2018届高三数学文一轮总复习江苏专用课件:第三章 第二节 第三课时 导数与函数的综合问题 精品_图文

第三课时 导数与函数的综合问题 考点一 利用导数研究生活中的优化问题 ?重点保分型考点——师生共研? [典例引领] (2016· 常州模拟)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30°方向的两条街道.某公园 P 位于商业中 心北偏东 θ ? π ? 角 0<θ<2,tan ? ? 3?,且与商 ? θ=3 业中心 O 的距离为 21 km 处.现要经过公 园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处. (1)当 AB沿正北方向时,试求商业中心到A, B两处的 距离和; (2)若要使商业中心O到 A, B两处的距离和最短,请确 定 A, B的最佳位置. 解: (1)以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴建立 BM PM ? ? 3 3 3 同理在△ PMB 中, = , ? ? OA 法二: ( 三角法 ) 如图,过点 P 作 PM ∥ sin α 如图所示的平面直角坐标系. sin ?120 ° 当 k<- 时, y′ <0, y在 当- ∞ ,- 9 k - 3-α? ?是减函数; 9k-<k 3<0 ?- 3 3 ? OB=2xB= 3 联立①②,解得 xB= ? ,所以 , 设 P ( m , n ) . 2 ? k - 3 ? k - 3 4sin α 交 法一: OB 于点 M ,PN ∥ OB 交xOA 于点 N. (2) ) 当 AB 与 轴不垂直时,设直线 AB 的方程 所以 MB= (几何法 . ? ? sin ?120° ? ? -α3 ? π 时, y ′ >0 , y 在 是增函数. - , 0 ? 3 9 9k- 3 设∠ = α . 因为BAO 0<θ< , tan? θ = 3 3 , 3 ? ? 2 所以 y =OA =- + + 4sin α . ? +OB ? ? sin 120° - α ? 3 9 2 k- 3 ?x- ? . PN 2k + 所以 y=OA + = +1+ 4≥2 4+5 =9, 为 y- = kOB ① ON OP 3 sin α cos ? 120 ° - α ? 3 21= 2 2? y 有极小值,且极小值为 ? 7 时, 在△ 中, = 9 km; , 所以当 k=- 所以OPN cos θ= , sin θ = , sin ? 90 ° - θ ? sin ? θ - 30 ° ? sin 120° 3 14 14 由 xA>0 , x >0 ,得 k > 3 或 k <0. B sin?120°-α? 4sin α 当且仅当 = ,即 sin(120°-α)=2sin α,即 9 3 3 9 sin α sin ? 120 ° - α ? 解得 PN = 1 km ,, ON = 4 km PM 当 > 3 时, <0 , y= 是减函数,结合 知 y3 >13.5 km. - 8y 3= - 3= ?3 +. , 3??(1) 5k- ? 则k m = OP · sin θ n OP · cos θk = 3 令 y = 0 ,得 x′ =- + . A 2 2= 2 2 y′= . 2+ 2k 2 2 2 k ? k - 3 ? 2 k ? k - 3 ? 3 PN NA 综上所述,商业中心到 A , B 两处的距离和最短为 9 km,此 , tan α = 时取等号. 由题意得 AB ⊥ OA , 在△ PNA 中,∠ NPA = 120 ° - α ,所以 = 3 sin α sin? 120°- α? 由题意,直线 OB 的方程为 y = 3 x . ② 3 9 时 OA = 6 km , OB = 3 km. 令 y′ = 0 ,得 kOA =- . 此时 OA = 6 km , OB =3 km , 则 OA = , OB = 2 = 93 , 2 sin? 120°- α? 所以 NA= . 离商业中心 故 A 离商业中心 6 km , B 3 km 为最佳位置. 故 A 离商业中心 6 km , B 离商业中心 3 km 为最佳位置. sin α 所以商业中心到 A, B 两处的距离和为 13.5 km. [由题悟法] 利用导数解决生活中的优化问题的 4 步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数 学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)= 0 的点的函数值的大 小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [即时应用] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄 水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设 建造成本仅与表面积有关, 侧面的建造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池 的体积最大. π 解: (1) 因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh= 200πrh (2)因为 V(r)= (300r- 4r3), 5 元,底面的总成本为160πr2元, π 所以 V′ (r)= (300- 12r2). 5 所以蓄水池的总成本为 (200πrh+ 160πr2)元. 令 V′ (r)= 0,解得 5,r r2 =- 舍去 ). 1= 2= 又根据题意 200πrhr + 160π 12 5( 000π , 当 r∈(0,5)1 时, V′ (r2)> 0,故V(r)在 (0,5) 上为增函数; π 2 所以 h= (300- 4r ),从而V(r)= πr h= (300r- 4r3). 5r 5 当 r∈(5,5 3)时, V′ (r)< 0,故 V(r)

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