必修2第三章直线与方程检测试题

第三章 直线与方程测试题(一)
一.选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分) 1.若直线过点 ( 3,3) 且倾斜角为 300 ,则该直线的方程为( )

A. y ? 3x ? 6 B. y ? 3 x ? 4 C. y ? 3 x ? 4 D. y ? 3 x ? 2

3

3

3

2. 如果 A(3,1) 、 B(?2, k) 、 C(8,11) ,在同一直线上,那么 k 的值是( )。

A. ? 6

B. ? 7

C. ? 8

D. ? 9

3. 如果直线 x ? by ? 9 ? 0经过直线 5x ? 6y ?17 ? 0 与直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的交点,那么 b 等于

( ). A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 直线 (2m2 ? 5m ? 2)x ? (m2 ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角是 450 ,则 m 的值为( )。

A.2

B. 3

C. -3

D. -2

5.两条直线 3x ? 2y ? m ? 0 和 (m 2 ?1)x ? 3y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.重合

D.与 m 有关

*6.到直线 2x ? y ?1 ? 0 的距离为 5 的点的集合是(

)

5

A.直线 2x ? y ? 2 ? 0

B.直线 2x ? y ? 0

C.直线 2x ? y ? 0 或直线 2x ? y ? 2 ? 0 D.直线 2x ? y ? 0 或直线 2x ? y ? 2 ? 0

7 直线 x ? 2y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是( )

A.[?2,2]

B. (??,?2] ?[2,??)

C.[?2,0) ? (0,2]

D. (??,??)

1

*8.若直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 M , N 两点,且 MN 的中点是 P(1,?1) ,则

直线 l 的斜率是( A. ? 2
3


B. 2 3

C. ? 3 2

D. 3 2

9.两平行线 3x ? 2y ?1 ? 0 , 6x ? ay ? c ? 0 之间的距离为 2 13 ,则 c ? 2 的值是( )

13

a

A .±1

B. 1

C. -1

D.2

10.直线 x ? 2 y ?1 ? 0 关于直线 x ? 1对称的直线方程是( )

A. x ? 2y ?1 ? 0

B. 2x ? y ?1 ? 0

C. 2x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 2y ? 3 ? 0

**11.点 P 到点 A?(1,0) 和直线 x ? ?1的距离相等,且 P 到直线 y ? x 的距离等于 2 ,这样的点 P 2

共有 ( A.1 个

) B.2 个

C.3 个

D.4 个

*12.若 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) ,有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( )

A. 0 ? a ? 10 C. a ? 0 且 a ? 1

B. a ? 1 D. a ? 1

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)

13. 经过点 (?2,?3) ,在 x 轴、 y 轴上截距相等的直线方程是







*14. 直线方程为 (3a ? 2)x ? y ? 8 ? 0 ,若直线不过第二象限,则 a 的取值范围是



15. 在直线 x ? 3y ? 0 上求一点,使它到原点的距离和到直线 x ? 3y ? 2 ? 0 的距离相等,则此点
2

的坐标为

.

*16. 若方程 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? y ? 0 表示的图形是



三.解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)在 ?ABC中, BC 边上的高所在直线方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 ,?A 的平分线所在直线
方程为: y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1,2) ,求点 A 和 C 的坐标.

*18.(12 分)已知直线 (a ? 2) y ? (3a ?1)x ?1 . (1)求证:无论 a 为何值,直线总过第一象限; (2)为使这条直线不过第二象限,求 a 的取值范围.
19.(12 分)已知实数 x , y 满足 2x ? y ? 8,当 2 ? x ? 3时,求 y 的最值. x

20.(12 分)已知点 P(2,?1) .
3

(1)求过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
**21.(12 分)已知集合 A ? {(x, y) | y ? 3 ? a ?1},B ? {( x, y) | (a2 ?1)x ? (a ?1) y ? 15} ,求 a x?2
为何值时, A ? B ? ? .

**22.(12 分)有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始
10 分钟内只进水,不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间( x )分与水量 y (升)之间 的关系如图所示,若 40 分钟后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

y

30 ·

B

20 · A
10 · O 1·0 ·20·30·40 x

4

第三章直线与方程测试题答案与提示(一)

一、选择题 1—4 CDDB 提示:

5—8 BDCA 9—12 ADCB

1. 据直线的点斜式该直线的方程为 y ? (3) ? tan 30 0 (x ? 3) ,整理即得。

2. 由 k AC ? kBC ? 2 得 D

3. 直线 5x ? 6y ?17 ? 0 与直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的交点坐标为 (1,?2) ,代入直线 x ? by ? 9 ? 0 ,

得b ?5

4.

由题意知 k

?

1

,所以

2m

2? m2

5m ?4

?

2

? 1,所以 m ? 3 或 m ? 2 (舍去)

5.

第一条直线的斜率为 k1

?

?

3 2

,第二条直线的斜率为

k

2

?

m2 ?1 3

? 0 ,所以 k1

?

k2 .

6. 设此点坐标为 (x, y) ,则 | 2x ? y ? 1 | ? 5 ,整理即得。

22 ? 12

5

7. 令 x ? 0,得 y ? b ,令 y ? 0 , x ? ?b ,所以所求三角形面积为 1 | b || b |? 1 b2 ,且 b ? 0 ,

2

22

4

1 b2 ? 1,所以 b2 ? 4 ,所以 b ?[?2,0) ? (0,2]. 4

8. 由题意,可设直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) ?1,分别与 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 ,联立解得

M ( 2 ? 1,1) ,M ( k ? 6 , ? 6k ?1) ,又因为 MN 的中点是 P(1,?1) ,所以由中点坐标公式得 k ? ? 2 .

k

k ?1 k ?1

3

9. 由题意 3 ? | -2 ? ?1 ,?a ? ?4, c ? ?2 ,则 6x ? ay ? c ? 0 可化为 3x ? 2 y ? c ? 0 .

6a c

2

由两平行线距离得 2

13

?

|

c 2

?1|

,得

c

?

2



c

?

?6 ,?

c

?

2

?

?1 .

13

13

a

10. x ? 2y ?1 ? 0 关于直线 x ? 1的交点为 A(1,1) ,点 (?1,0) 关于 x ? 1的对称点为 B(3,0) 也在所求 直线上,∴所求直线方程为 y ?1 ? 1 (x ?1) ,即 x ? 2y ? 3 ? 0 ,或所求直线与直线 x ? 2 y ?1 ? 0
2
5

的斜率互为相反数, k ? ? 1 亦可得解. 2

11.由题意知: (x ?1)2 ? y2 ?| x ?1| ,且 2 ? | x ? y | ,

2

2

所以

? ?

y

2

?

4x

?y2 ? 4x ??

①或

? ?

y

2

?

4x

②,解得,①有两根,②有一根.

?| x ? y |? 1 ?x ? y ? 1

?x ? y ? ?1

12..如图,要使 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) 有两个不同的交点,则 a ? 1 .

y y=a|x| y=x-a

O

x

二、填空题
13. x ? y ? 5 ? 0 或 3x ? 2y ? 0 ; 14. a ? ? 2 ; 3
16.两条直线. 提示: 13.注意经过原点的直线在 x 轴、y 轴上的截距均为零

15. (? 3 , 1) 或 (3 ,? 1) ; 55 5 5

14. 直 线 在 y 轴 上 的 截距 为 -8 , 直 线 不过 第 二象 限 , 画 图 可 知, 直 线的 斜 率 为 正 或 0, 即
? (3a ? 2) ? 0 ,所以 a ? ? 2 . 3

15.设此点坐标 (?3y0 , y0 ) ,由题意

(?3y0 )2

?

y02

?

|

?3y0 ? 12

3y0 ? 32

?

2

|

,可得

y0

??1 5

16. x2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? y ? (x ? y)( x ? 2 y) ? (x ? y) ? (x ? y)( x ? 2 y ? 1) ? 0 , 所以表示两条直线 x ? y ? 0 , x ? 2 y ?1 ? 0 .

三.解答题

17.解:由

?x

? ?

y

? ?

2y 0

?

1

?

0

,?

A(?1,0)

,又 k AB

?

2?0 1 ? (?1)

? 1,?

x 轴为 ?A 的平分线,

故 k AC ? ?1,? AC : y ? ?(x ?1) ,∵BC 边上的高的方程为: x ? 2 y ?1 ? 0 ,? kBC ? ?2 ,
6

∴BC:

y

?

2

?

?2(x

? 1)

,即:

2x

?

y

?

4

?

0

,由

?2x ? y ? 4 ? ??x ? y ?1 ? 0

0

,解得 C(5,?6) 。

18.解:(1)将方程整理得 a(3x ? y) ? (?x ? 2y ?1) ? 0 ,对任意实数 a ,直线恒过 3x ? y ? 0 ,

与 x ? 2y ?1 ? 0 的交点 (1 , 3) , 55
∴直线系恒过第一象限内的定点 (1 , 3) ,即无论 a 为何值,直线总过第一象限. 55

(2)当 a ? 2 时,直线为 x ? 1 ,不过第二象限;当 a ? 2 时,直线方程化为 y ? 3a ?1 x ? 1 ,

5

a?2 a?2

不过第二象限的充要条件为

? ?? ? ? ??

3a ?1 ? 0 a?2
1 ?0 a?2



?

a

?

2

,综上

a

?

2

时直线不过第二象限.

19.思路点拨:本题可先作出函数 y ? 8 ? 2x(2 ? x ? 3) 的图象, 把 y 看成过点 (x, y) 和原点的直线的斜率进行求解.
x 解析:如图,设点 P(x, y) ,因为 x , y 满足 2x ? y ? 8,

且 2 ? x ? 3,所以点 P(x, y) 在线段 AB 上移动,并且 A , B

两点的坐标分别是 A(2,4) , B(3,2) .

因为

y x

的几何意义是直线

OP

的斜率,且 kOA

?

2 , kOB

?

2 3



所以 y 的最大值为 2,最小值为 2 .

x

3

y

4· A 3 · ·P

2· B

1O··1 ·2 ·3 ·4

x

20.解:(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为 (2,?1) ,可见,过 P(2,?1) 垂直于 x
轴的直线满足条件.
此时 l 的斜率不存在,其方程为 x ? 2 . 若斜率存在,设 l 的方程为 y ?1 ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ?1 ? 0 .
7

由已知,得 | ?2k ? 1 | ? 2 ,解得 k ? 3 .

k2 ?1

4

此时 l 的方程为 3x ? 4y ?10 ? 0 ,综所,可得直线 l 的方程为 x ? 2 或 3x ? 4y ?10 ? 0 .

(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的是过 P 点且与 PO垂直的直线,由 l ? OP,

得 k1 ? kOP

? ?1,所以 k1

?

1 kOP

? 2 ,由直线方程的点斜式得 y ?1 ? 2(x ? 2) ,

即 2x ? y ? 5 ? 0 .

即直线 2x ? y ? 5 ? 0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 | ?5 | ? 5 . 5

(3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5 的直线,因此不存在过点 P 点且到原点距离
为 6 的直线.

21.思路点拨:先化简集体 A , B ,再根据 A ? B ? ? ,求 a 的值.

自主解答:集合 A , B 分别为 xOy 平面上的点集;直线 l1 : (a ?1)x ? y ? 2a ?1 ? 0(x ? 2) ,

l2 : (a2 ?1)x ? (a ?1) y ?15 ? 0 ,



??(a ?1)(a ?1) ? ???1? (?15) ?

? (?1)(a2 ?1) (a ?1)(?2a2 ?

1)

,解得

a

?

?1.

② a ? 1 时,显然有 B ? ? ,所以 A ? B ? ? ;

②当 a ? ?1时,集合 A 为直线 y ? 3(x ? 2) ,

集合 B 为直线 y ? ? 15 ,两直线平行,所以 A ? B ? ? ; 2

③由 l1 可知 (2,3) ? A,当 (2,3) ? A时,即 2(a 2 ?1) ? 3(a ?1) y ?15 ? 0 ,

可得 a ? 5 或 a ? ?4 ,此时 A ? B ? ? .综上所述,当 a ? ?4,?1,1, 5 时, A ? B ? ? .

2

2

22.解:当

0

?

x

? 10 时,直线过点 O(0,0)



A(10,20)

;? kOA

?

20 10

?

2

,所以此时直线方程为

y ? 2x ;

8

当10 ?

x

?

40 时,直线过点

A(10,20) , B(40,30)

,此时 k AB

?

30 ? 20 40 ?10

?

1 3

,所以此时的直

线方程为 y ? 20 ? 1 (x ?10) ,即 y ? 1 x ? 50 ;

3

33

当 x ? 40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为 v1 ,放水的速度

为 v2 ,在 OA 段时是进水过程,所以 v1 ? 2 ,在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,

此时的速度为 v1

? v2

?

1 3

,?

2

?

v2

?

1 3

,∴

v2

?

? 5 ,所以当 x 3

?

40 时, k

?

?5. 3

又过点 B(40,30) ,所以此时的方程为 y ? ? 5 x ? 290 ,令 y ? 0 ,? x ? 58,此时到 C(58,0) 33

?

?2x(0 ? x ? 10)

放水完毕,综合上述:

y

?

??1 ??3

x

?

50 3

(10

?

x

?

40)



????

5 3

x

?

290 3

(40

?

x

?

58)

题序 1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12

星级

考查知识点

考查能力

点斜式该直线的方程

应用、计算能力

三点共线

公式应用、计算能力

直线交点

应用、计算能力

直线的倾斜角

计算、综合能力

两直线的位置关系

计算、判断能力

*

点到直线的距离、点的集合

综合应用能力

直线的截距、三角形的面积

理解能力、运算求解不等式能



*

直线的交点、中点坐标公式

理解、计算能力

两平行线的斜率、截距关系及距离

转化与计算能力

等知识

直线的对称

理解、计算能力

**

点到直线的距离

应用、计算等综合能力

**

直线的交点

利用数学方法(数形结合)解

题能力

9

13

直线方程

利用数学方法(分类讨论)解

题能力

14

*

点点直线、点线距离

分析问题、解决问题能力

15

点线距离

应用能力、计算能力

16

*

直线方程

化简、转化能力

17

直线的交点、直线方程、对称问题 理解能力、转化能力、运算求

解能力

18

*

直线的方程、直线过定点问题 理解能力、转化能力、运算求

解能力

19

直线的方程、直线的斜率

转化能力、运算求解能力

20

直线的方程、点到线的距离

转化能力、运算求解能力、实

际应用能力

21

**

集合的运算、直线方程

综合应用、理解与运算能力

22

**

直线方程、实际应用

分析转化能力、运算求解能

力、实际应用能力

一、选择题

必修 2 第三章测验题(二)
10

1.若直线过点 (1,2) , (4,2 ? 3) 则此直线的倾斜角是( )

A. 300

B. 450 C. 600 D. 900

2.若三点 A(3,1) , B(?2,b) , C(8,11) 在同一直线上,则实数 b 等于( )

A.2

B.3

C.9

D.-9

3.过点 (1,2) ,且倾斜角为 300 的直线方程是( A. y ? 2 ? 3 (x ? 1) 3 C. 3x ? 3y ? 6 ? 3 ? 0

)
B. y ? 2 ? 3(x ?1) D. 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0

4.直线 3x ? 2y ? 5 ? 0 与直线 x ? 3y ?10 ? 0 的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.重合 D.异面

5.直线 mx ? y ? 2m ?1 ? 0 经过一定点,则该定点的坐标为( )

A. (?2,1)

B. (2,1) C. (1,?2) D. (1,2)

6.已知 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 通过( )

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限

D.第二、三、四象限

7.点 P(2,5) 到直线 y ? ? 3x 的距离 d 等于( A. 0 C. ? 2 3 ? 5 2

)
B. 2 3 ? 5 2
D. ? 2 3 ? 5 2

8.与直线 y ? ?2x ? 3平行,且与直线 y ? 3x ? 4交于 x 轴上的同一点的直线方程是( )

A. y ? ?2x ? 4

B. y ? 1 x ? 4 2

C. y ? ?2x ? 8 3

D. y ? 1 x ? 8 23

9.两条直线 y ? ax ? 2 与 y ? (a ? 2)x ?1互相垂直,则 a 等于( )
11

A.2

B.1

C.0

D. ?1

10.已知等腰直角三角形 ABC的斜边所在的直线是 3x ? y ? 2 ? 0 ,直角顶点是 C(3,?2) ,则两条

直角边 AC , BC 的方程是( )

A. 3x ? y ? 5 ? 0 , x ? 2y ? 7 ? 0

B. 2x ? y ? 4 ? 0 , x ? 2y ? 7 ? 0

C. 2x ? y ? 4 ? 0 , 2x ? y ? 7 ? 0

D. 3x ? 2y ? 2 ? 0 , 2x ? y ? 2 ? 0

11.设点 A(2,?3) , B(?3,?2) ,直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是

()

A. k ? 3 或 k ? ?4 4

B. ? 4 ? k ? 3 4

C. ? 3 ? k ? 4 4

D.以上都不对

12.在坐标平面内,与点 A(1,2) 距离为 1,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

二、填空题 13.已知点 A(?1,2) , B(?4,6) ,则| AB |等于________.

14.平行直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 与 l2 : 3x ? 3y ?1 ? 0 的距离等于________.
15.若直线 l 经过点 P(2,3) 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线 l 的方程为________或
________.

16.若直线 m 被两平行线 l1 :x ? y ?1 ? 0 与 l2 :x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的 倾斜角可以是①150 ; ② 300 ; ③ 450 ; ④ 600 ; ⑤ 750 ,其中正确答案的序号是________.(写
出所有正确答案的序号)
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求经过点 A(?2,3) , B(4,?1) 的直线的两点式方程,并把它化成点斜式,斜截式和截距式.

12

18.(1)当 a 为何值时,直线 l1 : y ? ?x ? 2a 与直线 l2 : y ? (a 2 ? 2)x ? 2 平行? (2)当 a 为何值时,直线 l1 : y ? (2a ?1)x ? 3与直线 l2 : y ? 4x ? 3垂直?
19.在 ?ABC中,已知点 A(5,?2) , B(7,3) ,且边 AC 的中点 M 在 y 轴上,边 BC 的中点 N 在 x
轴上,求:
(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.
20.过点 P(3,0) 作一直线,使它夹在两直线 l1 :2x-y-2=0 和 l2 :x+y+3=0 之间的线段 AB 恰 被 P 点平分,求此直线方程.
21.已知 ?ABC的三个顶点 A(4,?6) , B(?4,0) , C(?1,4) ,求 (1) AC 边上的高 BD所在直线方程; (2) BC 边的垂直平分线 EF 所在直线方程; (3) AB 边的中线的方程.
13

22.当 m 为何值时,直线 (2m2 ? m ? 3)x ? (m2 ? m) y ? 4m ?1 . (1)倾斜角为 450 ;(2)在 x 轴上的截距为 1.

必修 2 第三章测验题答案(二)

一、选择题

1、A
2、 D 3、C

斜率 k=

2+ 3 4-1

-2= 33,∴倾斜角为 30°.

由条件知 kBC=kAC,∴-b-2-118=181--31,∴b=-9.

由直线方程的点斜式得 y-2=tan30°(x-1),

整理得 3x-3y+6- 3=0.

4、A ∵A1B2-A2B1=3×3-1×(-2)=11≠0,∴这两条直线相交. 5、A 直线变形为 m(x+2)-(y-1)=0,故无论 m 取何值,点(-2,1) 都在此直线上。

6、A

∵ab<0,bc<0,∴a,b,c 均不为零,在直线方程 ax+by+c=0 中,令 x=0 得,y=-cb>0,

令 y=0 得 x=-ca,∵ab<0,bc<0,∴ab2c>0,∴ac>0,∴-ca<0,∴直线通过第一、二、三象限。

7、B 直线方程 y=- 3x 化为一般式 3x+y=0,

则 d=2 32+5.

8、C 直线 y=-2x+3 的斜率为-2,则所求直线斜率 k=-2,直线方程 y=3x+4 中,令 y=0,



x=-43,即所求直线与

x

4 轴交点坐标为(-3,0).故所求直线方程为

y=-2(x+43),即

y=-2x

-83.

9、D∵两线互相垂直,∴a·(a+2)=-1,∴a2+2a+1=0,∴a=-1.

10、 B∵两条直角边互相垂直,∴其斜率 k1,k2 应满足 k1k2=-1,排除 A、C、D,故选 B.

11、A kPA=-4,kPB=34,画图观察可知 k≥34或 k≤-4.

12、 B 由平面几何知,与 A 距离为 1 的点的轨迹是以 A 为圆心,以 1 为半径的⊙A,与 B 距离为

2 的点的轨迹是半径为 2 的⊙B,显然⊙A 和⊙B 相交,符合条件的直线为它们的公切线有 2 条.

二、填空题

13、. 5 |AB|= -1+4 2+ 2-6 2=5.

14、

1

2 3

直线 l2 的方程可化为 x-y+13=0,则 d=

|1-3| 12+ -1

2


2

3

.

14

15、 x+y-5=0 x-y+1=0

设直线 l 的方程为xa+yb=1,则?????a|2+a|3b==|b1|,,

解得 a=5,b=5 或 a=-1,b=1,即直线 l 的方

程为x5+y5=1 或-x1+y1=1,即 x+y-5=0 或 x-y+1=0.

16、 ①⑤

两平行线间的距离为 d=|3-1|= 1+1

2,由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°,l1 的倾斜

角为 45°,所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°-30°=15°.

三、解答题

17、过 AB 两点的直线方程是y3+ +11=-x- 2-44.

点斜式为 y+1=-23(x-4)

斜截式为 y=-23x+53

xy 截距式为5+5=1.

23

18、(1)直线 l1 的斜率 k1=-1,直线 l2 的斜率 k2=a2-2,因为 l1∥l2,所以 a2-2=-1 且 2a≠2, 解得:a=-1.所以当 a=-1 时,直线 l1:y=-x+2a 与直线 l2:y=(a2-2)x+2 平行.
(2)直线 l1 的斜率 k1=2a-1,l2 的斜率 k2=4,因为 l1⊥l2,所以 k1k2=-1,即 4(2a-1)=-1, 解得 a=38.所以当 a=38时,直线 l1:y

=(2a-1)x+3 与直线 l2:y=4x-3 垂直.

19、(1)设

C(x,y),由

AC

的中点

M



y

x+5 轴上得, 2 =0,即

x=-5.

由 BC 中点 N 在 x 轴上,得3+2 y=0,∴y=-3,∴C(-5,-3)

(2)由 A、C 两点坐标得 M(0,-52).由 B、C 两点坐标得 N(1,0).

∴直线 MN 的方程为 x+-y52=1.即 5x-2y-5=0.

20、设点 A 的坐标为(x1,y1),因为点 P 是 AB 中点,则点 B 坐标为(6-x1,-y1),因为点 A、B 分别在直线 l1 和 l2 上,有

??2x1-y1-2=0 ???6-x1-y1+3=0

??x1=131 解得???y1=136

,由两点式求得直线方程为 8x-y-24=0.

21、 (1)直线 AC 的斜率 kAC=4--6--14 =-2 即:7x+y+3=0(-1≤x≤0). ∴直线 BD 的斜率 kBD=12, ∴直线 BD 的方程为 y=12(x+4),即 x-2y+4=0 (2)直线 BC 的斜率 kBC=-1-4-0-4 =43 ∴EF 的斜率 kEF=-34

15

线段

BC

5 的中点坐标为(-2,2)

∴EF 的方程为 y-2=-34(x+52)

即 6x+8y-1=0.

(3)AB 的中点 M(0,-3),∴直线 CM 的方程为:y4+ +33=-x1,

22、(1)倾斜角为 45°,则斜率为 1

2m2+m-3 ∴- m2-m =1,解得

m=-1,m=1(舍去)

程为 2x-2y-5=0 符合题意,∴m=-1

(2)当 y=0 时,x=2m42+m-m-1 3=1,解得 m=-12,或 m=2

当 m=-12,m=2 时都符合题意,∴m=-12或 2.

第三章直线与方程[基础训练 A 组]

一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为? ,且 sin? ? cos? ? 0 ,则 a, b 满足( )

A. a ? b ? 1

B. a ? b ? 1

C. a ? b ? 0

D. a ? b ? 0

直线方

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2y ? 3 ? 0 的直线方程为( )

A. 2x ? y ?1 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0

C. x ? 2y ? 5 ? 0 D. x ? 2y ? 7 ? 0

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2x ? y ?1 ? 0 平行,则 m 的值为( )

A. 0

B. ? 8 C. 2

D.10

4.已知 ab ? 0,bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限

5.直线 x ?1的倾斜角和斜率分别是( )

A. 450 ,1

B.1350 , ?1

C. 900 ,不存在

D.1800 ,不存在

6.若方程 (2m2 ? m ? 3)x ? (m2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( )

A. m ? 0
C. m ? 1 二、填空题

B. m ? ? 3 2
D. m ? 1, m ? ? 3 , m ? 0 2

1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ?1 ? 0 的距离是________________.

2.已知直线 l1 : y ? 2x ? 3, 若 l2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l2 的方程为__________;若 l3 与 l1 关于 x 轴
16

对称,则 l3 的方程为_________;若 l4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l4 的方程为___________; 3. 若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P(x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x2 ? y2 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的
方程为________________。
三、解答题 1.已知直线 Ax ? By ? C ? 0,
(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴;
? ? ( 5 ) 设 P x0,y0 为 直 线 Ax ? By ? C ? 0 上 一 点 , 证 明 : 这 条 直 线 的 方 程 可 以 写 成
A?x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 .
2.求经过直线 l1 : 2x ? 3y ? 5 ? 0,l2 : 3x ? 2y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2x ? y ? 3 ? 0 的直线
方程。
3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。
17

4.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

第三章直线与方程[综合训练 B 组]
一、选择题 1.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )

A. 4x ? 2 y ? 5 B. 4x ? 2 y ? 5

C. x ? 2 y ? 5

D. x ? 2 y ? 5

2.若 A(?2,3), B(3, ?2),C(1 , m) 三点共线 则 m 的值为( ) 2

A. 1 2

B. ? 1 2

C. ?2

D. 2

3.直线 x a2

y ? b2

? 1 在 y 轴上的截距是(



A. b B. ?b2 C. b2 D. ?b

4.直线 kx ? y ?1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( )

A. (0, 0)

B. (0,1)

C. (3,1) D. (2,1)

5.直线 x cos? ? y sin? ? a ? 0 与 x sin? ? y cos? ? b ? 0 的位置关系是( )

A.平行

B.垂直

C.斜交

D.与 a,b,? 的值有关

18

6.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6x ? my ?1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( )

2

5

7

A. 4

B. 13 C. 13

D. 10

13

26

20

7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围

是( )

A. k ? 3 4

B. 3 ? k ? 2 4

C. k ? 2或k ? 3 4

D. k ? 2

二、填空题 1.方程 x ? y ? 1所表示的图形的面积为_________。

2.与直线 7x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。

3.已知点 M (a,b) 在直线 3x ? 4y ? 15 上,则 a2 ? b2 的最小值为
4.将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合,则 m ? n 的值
是___________________。

5.设 a ? b ? k(k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1恒过定点



三、解答题

1.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2.一直线被两直线 l1 : 4x ? y ? 6 ? 0,l2 : 3x ? 5y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点,当 P 点分别为
19

(0, 0) , (0,1) 时,求此直线方程。
3. 函数 y ? f ?x? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象近似地看作直线,设 a ? c ? b,证明: f ?c?
的近似值是: f ?a? ? c ? a ? f ?b? ? f ?a??. b?a
4.直线 y ? ? 3 x ?1和 x 轴,y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ ABC , 3
如果在第一象限内有一点 P(m, 1) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值。 2
20

第三章直线与方程[提高训练 C 组]
一、选择题 1.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那

么直线 l 的斜率是( )

A. ? 1 3

B. ?3

C. 1 3

D. 3

2.若 P?a,b?、Q?c,d ? P?a,b?、Q?c,d ? 都在直线 y ? mx ? k 上,则 PQ 用 a、c、m 表示
为( )
A. ?a ? c? 1 ? m2 B. m?a ? c? C. a ? c D. a ? c 1? m2
1? m2

3.直线 l 与两直线 y ? 1和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) ,则直

线 l 的斜率为( A. 3 2


B. 2 3

C. ? 3 2

D. ? 2 3

4.△ ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P(4, 2) ,则边 BC 的长为( )

A. 5

B. 4

C.10

D. 8

5.下列说法的正确的是 ( )
? ? A.经过定点 P0 x0,y0 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k? x ? x0 ? 表示
21

B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程 x ? y ? 1 表示 ab
D . 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 P1?x1,y1 ?、P2 ?x2,y2 ? 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ? y ? y1 ??x2 ? x1 ? ? ?x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
6.若动点 P 到点 F(1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( ) A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3y ? 2 ? 0 C. x ? 3y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0
二、填空题 1.已知直线 l1 : y ? 2x ? 3, l2 与 l1 关于直线 y ? ?x 对称,直线 l3 ⊥ l2 ,则 l3 的斜率是______.

2.直线 x ? y ?1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 900 得直线 l ,则直线 l 的

方程是



3.一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为12 ,这条直线方程是____.

4.若方程 x 2 ? my 2 ? 2x ? 2 y ? 0 表示两条直线,则 m 的取值是



5.当 0 ? k ? 1 时,两条直线 kx ? y ? k ?1、 ky ? x ? 2k 的交点在 2
三、解答题
1.经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么?

象限.

22

2.求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。
3.已知点 A(1,1) , B(2, 2) ,点 P 在直线 y ? 1 x 上,求 PA 2 ? PB 2 取得 2
最小值时 P 点的坐标。
4.求函数 f (x) ? x2 ? 2x ? 2 ? x2 ? 4x ? 8 的最小值。

答案第三章直线和方程 [基础训练 A 组]

一、选择题
1.D tan? ? ?1, k ? ?1, ? a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b
2.A 设 2x ? y ? c ? 0, 又过点 P(?1,3) ,则 ?2 ? 3 ? c ? 0, c ? ?1,即 2x ? y ?1 ? 0

3.B k ? 4 ? m ? ?2, m ? ?8 4.C y ? ? a x ? c , k ? ? a ? 0, c ? 0

m? 2

bb

bb

5.C x ?1 垂直于 x 轴,倾斜角为 900 ,而斜率不存在

23

6.C 2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0

二、填空题

1. 3 2 2

d ? 1? (?1) ?1 ? 3 2

2

2

2. l2 : y ? ?2x ? 3,l3 : y ? ?2x ? 3,l4 : x ? 2 y ? 3,

3. 2x ? y ? 5 ? 0 k' ? ?1? 0 ? ? 1 , k ? 2, y ? (?1) ? 2(x ? 2) 2?0 2

4. 8 x2 ? y2 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短: d ? ?4 ? 2 2 2

5. y ? 2 x 3
三、解答题

平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

1. 解:(1)把原点 (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0,得 C ? 0 ;(2)此时斜率存在且不为零

即 A ? 0 且 B ? 0 ;(3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ;

(4) A ? C ? 0, 且 B ? 0

(5)证明: P? x0,y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0上,? Ax0 ? By0 ? C ? 0,C ? ? Ax0 ? By0 , ?A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 。

2.

解:由

?2x ??3x

? ?

3y 2y

? ?

5 3

? ?

0 0

,得

?
?? ?
? ??

x y

? ?

19 13 9 13

,再设

2x

?

y

?

c

?

0

,则

c

?

?

47 13



2x ? y ? 47 ? 0 为所求。 13

3. 解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2x ;

当截距不为 0 时,设 x ? y ? 1, 或 x ? y ? 1, 过点 A(1, 2) ,则得 a ? 3,或 a ? ?1,即 x ? y ? 3 ? 0 ,

aa

a ?a

或 x ? y ?1 ? 0 ,这样的直线有 3 条: y ? 2x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ?1 ? 0 。

4. 解:设直线为 y ? 4 ? k(x ? 5), 交 x 轴于点 ( 4 ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k

24

S ? 1 ? 4 ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? 16 ? 25k ? 10 ,

2k

k

得 25k2 ? 30k ?16 ? 0 ,或 25k2 ? 50k ?16 ? 0 , 解得 k ? 2 , 或 k ? 8 ,

5

5

?2x ? 5y ?10 ? 0 ,或8x ? 5y ? 20 ? 0 为所求。

答案第三章 直线和方程 [综合训练 B 组]

一、选择题

1.B 线段 AB 的中点为 (2, 3), 垂直平分线的 k ? 2 , y ? 3 ? 2(x ? 2), 4x ? 2 y ? 5 ? 0

2

2

2.A

?2 ? 3 m ? 2 1 kAB ? kBC , 3 ? 2 ? 1 ? 3 , m ? 2

2

3.B 令 x ? 0, 则 y ? ?b2

4.C



kx

?

y

?1

?

3k



k(x

?

3)

?

y

?1 对于任何

k

?

R

都成立,则

?x ?3 ?

? ?

y

?1

?

0 0

5.B cos? ?sin? ? sin? ? (? cos? ) ? 0

6.D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6x ? 2y ? 6 ? 0 ,则 d ? 1? (?6) ? 7 10 62 ? 22 20

7.C

kPA

?

2, kPB

?

3 4

,

kl

?

kPA ,或kl

?

kPB

二、填空题

1. 2 方程 x ? y ? 1所表示的图形是一个正方形,其边长为 2

2. 7x ? 24y ? 70 ? 0 ,或 7x ? 24y ? 80 ? 0 ,

设直线为 7x ? 24y ? c ? 0, d ? c ? 5 ? 3,c ? 70,或 ? 80 242 ? 72
3. 3 a2 ? b2 的最小值为原点到直线 3x ? 4y ? 15 的距离: d ? 15 5

25

4. 44 点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ?1 ? 2(x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n) 5

也关于

y

?1

?

2(

x

?

2)

对称,则

? ?? ? ? ??

n ?3 ?1? 2
n?3 ?? m?7

2(
1 2

m

? 2

7

?

2)

,得

???m ? ? ???n ?

23 5 21 5

5. (1 , 1) ax ? by ? 1变化为 ax ? (k ? a) y ?1, a(x ? y) ? ky ?1 ? 0, kk

对于任何

a

?

R

都成立,则

?x ? y ? 0 ??ky ?1 ? 0

三、解答题
1.解:设直线为 y ? 2 ? k(x ? 2), 交 x 轴于点 ( ?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? 2 ? 2k ? 1

2k

k

得 2k2 ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k2 ? 5k ? 2 ? 0 , 解得 k ? ? 1 , 或 k ? ?2 2
? x ? 3y ? 2 ? 0 ,或 2x ? y ? 2 ? 0 为所求。

2.解:由

?4x ??3x

? y?6?0 ?5y ?6 ? 0

得两直线交于

(?

24 23

,

18 ) 23

,记为

A(?

24 23

,

18 ) 23

,则直线

AP

垂直于所求直线 l ,即 kl

?

4 3

,或 kl

?

24 5

,? y

?

4 3

x

,或

y ?1?

24 5

x,

即 4x ? 3y ? 0 ,或 24x ? 5y ? 5 ? 0 为所求。

1. 证明:

A, B,C 三点共线,?kAC

? kAB ,即

yc ? f (a) ? c?a

f (b) ? f (a) , b?a

? yc

?

f (a) ?

c ? a [ f (b) ? b?a

f (a)] ,

即 yc

?

f (a) ? c ? a [ f (b) ? b?a

f (a)] ,

? f ?c? 的近似值是: f ?a? ? c ? a ? f ?b? ? f ?a?? b?a

2. 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ? 3 x ? c, (c ? 1) 3

则 c ?1 ? AB ? 3 ? 3, c ? 3 , y ? ? 3 x ? 3 过 P(m, 1) ,

1? 1

2

3

2

3

26

得 1 ? ? 3 m ? 3, m ? 5 3 。

23

2

答案第三章直线和方程[提高训练 C 组]
一、选择题
1.A tan? ? ? 1 3
2.D PQ ? (a ? c)2 ? (b ? d)2 ? (a ? c)2 ? m2 (a ? c)2 ? a ? c 1? m2

3.D A(?2,1), B(4, ?3) 4.A B(2,5),C(6, 2), BC ? 5

5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0

6.B 点 F(1,1) 在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上,则过点 F(1,1) 且垂直于已知直线的直线为所求

二、填空题

1. ?2

13 1 l1 : y ? 2x ? 3,l2 : ?x ? ?2 y ? 3, y ? 2 x ? 2 , k2 ? 2 , k3 ? ?2

2. x ? y ? 7 ? 0 P(3, 4) l 的倾斜角为 450 ? 900 ? 1350, tan1350 ? ?1

3. 4x ? y ?16 ? 0 ,或 x ? 3y ? 9 ? 0 ,

设 y ? 4 ? k(x ? 3), y ? 0, x ? ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ?4 ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 ,

k

k

3k ? 4 ?11 ? 0,3k 2 ?11k ? 4 ? 0, k ? 4,或k ? ? 1 。

k

3

4.1

5.二

?ky ??kx

? ?

x y

? ?

2k ,
k ?1

??? x ?

? ??

y

? ?

k ?0 k ?1 2k ?1 ? k ?1

0

三、解答题

1. 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即
27

k ? ? 3 , y ? 5 ? ? 3 (x ? 3),3x ? 5y ? 52 ? 0

5

5

2. 解: x ?1显然符合条件;当 A(2, 3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, kAB ? 4

? y ? 2 ? 4(x ?1), 4x ? y ? 2 ? 0 , 4x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ?1

3. 解:设 P(2t,t) ,则 PA 2 ? PB 2 ? (2t ?1)2 ? (t ?1)2 ? (2t ? 2)2 ? (t ? 2)2 ?10t2 ?14t ?10

当 t ? 7 时, PA 2 ? PB 2 取得最小值,即 P(7 , 7 )

10

5 10

4. 解: f (x) ? (x ?1)2 ? (0 ?1)2 ? (x ? 2)2 ? (0 ? 2)2 可看作点 (x, 0)

到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)

? f (x)min ? 12 ? 32 ? 10

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