2015-2016年高中数学 2.4幂函数学案 苏教版必修1


2015-2016 年高中数学 2.4 幂函数学案 苏教版必修 1

1. 形如 y=x (α ∈R)的函数叫做幂函数, 其中 α 为常数, 只研究 α 为有理数的情形. 2 4 2 例如:函数 y=x ,y=x 是幂函数,而函数 y=2x 不是幂函数. 1 2 -1 3 2.幂函数 y=x,y=x2,y=x ,y=x ,y=x 的图象如下图所示.

α

3.幂函数的性质. α (1)过定点:y=x 恒过定点(1)(1,1).当 α >0 时,所有幂函数都过定点(0,0)和(1, 1). α α (2)单调性:当 α >0 时,y=x 在(0,+∞)上单调递增;当 α <0 时,y=x 在(0,+ ∞)上单调递减. α (3)奇偶性:当 α 为整数且为奇数时,y=x 为奇函数;当 α 为整数且为偶数时,y=x α α 为偶函数;当 x 为分数时,可将 y=x 化为根式再判断. 1 2 2 4.在函数 y= 2,y=2x ,y=x +x,y=1 中是幂函数的有________.

x

答案:y=

1

x2
3

1 2 5.函数 y=x 的定义域是______;y=x2的定义域是______;y=x3的定义域是______. 答案:R [0,+∞) R

一、幂函数 α (1)y=x 中的 α 是任意实数,要确定一个幂函数的解析式,只需确定出 α 即可. (2)要把幂函数和指数函数区别开来,幂函数的底为自变量,指数为常数,指数函数恰
1

好相反,底数为常数,指数为自变量. 二、幂函数的图象和性质 (1)幂函数图象的性质: ①都过点(1,1); ②0<α <1 时,在第一象限内图象上凸,α >1 时图象下凸; ③除原点外,任何幂函数图象与坐标轴都不相交,任何幂函数图象都不过第四象限; ④任何两个幂函数图象最多有三个公共点,除(1,1),(0,0),(-1,1),其他任何一 点都不是两个幂函数的公共点; ⑤α >0 时幂函数图象总过原点,α <0 时,幂函数图象不过原点. (2)幂函数的图象在第一象限的分布规律: ①在经过点(1, 1)平行于 y 轴的直线的右侧, 按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下到上分布; ②幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、 二象限关于 y 轴对称,幂指数的分子、分母都是奇数时,图象在第一、第三象限关于坐标原 点对称.

基 础 巩 固

1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(A) -2 -1 A.y=x B.y=x 1 2 C.y=x D.y=x- 2

m
2.右图所示的是函数 y=xn(m,n∈N 且 m,n 互质)的图象,则(C)
*

A.m,n 是奇数且 <1

m n

m n m C.m 是偶数,n 是奇数,且 <1 n m D.m,n 是偶数,且 >1 n m m 解析:由图象知 y=xn为偶函数,且 m、n 互质,∴m 是偶数,n 是奇数,又由 y=xn与 m y=x 图象的位置知 <1. n
B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1 1 a 3.在同一平面直角坐标系内,函数 y=x (a≠0)和 y=ax+ 的图象应是(B)

a

2

4.下列函数中与 y=

1 3

定义域相同的函数是(D)

x

1 ln x A.y= 2 B.y= x +x x x 2 x C.y=xe D.y=

x

5.下图中的曲线 C1 与 C2 分别是函数 y=x 和 y=x 在第一象限内的图象,则一定有(A)

p

q

A.q<p<0 B.p<q<0 C.q>p>0 D.p>q>0 6.下列四类函数中,具有性质“对任意 x>0,y>0 都有 f(x+y)=f(x)f(y)”的是(C) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.二次函数 2 2 1 ?1? ?2? ?1? 7.T1=? ?3,T2=? ?3,T3=? ?3,则下列关系式中正确的是(D) ?2? ?5? ?2? A.T1<T2<T3 B.T3<T1<T2 C.T2<T3<T1 D.T2<T1<T3 1 -1 2 8.幂函数 y=x2的反函数为 f (x)=x (x≥0). 3 4 9.命题:①函数 y=x 的图象关于原点成中心对称;②函数 y=x 的图象关于 y 轴成轴 1 对称;③函数 y= (x≠0)的图象关于直线 y=x 成轴对称,其中正确命题的个数是 3 个.

x

3 3 3 3 10.四个数 2, 3, 2, 3从小到大依次排列为 2< 2< 3< 3. 能 力 提 升 11.已知幂函数 f(x)=xm +m-2(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函
2

3

1 的最小值是________. f(x) 解析:∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, 2 ∴m +m-2<0,解得-2<m<1. 又 m∈Z,∴m=-1,0. -2 此时均有 f(x)=x 时图象关于 y 轴对称. -2 ∴f(x)=x (x≠0). 2 2 ∴g(x)=2x+x =(x+1) -1(x≠0). ∴g(x)min=-1. 答案:-1 2 2 12.已知幂函数 y=(m -m-1)xm -2m-3,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m 的 值为________. 2 2 2 解析:∵y=(m -m-1)xm -2m-3 为幂函数,所以 m -m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 2 -3 当 m=2 时,m -2m-3=-3,y=x 在(0,+∞)上为减函数,∴m=2 满足题意;当 m=- 2 1 时,m -2m-3=0,∴y=1 在(0,+∞)上为常函数,应舍去. 答案:2 1 3 5 13.已知 f(x)= +ax +bx +1,且 f(2 014)=m,则 f(-2 014)=________. 数,则函数 g(x)=2x+

x 解析:∵f(x)+f(-x)=2,∴f(-2 014)+f(2 014)=2.故 f(-2 014)=2-m. 答案:2-m a b a b 14.已知 0<a<b<1,则 a ,a ,b ,b 中最大者是________,最小者是________.

解析:根据指数函数和幂函数的单调性可得 ba>aa>ab;ba>bb>ab. a b ∴这四个数最大的是 b ,最小的是 a . a b 答案:b a 1 1+x2 15.函数 y= 的值域为________. 1 2-x2 1 2y-1 1 解析:可解出 x2= ≥0,∴y<-1 或 y≥ . y+1 2 ?1 ? 答案:(-∞,-1)∪? ,+∞? ?2 ? 2 16.讨论函数 f(x)=x3的定义域、值域、单调性,奇偶性、最值,并画出大致图象. 2 3 2 解析:∵f(x)=x3= x ,∴函数的定义域是 R,值域为[0,+∞),它是偶函数,在(- ∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,最小值为 0,无最大值.f(x)的大致图象如 下图所示.

1? ? α 17.已知点( 3,3)在幂函数 y=f(x)=x 的图象上,点?-2 2, ?在幂函数 y=g(x) 8? ? =x k 的图象上,试解下列不等式.
4

(1)f(x)>g(x); (2)f(x)<g(x). α α 解析:因点( 3,3)在幂函数 y=f(x)=x 的图象上,所以 3=( 3) .所以 α =2,即 2 -2 f(x)=x .同理幂函数 y=g(x)=x .于是: 2 -2 4 (1)由 f(x)>g(x)得 x >x ,即 x >1, 所以|x|>1,故 x>1 或 x<-1.所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-1}. 2 -2 4 (2)由 f(x)<g(x)得 x <x ,所以 x <1 且 x≠0. 所以-1<x<0 或 0<x<1.所以不等式的解集为{x|-1<x<0 或 0<x<1}. xn-x-n + 18.已知函数 f(x)= n (x∈R ),n 为非零有理数,判断 f(x)在(0,+∞)上的增 x +x-n 减性,并说明理由. xn-x-n xn x2n-1 2 解析:∵f(x)= n =1- 2n , -n· n= 2n x +x x x +1 x +1 2n ∴f(x)与 φ (x)=x 有相同的增减性. 2n + 当 n>0 时,φ (x)=x (x∈R )为增函数,故 f(x)为增函数; 2n + 当 n<0 时,φ (x)=x (x∈R )为减函数,故 f(x)为减函数.

5


相关文档

2015_2016年高中数学2.2.1分数指数幂学案苏教版必修1
2015-2016年高中数学 2.4幂函数课件 苏教版必修1
【金版学案】2014-2015学年高中数学(必修一,苏教版)课时训练 2.4 幂函数
2015秋高中数学 2.3幂函数学案设计 新人教A版必修1
2015秋高中数学新人教A版必修1 2.3幂函数学案设计
2015-2016年高中数学 2.2.1分数指数幂学案 苏教版必修1
电脑版