2019-2020年高中数学 第2章 2.2第1课时 综合法与分析法课时作业 新人教B版选修2-2

2019-2020 年高中数学 第 2 章 2.2 第 1 课时 综合法与分析法课时作

业 新人教 B 版选修 2-2

一、选择题

1.用分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分条件又非必要条件

[答案] A

2.下面的四个不等式: ①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

②a(1-a)≤14;

ba ③a+b≥2;

④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.

其中恒成立的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[答案] C

[解析] ∵(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0

a(1-a)-14=-a2+a-14=-???a-12???2≤0, (a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,

∴①②④正确.故选 C.

3.设 x= 2,y= 7- 3,z= 6- 2,则 x、y、z 的大小顺序是( )

A.x>y>z

B.z>x>y

C.y>z>x

D.x>z>y

[答案] D

[解析] ∵x、y、z 都是正数,又 x2-z2=2-(8-4 3)=4 3-6= 48- 36>0,∴

x>z.

z ∵y=

6- 7-

2= 3

7+ 6+

3>1.∴z>y. 2

∴x>z>y.故选 D.

4.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点

分别位于区间( )

A.(a,b)和(b,c)内

B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内

D.(-∞,a)和(c,+∞)内

[答案] A

[解析] 因为 a<b<c,所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c

-a)(c-b)>0,由零点存在性定理知,选 A.

5.p= ab+ cd,q= ma+nc· bm+dn(m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的

大小为( )

A.p≥q

B.p≤q

C.p>q

D.不确定

[答案] B

[解析] q= ab+mnad+nmbc+cd

≥ ab+2 abcd+cd= ab+ cd=p.故选 B.

6.已知函数 f(x)=???12???x,a、b∈R+,A=f???a+2 b???,B=f( ab),C=f???a2+abb???,则 A、B、

C 的大小关系为( )

A.A≤B≤C

B.A≤C≤B

C.B≤C≤A

D.C≤B≤A

[答案] A

[解析]

a+b ∵2≥

ab≥a2+abb,又函数 f(x)=???12???x 在(-∞,+∞)上是单调减函数,

∴f???a+2 b???≤f( ab)≤f???a2+abb???.故选 A. 7.若 x、y∈R,且 2x2+y2=6x,则 x2+y2+2x 的最大值为( )

A.14

B.15

C.16

D.17

[答案] B

[解析] 由 y2=6x-2x2≥0 得 0≤x≤3,从而 x2+y2+2x=-(x-4)2+16,∴当 x=3

时,最大值为 15.

8.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 bcos C+ccos B=asin A,

则△ABC 的形状为( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

[答案] B

[解析] 由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以,sin(B+C)=sin2A,∴sinA

=sin2A,而 sinA>0,∴sinA=1,A=π2 ,所以△ABC 是直角三角形.

二、填空题 9.设 a>0,b>0,c>0,若 a+b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为________.

[答案] 9 [解析] ∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1, ∴1a+1b+1c=a+ab+c+a+bb+c+a+cb+c

bacacb =3+a+b+a+c+b+c

≥3+2 ba·ab+2 ca·ac+2 cb·bc=9,

等号在 a=b=c=13时成立.

10.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则在 a+b,2 ab,a2+b2 和 2ab 中最大的是________. [答案] a+b [解析] ∵0<a<1,0<b<1,∴a2<a,b2<b, ∴a2+b2<a+b,又 a2+b2>2ab(a≠b),

∴2ab<a+b,又 a+b>2 ab(a≠b),故 a+b 最大.

简解:不妨取 a=12,b=14,则 a+b=34,2 ab= 22,a2+b2=156,2ab=12,显然最大

为 a+b. 11.设 p=2x4+1,q=2x3+x2,x∈R,则 p 与 q 的大小关系是________. [答案] p≥q [解析] ∵p-q=2x4+1-(2x3+x2)=(x-1)2(2x2+2x+1), 又 2x2+2x+1 恒大于 0,∴p-q≥0,故 p≥q. 三、解答题

12.已知 a、b、c∈R+,求证:

a2+b2+c2 a+b+c 3 ≥3.

a2+b2+c2 a+b+c

[证明] 要证

3 ≥3,

只需证:a2+b32+c2≥???a+3b+c???2, 只需证:3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

只需证:2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ca,

只需证:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,而这是显然成立的,

a2+b2+c2 a+b+c

所以

3 ≥ 3 成立.

一、选择题

1.已知 x、y 为正实数,则( )

A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy

B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy

C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx·2lgy

[答案] D

[解析]

2 =2 =2 ·2 . lg(xy)

(lgx+lgy)

lgx

lgy

2.已知 a>0,b>0,1a+3b=1,则 a+2b 的最小值为(

)

A.7+2 6

B.2 3

C.7+2 3

D.14

[答案] A

[解析] a+2b=(a+2b)·???1a+3b???=7+3ba+2ab.

又∵a>0,b>0,∴由均值不等式可得:a+2b=7+3ba+2ab≥7+2 3ba·2ab=7+2 6.

当且仅当3ba=2ab且1a+3b=1,即 3a2=2b2 且1a+3b=1 时等号成立,故选 A.

3.若两个正实数

x、y

14 满足x+y=1,且不等式

x+y4<m2-3m

有解,则实数

m

的取值范

围是( ) A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) C.(-4,1) D.(-∞,0)∪(3,+∞) [答案] B

[解析] ∵x>0,y>0,1x+4y=1,∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+4yx+4yx≥2+2 4yx·4yx

=4,等号在 y=4x,即 x=2,y=8 时成立,∴x+y4的最小值为 4,要使不等式 m2-3m>x+y4

有解,应有 m2-3m>4,∴m<-1 或 m>4,故选 B.

4.在 f(m,n)中,m、n、f(m,n)∈N*,且对任意 m、n 都有:

(1)f(1,1)=1,(2)f(m,n+1)=f(m,n)+2,(3)f(m+1,1)=2f(m,1);给出下列三个

结论:

①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26;

其中正确的结论个数是________个.

()

A.3

B.2

C.1

D.0

[答案] A

[解析] ∵f(m,n+1)=f(m,n)+2,∴f(m,n)组成首项为 f(m,1),公差为 2 的等差

数列,

∴f(m,n)=f(m,1)+2(n-1).

又 f(1,1)=1,∴f(1,5)=f(1,1)+2×(5-1)=9,

又∵f(m+1,1)=2f(m,1),∴f(m,1)构成首项为 f(1,1),公比为 2 的等比数列,∴f(m,1)

=f(1,1)·2m-1=2m-1,∴f(5,1)=25-1=16,∴f(5,6)=f(5,1)+2×(6-1)=16+10=26,

∴①②③都正确,故选 A.

二、填空题

5.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5),

f(3.5)的大小关系是________________.

[答案] f(3.5)<f(1)<f(2.5)

[解析] 由已知 f(x)关于 x=2 对称,又 f(x)在(0,2)上是增函数,

∴结合 f(x)图象得 f(3.5)<f(1)<f(2.5).

6.如果不等式|x-a|<1 成立的充分非必要条件是12<x<32,则实数 a 的取值范围是 ________.

[答案] 12≤a≤32 [解析] 由|x-a|<1?a-1<x<a+1

由题意知???12,32???

??a-1≤21
a-1,a+1)则有
???a+1≥23



解得12≤a≤32. 7.已知 f(x)=a

x+ 2x+1

-2是奇函数,那么实数 a 的值等于________.

[答案] 1

[ 解 析 ] 解法 1: ∵ f(x) =a

x+ 2x+1

-2(x ∈R) 是奇 函数 ,则

f(- x)+ f(x) =

a

-x+ -2 a

2-x+1



x+ 2x+1

-2=0,∴a=1.

解法 2:∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0,即 f(0)=a

0+ 20+1

-2=0,∴a=1.

三、解答题 8.已知 n∈N*,且 n≥2,求证: 1 > n- n-1.
n

[证明] 要证 1 > n- n-1, n

即证 1>n- n n- ,只需证 n n- >n-1,

∵n≥2,∴只需证 n(n-1)>(n-1)2, 只需证 n>n-1,只需证 0>-1,

最后一个不等式显然成立,故原结论成立. 9.观察下题的解答过程:

已知正实数 a、b 满足 a+b=1,求 2a+1+ 2b+1的最大值.

解 : ∵ 2a+1 · 2 ≤

2a+1 2+ 2

2

2



a



3 2



2b+1 ·

2



2b+1 2+ 2

2 2=b+32,

相加得 2a+1· 2+ 2b+1· 2= 2( 2a+1+ 2b+1)≤a+b+3=4.

∴ 2b+1+ 2b+1≤2 2,等号在 a=b=12时取得,

即 2a+1+ 2b+1的最大值为 2 2. 请类比上题解法使用综合法证明下题:

已知正实数 x、y、z 满足 x+y+z=2,求证: 2x+1+ 2y+1+ 2z+1≤ 21.

[解析] ∵ 2x+1· 73≤

2x+1 2+ 2

72 3 =x+53,

2y+1·

7 3≤

2y+1 2+ 2

72 3 =y+53,

2z+1· 73≤

2z+1 2+ 2

72 3 =z+53,

相加得( 2x+1+ 2y+1+ 2z+1)· 73≤x+y+z+5=7,



2x+1+

2y+1+

2z+1≤7·

3= 7

21,等号在 x=y=z=23时取得.

2019-2020 年高中数学 第 2 章 2.2 第 2 课时 反证法课时作业 新人

教 B 版选修 2-2

一、选择题

1.设 a、b、c 都是正数,则三个数 a+1b、b+1c、c+1a(

)

A.都大于 2

B.至少有一个大于 2

C.至少有一个不小于 2

D.至少有一个不大于 2

[答案] C

[解析] a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥2+2+2=6.故选 C.

2.异面直线在同一个平面的射影不可能是( )

A.两条平行直线

B.两条相交直线

C.一点与一直线

D.同一条直线

[答案] D

[解析] 举反例的方法 如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中

A1A 与 B1C1 是两条异面直线,它们在平面 ABCD 内的射影分别是点 A 和直线 BC,故排除 C; BA1 与 B1C1 是两条异面直线,它们在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 BC,故排除 B; BA1 与 C1D1 是两条异面直线,它们在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 CD,故排除 A. 故选 D.

3.已知 x、y∈R,且 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有( )

A.最小值34,而无最大值

B.最小值 1,而无最大值

C.最小值12和最大值 1

D.最大值 1 和最小值34

[答案] D

[解析] 设 x=cosα ,y=sinα ,则(1-xy)(1+xy) =(1-sinα cosα )(1+sinα cosα )=1-sin2α cos2α

=1-14sin22α ∈[34,1].

4.用反证法证明命题“如果 a>b>0,那么 a2>b2”时,假设的内容应是( )

A.a2=b2

B.a2<b2

C.a2≤b2

D.a2<b2,且 a2=b2

[答案] C

5.实数 a,b,c 满足 a+2b+c=2,则( )

A.a,b,c 都是正数

B.a,b,c 都大于 1

C.a,b,c 都小于 2

D.a,b,c 至少有一个不小于12

[答案] D

[解析] 假设 a,b,c 均小于12,则 a+2b+c<12+1+12,与已知矛盾.

6.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( )

A.若 x∈M 则 x?N

B.若 x∈N 则 x∈M

C.存在 x1∈M? x1∈N,又存在 x2∈M? x2?N D.存在 x0∈M? x0?N [答案] D

[解析] 按定义,若 M 是 N 的子集,则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素.所以, 要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M 但 x0?N.选 D.
7.设 a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、 R 同时大于零”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 首先若 P、Q、R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立. 其次,若 PQR>0,且 P、Q、R 不都大于 0,则必有两个为负,不妨设 P<0,Q<0,即 a+b -c<0,b+c-a<0,∴b<0 与 b∈R+矛盾,故 P、Q、R 都大于 0.故选 C. 8.用反证法证明某命题时,对其结论:“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”正确的反 设为( ) A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 都是偶数 C.a、b、c 中至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数或都是奇数 [答案] D [解析] “自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”即 a、b、c 中有两奇一偶,故其反面应为 都是奇数或两偶一奇或都是偶数,故选 D. 二、填空题 9.设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.用反证 法证明此题时应假设____________________. [答案] |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于12 10.完成反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列. 求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明:反设 p 为奇数,则________均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=________________________________② =________________________________③

=0.

[答案] ①a1-1,a2-2,…,a7-7 ②(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) ③(a1+a2+…+a7)-(1+2+3+…+7) 11.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________.

[答案]

1 3

[解析]

假设

a、b、c

1 都小于3,则

a+b+c<1.

故 a、b、c 中至少有一个数不小于13.

三、解答题

12.求证:若 x,y,z 均为实数,且 a=4y-x2-23π ,b=4z-y2-43π ,c=4x-z2-2π ,

求证:a,b,c 中至少有一个小于零.

[证明] 假设 a,b,c 都不小于零,则 a+b+c≥0.

所以 a+b+c=(4y-x2-2π3 )+(4z-y2-43π )+(4x-z2-2π )=-[(x-2)2+(y-2)2

+(z-2)2]-4π +12≥0. 因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0,

所以-4π +12≥0,

即 4π ≤12,这与基本事实 4π >12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.

一、选择题 1.实数 a,b,c 不全为 0 的含义是( ) A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 [答案] D [解析] “不全为 0”即“至少有一个不为 0”. 2.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是( ) A.方程 x3+ax+b=0 没有实根

B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根

[答案] A

[解析] 本题考查命题的非的写法.

至少有一个实根的否定为:没有实根.

反证法的假设为原命题的否定.

3.已知 x>0,y>0,x+y≤4,则有( )

11 A.x+y≤4

11 B.x+y≥1

C. xy≥2

D.x1y≥1

[答案] B

[解析] 由 x>0,y>0,x+y≤4 得x+1 y≥14,A 错;x+y≥2 xy,∴ xy≤2,C 错;xy≤4,

∴x1y≥14,D 错.

4.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为:an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a>b, 那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.无穷多个

[答案] A

[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项,即存在 n∈N*,使得 an=bn,但若 a>b,n ∈N*,恒有 a·n>b·n,从而 an+2>bn+1 恒成立.∴不存在 n∈N*,使得 an=bn.故应选 A.
二、填空题

5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.

[答案] 存在一个三角形,其外角至多有一个钝角

6.用反证法证明命题“如果 AB∥CD,AB∥EF,那么 CD∥EF”,证明的第一个步骤是

________.

[答案] 假设 CD 与 EF 不平行

7.用反证法证明命题:“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有一个能被 5 整

除”时,假设的内容应为__________________.

[答案] 假设 a、b 都不能被 5 整除

三、解答题

8.若 x>0,y>0,且 x+y>2,求证1+y x<2 和1+x y<2 中至少有一个成立. [解析] 假设都不成立,即有1+y x≥2 且1+x y≥2. ∵x>0,y>0, ∴1+x≥2y 且 1+y≥2x, ∴2+(x+y)≥2(x+y), ∴x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 矛盾. ∴假设不成立,原命题成立, 即1+y x<2 和1+x y<2 中至少有一个成立. 9.求证:当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时,bc≠0. [证明] 假设 bc=0. (1)若 b=0,c=0,方程变为 x2=0;则 x1=x2=0 是方程 x2+bx+c2=0 的两根,这与 方程有两个不相等的实数根矛盾. (2)若 b=0,c≠0,方程变为 x2+c2=0;但 c≠0,此时方程无解,与 x2+bx+c2=0 有 两个不相等的非零实数根矛盾. (3)若 b≠0,c=0,方程变为 x2+bx=0,方程的根为 x1=0,x2=-b,这与方程有两个 非零实根矛盾. 综上所述,可知 bc≠0. 10.(xx·湖南理,16)设 a>0,b>0,且 a+b=1a+1b.证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. [证明] 由 a+b=1a+1b=aa+bb,a>0,b>0,得 ab=1.
(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2; (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立,则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1,同理 0<b<1,从 而 ab<1,这与 ab=1 矛盾,故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.


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