【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第5章 2 复数的四则运算]

第五章

§2

一、选择题 7+i 1.(2014· 天津理,1)i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i 17 31 C. + i 25 25 [答案] A ?7+i??3-4i? 25-25i [解析] 原式= = =1-i,故选 A. 25 ?3+4i??3-4i? - 2.(2014· 福建理,1)复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于( A.-2-3i C.2-3i [答案] C [解析] ∵z=(3-2i)i=3i+2,∴ z =2-3i,复数 z=a+bi 的共轭复数为 z =a-bi, 2-i 3.复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2+i A.第一象限 C.第三象限 [答案] D [解析] 本题主要考查复数的运算及复数的几何意义. 2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 ∵z= = = = - i. 5 5 5 5 2+i 3 4 ∴z 在复平面由对应的点为 ( ,- ),故选 D. 5 5 二、填空题 11-7i 4.(2012· 江苏,3)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单位),则 a+b 的值为________. 1-2i [答案] 8 [解析] 本题考查复数除法运算及复数相等的条件. ∵ 11-7i ?11-7i??1+2i? 11-14i2+?22-7?i 25+15i = = = =5+3i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 12+22 B.第二象限 D.第四象限 ) B.-2+3i D.2+3i ) B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7 )

复数除法运算就是将分子、分母同乘分母的共轭复数,将分母实数化. 5.已知 f(z)=|1+z|- z 且 f(-z)=10+3i,则复数 z=__________.

[答案] 5-3i [解析] 设 z=x+yi(x,y∈R), 则-z=-x-yi,由 f(-z)=10+3i, 得|1+(-z)|- ?-z? =10+3i, |(1-x)-yi|-(-x+yi)=10+3i,

? ?1-x?2+y2+x=10 ∴? ?-y=3
解之得 x=5,y=-3, ∴所以 z=5-3i. 三、解答题 1-z 1 6.已知 z 是虚数,且 z+ 是实数,求证: 是纯虚数. z 1+z 1 1-z [分析] 将 z=x+yi(x,y∈R 且 y≠0)代入 z+ , 分别化为代数形式. z 1+z [解析] 设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0. x-yi 1 1 x y 由已知得 z+ =(x+yi)+ =x+yi+ 2 2=(x+ 2 2)+(y- 2 2)i. z x+yi x +y x +y x +y 1 y ∵z+ 是实数,∴y- 2 2=0,即 x2+y2=1,且 x≠± 1, z x +y ∴ = 1-z 1-?x+yi? = 1+z 1+?x+yi? ?1-x-yi??1+x-yi? 1-x2-y2-2yi = ?1+x+yi??1+x-yi? 1+2x+x2+y2

y =- i. 1+x ∵y≠0,x≠-1, ∴ 1-z 是纯虚数. 1+z

[点评] 充分利用复数的代数形式:z=a+bi(a,b∈R),代入到已知条件,利用复数的 四则运算化简,即可得要证的结果.

一、选择题 z+1 1.(2014· 湖南理,1)满足 =i(i 为虚数单位)的复数 z=( z 1 1 A. + i 2 2 1 1 B. - i 2 2 )

1 1 C.- + i 2 2 [答案] B

1 1 D.- - i 2 2

z+i -i 1 1 [解析] 由题可得 =i?z+i=zi?z(1-i)=-i?z= = - i,故选 B. z 1-i 2 2 2.(2014· 辽宁理,2)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( A.2+3i C.3+2i [答案] A 5 [解析] z-2i= =2+i, 2-i ∴z=2+3i. z ? ?z1?|z1|>|z2|?, 3.已知 z1,z2 是复数,定义复数的一种运算“?”为:z1?z2=? 2 当 z1 ? ?z1-z2?|z1|≤|z2|?, =3-i,z2=-2-3i 时,z1?z2=( A.5+2i C.9+7i [答案] A [解析] 由|z1|= 32+?-1?2= 10,|z2|= ?-2?2+?-3?2= 13,知|z1|<|z2|,故由新“运 算”法则,得 z1?z2=z1-z2=(3-i)-(-2-3i)=5+2i,选 A. [点评] 读懂运算法则是解此类题的关键. 4.若 z2+z+1=0,则 z2002+z2003+z2005+z2006 的值是( A.2 1 3 C.- + i 2 2 [答案] B [解析] 由 z2+z+1=0,不难联想到立方差公式,从而将 z 得出.将 z2+z+1=0 两边 同乘(z-1),得 z3-1=0,即 z3=1(z≠1).则 z4=z,z2002=(z3)667· z=z,于是,原式=z2002(1 +z+z3+z4)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2. 2 5.复数 z 满足方程?z+1+i?=4,那么复数 z 在复平面内的对应点 Z 的轨迹是( B.-2 1 3 D.- ± i 2 2 ) ) B.1+2i D.1-4i B.2-3i D.3-2i )

?

?

)

A.以(1,-1)为圆心,4 为半径的圆 B.以(1,-1)为圆心,2 为半径的圆 C.以(-1,1)为圆心,4 为半径的圆 D.以(-1,1)为圆心,2 为半径的圆

[答案] C 2 [解析] ?z+1+i?=|z+(1-i)|=|z-(-1+i)|=4, 设-1+i 的对应点为 C(-1,1), 则|ZC| ? ? =4,因此动点 Z 的轨迹是以 C(-1,1)为圆心,4 为半径的圆,故应选 C. 二、填空题 x 3 y 6.设 = + (x,y∈R),则 x=____,y=____. 1+i 2-i 1-i [答案] 3 9 ;- 5 5 x?1-i? 3?2+i? y?1+i? = + , ?1+i??1-i? ?2-i??2+i? ?1-i??1+i?

[解析] 由已知得

x x 6 y 3 y? + i. 整理得 - i= + +? 2 2 5 2 ?5 2?

?2=5+2, 所以? x 3 y ?-2=5+2.
[答案] 5 2

x

6

y

?x=5, 解得? 9 ?y=-5.

3

7.若方程 x2+x+m=0 有两个虚根 α,β,且|α-β|=3,则实数 m 的值为________.

[解析] 实系数一元二次方程的求解问题不能简单地利用根与系数的关系来解,应由方 程的根适应方程及相关知识来解. 因为方程 x2+x+m=0 为实系数一元二次方程,且有两个虚根 α,β,所以 α,β 互为共 轭复数. 3 设 α=a+bi(a,b∈R),则 β=a-bi,由|α-β|=3,得 b=± . 2 3 ?2 ? 3 ? 3 3 当 b= 时,α=a+ i,代入方程,得? ?a+2i? +?a+2i?+m=0, 2 2 9? ? 3? 2 即? ?a +a+m-4?+?3a+2?i=0.

?a +a+m-4=0 所以? 3 ?3a+2=0
2

9

?a=-2 得出? 5 ?m=2.

1

三、解答题 1+i n 1-i n 8.设 f(n)=( ) +( ) (n∈N),则集合{x|x=f(n)}中的元素个数是多少? 1-i 1+i 1 +i 1-i [解析] ∵ =i, =-i, 1 -i 1+i ∴f(n)=in+(-i)n,设 k∈N.

当 n=4k 时,f(n)=2. 当 n=4k+1 时,f(n)=i4k· i+(-i)4k· (-i)=0. 当 n=4k+2 时,f(n)=i4k· i2+(-i)4k· (-i)2=-2. 当 n=4k+3 时,f(n)=i4k· i3+(-i)4k(-i)3=0. ∴{x|x=f(n)}中有三个元素. z1 9.已知若 z1,z2 是非零复数,且|z1+z2|=|z1-z2|,求证: 是纯虚数. z2 [解析] 证法(一):设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R 且 a1 与 b1、a2 与 b2 不同时为 0), z1 ?a1a2+b1b2?+?b1a2-a1b2?i b1a2-a1b2 由|z1+z2|=|z1-z2|,得 a1a2+b1b2=0,于是 = = 2 2 i. 2 z2 a2 a2+b2 2+b2 z1 因为 z≠0,所以 b1a2-a1b2≠0,即 是纯虚数. z2 z1 z1 z1 z1 z1 证法(二):将已知等式变形为|z2|| +1|=|z2|| -1|,故| +1|=| -1|,设 =a+bi(a,b z2 z2 z2 z2 z2 ∈R),则有(a+1)2+b2=(a-1)2+b2,从而解得 a=0, z1 z1 又 ≠0,故 b≠0,所以 为纯虚数. z2 z2 证法(三); z1 z1 z1 z1 将已知等式变形为|z2|| +1|=|z2|| -1|,故| +1|=| -1|, z2 z2 z2 z2 z1 令 z= ,则原等式化为|z+1|=|z-1|, z2 而变形后的几何意义是:表示点 Z 到两定点 A(1,0)、B(-1,0)的距离相等,则动点 Z 的 图形就是 AB 的垂直平分线,即 y 轴(原点除外),于是有 z=ai(a∈R,a≠0). z1 所以 为纯虚数. z2 [点评] 上述三法风格迥异,证法(一)可谓通性通法,强调复数的代数形式及复数运算; 证法(二)突出的是复数模的性质的应用,计算简捷,明了;证法(三)注重了复数几何意义的 使用,使问题更直观、形象.后两种证法技巧性强,但运算量小. z 10.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对 2-i 应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. [解析] 设 z=x+yi(x、y∈R), ∵z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
?12+4a-a2>0, ? 根据条件,可知? ?8?a-2?>0, ?

解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6).


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