ? ln

m x ?1 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)

答案
一、 选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 C A C B D C D A B 答案 填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 10 D 11 B 12 A

二、 13 15

3? ?0,
1 5 [ , ] 2 2
1 2 1 2

; ;

14 16

1 [?1, ] 2
2 ○ 4 ○

; .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) (1)原式= (4 x ? 3 ) ? 4 x ? 4 = ?23
3

(2)原式= lg 5(3lg 2 ? 3lg10) ? 3lg 2 ? lg 6 ? lg 6 ? 2
2

= 3lg 2 ? lg 5 ? 3lg 2 ? 3lg 5 ? 2 =1 18 (本题满分 12 分) 解(1) A ? (??, ?2] ? [7, ??) B ? ( ?4, ?3)
2

? A ? B ? (?4, ?3)

(2)

A ? C ? A,? C ? A

1 C ? ?, 2m ? 1 ? m ? 1, ? m ? 2 ○

?m ? 6 2 C ? ?, 则 ? 或? ○ 2m ? 1 ? ?2 m ?1 ? 7
? ?
4

?

m?2

? m?2

综上, m ? (??, ?2) ? [6, ??) 19 (本题满分 12 分) (1)因为函数 y ? x
m 2 ? 2 m ?3

?m ? N ? ? 在(0,+∞)上是减函数,所以 m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,所
2

以 ?1 ? m ? 3, m ? N ? .所以 m=1 或 2.又函数图象关于 y 轴对称, 所以 m ? 2m ? 3 是 偶数,所以 m=1. (2)不等式 ?1 ? a ?
? m 3

? ?3 ? 2a ?
1 3

?

m 3

即为 ?1 ? a ?

?

1 3

? ? 3 ? 2a ? 3 .
?

1

结合函数 y ? x

?

的图象和性质知:

a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a.解得 a ? ?1 或 即实数 a 的取值范围是 {a a ? ?1或 20(本题满分 12 分) 解:因为函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,? a ? ?1 定义法证明单调性(略)函数 f ( x) 是 R 上的减函数。 21 (本题满分 12 分)

2 3 ?a? , 3 2

2 3 ? a ? }. 3 2

解:○ 1 因为函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 ,当 a =1 时 f ( x) ? x ? 2 x ? 2, x ? [?2,3]
2
2









f ( x)









x ? ?1 ?[ ?2, 3]

? f min ( x) ? f (?1) ? 1 ? f max ( x) ? f (3) ? 17
2 ○ 函 数
f ( x)



[?5,5] 上 单 调 , ? 函 数 的 对 称 轴

x ? ?a ? [?5,5] ? a ? (??, ?5] ? [5, ??)
2 3 (1)当 ? a ? 0 时,即 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 在区间[0,2]上是增函数, ○

故当 x=0 时,函数取得最小值是 f (0) ? a ? 1 (2) 当 0 ? ? a ? 2 时, 即 ?2 ? a ? 0 由于函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 对称轴是 x=-a,
2

故当 x=-a 时,函数在区间[0,2]上取得最小值是 f (? a ) ? a ? a ? 1 .
2

(3) 当 ? a ? 2 时, 即 a ? ?2 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 在区间[0, 2]上是减函数, 故当 x=2 时,函数取得最小值是 f (2) ? 5a ? 5 .
2

a ? 1, a ? 0 ? ? 2 综上可得 g (a ) ? ?a ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ? 5a ? 5, a ? ?2 ?
22 (本题满分 12 分)

5

解: (1)

x ?1 x ?1 ,? ? 0 解不等式可得其定义域 x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1 x ?1 ?x ?1 x ?1 x ?1 f (? x) ? ln ? ln ? ? ln ? ? f ( x) 故此函数是奇函数 ?x ?1 x ?1 x ?1 m x ?1 (2)由 x∈[2,6]时, f ( x) ? ln 恒成立 ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x) m x ?1 ∴ >0∵x∈[2,6] ? x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x) ∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x∈[2,6]成立 f ( x) ? ln
令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3) ? 16, x ? [2, 6] 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减, x∈[2,6]时, g ( x) min ? g (6) ? 7 .
2

∴ m ? (0, 7) .

6


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