2012--2013上学期高二数学期中考试文科试题

世铿中学高二期中考试数学试卷
文科试题
第 Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于( A.10 B.12 C.15 D.30 ) D. U )

2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? ( A. ?2, 4, 6? B. ?1, 3, 5? C. ?1, 2, 4?

3.若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? ( A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) )
3

??? ?

??? ?

????

) D. (2, 2)

4.下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B. y ? x

C. y ? e

x

D. y ? ln

x2 ? 1

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. 3 B. 1
°



C. ?5
°

D ?6

6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 , 则 AC ( A. 4 3 ) B. 2 3

C.

3

D.

3 2


7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( A. 72? B. 48? C. 30?

D. 24?

1

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦
2 2

AB 的长等于 (
A. 3 3

) C.

B. 2 3

3

D. 1

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6, 则输出 s 的值为 ( A. 105 ) B. 16 C. 15 D. 1 )

10.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是( A. ?2, π B. ?2, 2π C. ? 2 , π

D. ? 2 , 2π

第 Ⅱ 卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分共20分. 11.某单位有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,老、中、青职工共有430 人.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人, 则该样本中的老年职工人数为 12.已知数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? (1 ? .

1 )a n ,则 {a n } 的通项公式为 n

13.在△ABC中,若B=30°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC的面积是_____ _ 14.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是(-1,2) ,则 a ? b 的值为
2

三、解答题:(共80分,解答过程要有必要文字说明与推理过程) 15.(本小题满分12分)已知 ? an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ? an ? 的通项; (2)数列 ? an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 值。

2

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) (A>0,x?(-?,+?),0<?<?)在 x ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 f ( ? ?

?
12

时取得最大值 4.

2 3

?
12

)?

12 ,求 sin? 5

17. (本题满分 13 分)

2 . x ?1 (1) 当 x ? (1,??) 时,求函数 f (x) 的最小值,并求出相应的 x 的值;
已知关于 x 的函数 f ( x) ? x ? (2) 求不等式 f ( x) ? ?2 的解集.

18.(本小题满分 13 分) 已知数列{an}的通项公式为 a n ? pn ? q ,其中 p、q 为常数. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

3

19.(本小题满分14分) 如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中 ABCD )的围墙,且要求中间 用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形, EFDC 为正方形,设 AB ? x 米,已知围墙(包括 EF ) 的修建费用均为800元每米,设围墙(包括 EF )的的修建总费用为 y 元。 (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,设围墙(包括 EF )的的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值。

A

F

D

20.(本小题满分14分)
2

B

已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m . (Ⅰ)若 y ? f (x) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围;

E 第 17题 图

C

(Ⅱ)当 a =0时,若对任意的 x1 ∈[1,4],总存在 x 2 ∈[1,4],使 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实 数m的取值范围;

4

15. 解: (1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3 (2) ? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

? an ? 2 8? 3 n

1 3

∴数列 ? an ? 从第 10 项开始小于 0 (3) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项 其和 S ? 10 ? 25 ?

10 ? 9 ? (?6) ? ?20 2
2? . 3 ? ?) ? 1,

17.(本小题满分 13 分) 解:(1)f(x)的最小正周期 T ? (2)由题意可得 A=4 且 sin(3 ? 则? ? (3 分) (5 分) (6 分) (7 分) (8 分) (10 分) (11 分)

?
12

?
4

?

?
2

? 2k? ,得 ? ?

?
4

? 2k? (k ? Z ) .

因为 0<?<?,所以 ? ? 所以 f ( x) ? 4 sin(3x ?

?
4

.

?
4

).

2 ? ? 12 (3)因为 f ( ? ? ) ? 4 sin(2? ? ) ? 4 cos 2? ? , 3 12 2 5 3 所以 cos 2? ? . 5 1 1 1 17. 解: (1)∵ S?ABC ? ac sin B ? ac sin 30? ? ac , 2 2 4
又 S?ABC ?

3 1 3 ,∴ ac ? ,∴ ac ? 6 。 4 2 2
3 a 2 ? c 2 ? b2 ? cos30? ? , 2 2ac

……6 分

(2)∵B=30°,∴ ∴a ?c ?b ?
2 2 2
2 2

3ac ,

……10 分

∴ (a ? c) ? b ? (2 ? 3 )ac , 又由 a, b, c 成等差数列知 a ? c ? 2b ,而 ac ? 6 , 代入上式得 3b ? 6(2 ? 3 ) ,∴ b ? 3 ? 1 。
2

……14 分
5

18(1)证明:因为当 n>1 时,
an ? a n?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p ,

(4 分) (6 分) (8 分)

又 p 为常数,所以{an}是等差数列. (2)当 n=1 时, a1 ? p ? q . 所以 S n ?
n(a1 ? a n ) n[( p ? q) ? ( pn ? q)] 1 2 1 ? ? pn ? ( p ? 2q)n 2 2 2 2

18. 解: (1)设 AD ? t 米,则由题意得 xt ? 600 ,且 t ? x 故t ?

……………………2 分

600 ? x ,可得 0 ? x ? 10 6 ……………………4 分 x

(说明:若缺少“ 0 ? x ? 10 6 ”扣 2 分)

600 400 ) ? 2400( x ? ) ,……………………6 分 x x 400 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y ? 2400( x ? ) (0 ? x ? 10 6) .…… ……………7 分 x
则 y ? 800(3x ? 2t ) ? 800(3x ? 2 ? (2) y ? 2400( x ? 当且仅当 x ?

400 400 ) ≥ 2400 ? 2 x ? ? 96000 , ………………10 分 x x

400 ,即 x ? 20 时等号成立. ………………12 分 x

故当 x 为 20 米时,y 最小. y 的最小值为 96000 元.………………14 分 19. 解:(Ⅰ):因为函数 f ( x) =x -4x+a+3 的对称轴是 x=2, 所以 f ( x) 在区间[-1,1]上是减函数,……………………………2 分 因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:
? f (1)≤0 ?a≤0 即? ,解得 -8≤a≤0 ,故所求实数 a 的取值范围为[-8,0] .……………… ? f (?1)≥0 ? ?a ? 8≥0
2

5分 (Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立, 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集.……………………………………6 分
f ( x) =x -4x+3,x∈[1,4]的值域为[-1,3],……………………………………7 分
2

6

①当 m=0 时,g(x)=5-2m 为常数,不符合题意舍去;……………………………………9 分 ②当 m>0 时,g(x)的值域为[5-m,5+2m],要使[-1,3] ? [5-m,5+2m], 需?
?5-m≤-1 ,解得 m≥6;……………………………………11 分 ?5 ? 2m≥3

③当 m<0 时,g(x)的值域为[5+2m,5-m],要使[-1,3] ? [5+2m,5-m], 需?
?5 ? 2m≤-1 ,解得 m≤-3;……………………………………13 分 ?5-m≥3

综上,m 的取值范围为 (??, ?3] ? [6, ??) ……………………………………14 分

7


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